分析力学讲义课件

第二章分析力学(AnalyticalMechanics)平衡问题----虚功原理基本概念---约束.自由度.广义坐标.虚位移动力学位形空间相空间拉格朗日方程哈密顿原理哈密顿正则方程哈密顿原理泊松括号运动积分L判据.H判据.泊松括号判据时空对称性.不可观测量和守恒定律§1.基本概念(BasicConcepts)牛顿力学两大困难约束力未知坐标不独立?一.约束定义:物体运动过程中受到限制约束方程:约束分类:

几何约束:

微分约束:

完整约束与非完整约束:几何约束可积分的微分约束完整约束

稳定约束与非稳定约束:

可解约束与不可解约束…(2)xy(X,y)…(1)

几何约束:

微分约束:demonstrationmmX2,y2X1,y1cExample:xy…(3)…(4)…..(4)任一微分约束均可表示为如果:则微分方程可积爱因斯坦求和约定是否可积?

完整约束:非完整约束:几何约束和不可积分的微分约束可积分的微分约束可解约束与不可解约束:用不等号表示约束可解约束用等号表示约束不可解约束二.自由度和描述度系统有N个质点,受k个完整约束和m个非完整约束定义自由度:f=3N-(k+m)描述度:描述一个力学系统所需独立坐标数目:S完整约系f=S非完整约系f<S三.广义坐标(Generalizedcoordinates)位形空间(ConfigurationalSpace)完整约束系统的自由度为S(f),则可选S个独立参量来描述此系统广义坐标q(q1,q2,q3……qs)变换方程Attention:广义坐标数目由自由度确定“广义”二字的含义

对给定力学系统,广义坐标选取不唯一

广义坐标正确与否的判断全部直角坐标能用广义坐标表示则对如果全部直角坐标不能用广义坐标表示则错广义坐标克服了牛顿力学中坐标不不独立的困难位形空间由S个广义坐标张开成S维抽象空间qiqj四.实位移可能位移虚位移(Realdisplacement,Possibledisplacement,Virtualdisplacement)设系统有N个质点,受k个几何约束特点:唯一性代表真实运动实位移(i=123…N)唯一性代表真实运动既满足运动规律又满足约束方程dt0,需要时间实位移特点不考虑运动规律限制,只考虑约束限制条件下发生的位移可能位移t时刻:

t=dt

时刻:Attention:不考虑运动规律限制考虑约束限制条件dt0可能位移不唯一可能位移的特点可能位移产生的原因约束变动引起在约束面内各质点具有不同可能速度同共性个性虚位移不考虑运动规律限制时间被冻结约束被“凝固”

t=0!!!满足约束条件虚位移特点不唯一可能位移虚位移不唯一五.理想约束实例m1m2非稳定约束在虚位移下的虚功=0对可能位移所做元功0m1m2T1T2y1y2五.理想约束虚功:力在虚位移下所做的功理想约束:若作用在力学系统上所有的约束力在任意虚位移下所做的虚功之和为零§2.虚功原理(PrincipleofVirtualWork)表述:完整的理想约束系统处于平衡的充要条件是证明：必要性系统处于平衡时充分性：反证法系统不平衡系统必平衡定义:广义力虚功原理保守系Attention:广义力的计算广义力的数目由自由度决定广义力既可是力又可以是力矩，决定于广义坐标,还可是其它物理量不要将广义力和力混淆已知：求：广义力解：用虚功方法求取广义坐标分别为虚功原理解题步骤分析约束,确定自由度选好广义坐标写出主动力作用点的坐标并对其变分代入虚功原理公式中求解Attention:静系中的平衡只有广义坐标方可独立变化虚功原理中不出现约束力只有正确写出例题1半径为a的光滑半球形碗固定在水平面上。一匀质棒斜靠在碗缘，在碗内长度为c,试用虚功原理求棒全长。yxmgc分析oABD坐标数3约束数目2自由度数目1demonstrationyxmgcABDxDo解：取为广义坐标，设杆长为利用广义力解例二oABxy分析坐标数4约束2自由度2广义坐标cDdemonstration解：取如图所示，为广义坐标利用广义力解ABCDEFOxy分析坐标数6约束6自由度0广义坐标?!!!解除一个约束一个自由度W例三解:长为的匀质杆AB一端靠在光滑墙上,另一端靠在光滑固定曲面上,如果杆在与竖直墙间的夹角<的任意位置均能平衡,试求曲面形状.解:取如图所示为广义坐标例四由虚功原理有积分上式P162,10-3取广义坐标为求相应广义力§3.完整系的拉格朗日方程(Lagrange’sEquationforHolonomicSystem)一.达朗贝尔----拉格朗日方程平衡方程牛顿力学动力学方程达朗贝尔原理达朗贝尔--拉格朗日方程二.完整系的拉格朗日方程f(q,t)证明:两个重要公式q1q2…qst(=123…s)=?完整系的拉格朗日方程对保守系L=T-V

拉格朗日函数Summary:

T=V=V(q)

L=T-V

L

L拉格朗日函数不唯一!!!L可以给出力学系统的所有信息规范不变性§4.运动积分的拉格朗日判据(ConstantsoftheMotionintheLagranglanFormulation)一.循环坐标广义动量:循环坐标:则称q为循环坐标p=p0(conservation)Attention:循环坐标是否出现及出现的多少是判断广义坐标是否合适的标志循环坐标是否出现与广义坐标选取有关二.动能表达式数学补充:欧拉齐次函数定理如果f(x1x2x3……xN)是x1x2x3……xN

