新教材数学苏教版课件1332空间图形的体积

空间图形的体积必备知识·自主学习导思1.如何求柱体、锥体和台体的体积?2.如何求简单组合体的体积?1.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=___(S为底面面积,h为高)V圆柱=_____(r为底面半径)锥体V锥体=______(S为底面面积,h为高)V圆锥=______(r为底面半径)Shπr2hShr2h几何体体积台体V台体=______________(S′,S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=_______________(r′,r分别为上、下底面半径)【思考】柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.提示:V=ShV=

(S′+

+S)hV=

Sh.2.球的体积和表面积若球的半径为R,则(1)球的体积V=________.(2)球的表面积S=_____.4πR2【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积. ()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. ()(3)球的体积之比等于半径比的平方. ()提示:(1)×.锥体的体积等于底面面积与高之积的

.(2)√.球的大圆半径等于球的半径.(3)×.球的体积之比等于半径比的立方.2.直径为6的球的表面积和体积分别是 ()A.36π,144π B.36π,36πC.144π,36π D.144π,144π【解析】选B.由题意知,球的半径r=3.则S球=4πr2=4π×32=36π,V球=

πr3=

π×33=36π.3.(教材二次开发:例题/习题改编)若正方体的体对角线长为a,则它的体积为________.

【解析】设正方体的边长为x,则

x=a,故x=

,V=

a3.答案:

a3关键能力·合作学习类型一棱柱、棱锥和棱台的体积(数学运算、直观想象)【典例】如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B1CD的体积.【思路导引】方法一:

方法二:利用等体积法求解,

【解析】因为AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,所以AB=A1B1=5.方法一:由题意可知方法二:在△ABC中过C作CF⊥AB,垂足为F,由平面ABB1A1⊥平面ABC知,CF⊥平面A1B1BA.在△ABC中,CF=

【解题策略】几何体的体积的求法(1)直接法:直接套用体积公式求解.(2)等体积转移法:在三棱锥中,每一个面都可作为底面.为了求解的方便,我们经常需要换底,此法在求点到平面的距离时也常用到.(3)分割法:在求一些不规则的几何体的体积时,我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体.(4)补形法:对一些不规则(或难求解)的几何体,我们可以通过补形,将其补为规则(或易于求解)的几何体.【跟踪训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱锥P-ABC的体积.【解析】因为AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC为正三角形,设D为BC的中点,连接AD,PD,作PO⊥平面ABC.因为∠PAB=∠PAC且AB=AC,所以O∈AD.作PE⊥AB于点E,连接OE,则OE⊥AB.在Rt△PAE中,PE=asin60°=

a,AE=

.在Rt△AEO中,OE=

tan30°=

a.所以OP=又S△ABC=

BC·AD=

a2.所以VP-ABC=

·S△ABC·OP=

a3.类型二圆柱、圆锥和圆台的体积(数学运算、直观想象)【典例】圆台上底的面积为16πcm2,下底半径为6cm,母线长为10cm,那么圆台的侧面积和体积各是多少?【思路导引】解答本题作轴截面可以得到等腰梯形,为了得到高,可将梯形分割为直角三角形和矩形,利用它们方便解决问题.【解析】如图,由题意可知,圆台的上底圆半径为4cm,于是S圆台侧=π(r+r')l=100π(cm2).圆台的高h=BC==

V圆台=【解题策略】求台体的体积关键是求高,为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算.对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.【跟踪训练】如图,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.【解析】如图所示,所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体,高的和AB=5,底面半径DC=

故S表=π·DC·(BC+AC)=

π,V=

π·CD2·DA+

π·CD2·BD=

π·CD2·(DA+BD)=

π.类型三球的表面积和体积(数学运算、直观想象)

角度1球的表面积和体积

【典例】(1)已知球的体积是

,则此球的表面积是 ()A.12π B.16π C.

D.(2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么球的体积扩大到原来的 ()倍 B.

倍

倍 D.

倍【思路导引】结合球的表面积和体积公式计算求解.【解析】(1)选B.设球的半径为R,由已知得V=

πR3=

,解得R=2.所以球的表面积S=4πR2=16π.(2)选C.设原来球的半径为r,扩大后球的半径为R,依题意可知

=2,所以R=

r.所以

即球的体积扩大到原来的2

倍.角度2几何体的外接球内切球的问题

【典例】已知正四面体的棱长为a,四个顶点都在同一个球面上,试求这个球的表面积和体积.【思路导引】正四面体的顶点都在同一个球面上,球心和正四面体的中心是同一个点,球心与正四面体各顶点的距离即球的半径.【解析】如图所示,设正四面体P-ABC的高为PO1,球的球心为O,半径为R,则AO1=

AB=

a.在Rt△PO1A中,PO1=

在Rt△OO1A中,AO2即R2=

解得R=

a.所以球的表面积S=4πR2=4π

体积V=

πR3=

π

=

πa3.【解题策略】处理有关几何体外接球的问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总是在几何体的特殊位置,比如中心、对角线中点等.该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径.【题组训练】1.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为________.

【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得所以所以它们的体积和为

πR3+

πr3=

答案:2.已知球的大圆周长为16πcm,求这个球的表面积.【解析】设球的半径为Rcm,由题意可知2πR=16π,解得R=8,则S球=4πR2=256π(cm2).3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ()2 B.

πa2 C.

πa22【解析】选B.由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP=

OP=

a,所以球的半径R=OA满足R2=

故S球=4πR2=

πa2.4.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.【解析】如图,设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于点O1,由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM.设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A=

,O1C=CM-O1M=

-x.又O1A=O1C,所以

=

-x,解得x=

.所以O1A=O1B=O1C=

在Rt△OO1A中,O1O=

,∠OO1A=90°,OA=R,由勾股定理得

解得R=

(负值舍去),则S球=4πR2=54π,V球=

πR3=27

π.1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为 ()【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是课堂检测·素养达标2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ()A.

B.16π C.9π D.

【解析】选A.如图,设球心为O,半径为r,则在Rt△AOE中,(4-r)2+(

)2=r2,解得r=

,所以该球的表面积为4πr2=4π×3.(教材二次开发:练习改编)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为

则这个长方体的体对角线长是________.

【解析】所以体对角线l=

答案:

4.如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1C1C的体积是________.

【解析】因为三棱锥B-A1C1C与三棱锥B-A