的n次齐次函数,即对任意t,有则称n次齐次函数Example:二次齐次函数欧拉齐次函数定理:两边对t求导证明Example:欧拉齐次函数定理:二次齐次函数系统有N个质点,自由度为S动能表达式三.广义能量积分定义广义能量如果对完整,保守,稳定非稳定保守系统,E不守恒??运动路径Summary:循环坐标是否出现与广义坐标选取有关不要将在涉及相对运动时,广义能量是否代表体系机械能与参照系有关一般情况下例题一质量为m的小环套在一光滑抛物线金属丝x2=4ay上滑动,金属丝以匀角速绕y轴转动,试写出L,H,E.解:在转动坐标系中坐标数:2约束:自由度:1取如图所示为广义坐标=???=0=???Conclusion:在非惯性参照系中:满足完整,保守,稳定惯性离心力:相对动能:在静系中:坐标数:约束:自由度:31取如图所示为广义坐标静系中的机械能ESummary:自由度与参照系无关约束是否稳定与参照系有关广义能量是否代表机械能亦与参照系有关弄清拉格朗日方程的应用解题步骤分析约束,确定自由度选好广义坐标写出体系的动能和势能及拉格朗日函数代入相应方程求解解题注意点广义坐标选取至关重要

函数关系:

动能形式柯尼西定理运用T应是绝对动能例1用拉格朗日方程求自由质点在球坐标下广义力的表达式.设其受力在r,,三个方向的分量分别为Fr,F,F解:广义力非保守系拉氏方程必先求动能xyz例2质量为m,长为2a的匀质棒AB,其A端可在光滑的水平导槽上滑动,而棒本身又可在竖直平面内绕A点摆动.C点受一水平恒力F作用,试用拉氏方程求其运动微分方程.AB分析坐标数:约束数:自由度:取如图所示为广义坐标根据柯尼西定理广义力此题亦可用保存系拉格朗日方程重力势能:恒力势能:AB例3一半径为r,质量为m的实心圆柱体在一半径为R的大圆柱体内表面作纯滚动,试用拉格朗日方程求其在平衡位置附近作微振动的周期.分析坐标数约束数oo1自由度demonstration取为广义坐标质量为m的相同三质点等距离系于长为2的不可伸长的轻绳上,系统静止在光华水平面上.若中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.例五:分析坐标数约束数自由度数取如图所示为广义坐标demonstrationy解:???相遇时

利用守恒定律求解y是循环坐标例六求一质量为m带电为q的带电粒子在电磁场预备知识罗仑兹力矢势解题思路麦克斯韦方程组取直角坐标为广义坐标广义速度广义力=??与速度相关势例七质量为m的相同二质点用一长为的轻杆连接初始时直立静止在光滑水平面上,以后任其倒下,试用拉格朗日方程求杆落地时的角速度.分析坐标数约束数自由度数取如图所示为广义坐标根据柯尼西定理拉格朗日方程???约束稳定质量为m的质点系在弹性系数为k的弹簧上,弹簧系在以匀角速转动的水平转台上的光华直槽内.当弹簧处于原长时质点到转台中心距离最短,试用拉格朗日方程求质点作微振动的周期.解:坐标数:约束数:自由度数:取如图所示y为广义坐标例八：根据余玄定理§5.哈密顿正则方程一.勒让特变换f=f(x,y)新变量旧函数旧变量旧方程(Hamilton’sEquation)fxyuvuv新方程旧方程新函数保留变量旧变量x新变量vfxyxv去掉变量旧变量y新变量ufxyxv令F=(-f+yv)新函数Summary:二.相空间和正则方程(q,p)一对正则变量s个广义坐标(q1,q2,q3…..qs)s个广义动量(p1,p2,p3…..ps)相空间新变量保守系正则方程非保守系正则方程对保守系§6.运动积分的哈密顿判据(H)(ConstantsofthemotioninHamiltonialformation)一.循环坐标H=H(q,p,t)中不显含的坐标循环坐标q循环坐标p循环坐标二.广义能量积分广义能量守恒对完整保守稳定系统H=T+V=E0§7.哈密顿原理(HamiltionalPrincipal)一.变分法简介dsoAyxy泛函定义:Attention:J与y(x)的函数形式有关泛函的极值是变分法的核心二.变分法计算法则变分法全变分等自变量变分x=0函数和泛函的变分原函数:y(x)变更后:与x无关小参数定义函数变分:泛函变分:变分法基本运算法则:变分法基本对易关系“”与“d”对易证明:由图可知:三.泛函极值条件是的函数将被积函数在y(x)附近展开与无关??欧拉方程利用变分法运算法则求极值四.位形空间中的哈密顿原理xtyq(t)定义哈密顿主函数位形空间中的哈密顿原理(有势系统)位形空间中的哈密顿原理(非有势系统)五.相空间中的哈密顿原理xtyq(t)P(t)定义相空间的哈密顿主函数利用位形空间中的哈密顿原理导出拉格朗日方程=?=0利用相空间中的哈密顿原理导出哈密顿正则方程§8.泊松括号及泊松定理(PoissonBracketandPoisson’sTheorem)一.泊松括号的定义若f=f(q.P.t),=(q.P.t)泊松括号二.泊松括号的性质反对易性:

[f]=-[f][qP]=

=1,=

0,

若c为常数,则[cf]=0[qq]=[PP]=0分配律:[i]=[i]结合律:[123]=1[23]+2[13]求导运算

线性:

[a1+b2]=a[1]+b[2]雅可比关系:[1[23]]+[2[31]]+[3[12]]=0三.用泊松括号表示的运动方程正则方程四.运动积分的泊松括号判据五.泊松定理若1(q.p,t)和2(q.p,t)是正