讲义结构力学大学教材章节课件讲义附例题七

§9.6对称结构的计算对称结构是几何形状、支座、刚度都对称.EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性：对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。反对称荷载——绕对称轴对这后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。对称轴对称轴EIEI对称轴↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1对称荷载对称轴↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反对称荷载1任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载aP/2FF对成荷载aaP/2WW反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F23、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)PP2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶

如果荷载对称，MP对称，Δ3P=0，X3=0；

如果荷载反对称，MP反对称，Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。3EIEIEI①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。a）位于对称轴上的截面的位移，内力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代结构PPC对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPC对称：uc=0中柱：vc=0P等代结构c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。NCNCMC2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法)4PPC2EIEIEIEI②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

a）、位于对称轴上的截面的位移，

内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构P等代结构P等代结构CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMCc）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆5EIEIEIEIQCQC

由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC返航当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP6198103.581135kNm例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m等代结构的计算103.581135MKkN·m198198103.581135kNm396207等代结构利用对称性计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；④非对称荷载分成对称和分对称荷载。EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/m7PPEI=常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图8作图示刚架的弯矩图。EI=常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/29例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=úûùêëé··+····=dEIEI13341M图(kN.m)2kN2kN

10无弯矩状态的判定：在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：

1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。－PM=02）一集中力沿一柱轴作用，只有该柱有轴力.－PM=0M=03）无结点线位移的结构，受结点集中力作用，只有轴力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPP11EI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。M=0－P/2P/2等代结构X1基本体系l/2l/2X1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lPhkk2166+-=XP1111D-=d41626Phkk·++4166Phkk·+1241626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph4Ph2Ph2Phk很小弱梁狼强柱k很大强梁尘弱柱4Ph41920Phk=3荷载抄作用创下，咱内力筑只与派各杆发的刚要度比保值有勉关，锋而与辞各杆鞭的刚鞋度绝使对值村无关兼。内力补分布抽与各约杆刚填度大赖小有封关，旁刚度律大者裁，内傍力也戒大。lIhIk12=13例：适试用受对称重性计赞算图墓示刚肢架，纳并绘煮弯矩品图。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：继将荷昂载分译为正惩对承喷和反凉对称记两组正对萄称结研点荷延载作用下洗各杆眠弯矩合为零反对馆称荷筐载作腥用取等蚁代结猪构如咸下1、额取基摆本结冻构；2、仅力法宣方程叫：=+EI=CEAP/2P/2P/2P/2P/2P/2等代结构00P/2P/2X1基本体系X1=1X1MP3、绘求系数自由项4、蚂解方漆程：5、按绘弯矩图。1512715127M图a14§9-教7超静弓定拱灾的计丝式算方战法16m3m15X1d111HPD-=jcos1N-=1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=òjcos2dsEA+ò01dsEIyMP-=Dò21dsEAN+òd2111dsEIM=òEI11dsMMPp=DòMP=M0X1=1xyX1=1由于胆拱是输曲杆δ11Δ1P不能器用图蚁乘法基本就体系袖是曲清梁，睡计算Δ1P时一抵般只考虑统弯曲器变形忌，计算δ11时，猜有时范（在蝴平拱效中）院还要考虑谜轴向套变形jjcossin0HQN--=fjsincos0HQQ-=0HyMM-=求出H后，侮内力算的计刊算与糖三铰纳拱相样同即：三铰消拱中逝：两铰垂拱中主：d111HPD-=16MP=M000＝≠E1A1H=1X1=1d111HPD-=MP=M0ò=DdsEIMMPP11òò+=dsEANdsEIM212111d落地式拱带拉崭杆的痕拱作急为屋株盖结卷构如果E1A1→∞，则H*→H，因赠而两辈者的朋受力国状态姜基本峡相同洞。如果E1A1→0，则H*→0，这徒时，怜带拉灶杆的艇三铰绑拱实束际一简支蜻曲梁斧，对纺拱肋今的受起力是季很不庄利的晶。由此锁可见师，为探了减抄少拱岗肋的浸弯矩欺，改每善拱声的受袭力状瓦应适当的雁加大职拉杆帽的刚绵度。H*=117例：诊EI蒜=常需数，舞求H里。拱灶轴线醒方程芽为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓qql81ql83ql162()xlqlM810-=()lxl2<<qxqlxM221830-=fqlHP162111=D-=d()EIlfdxxlxlfEIøöçèæ-=òddxyMdxyEIlpl10010211-=D=òòd解:简化疯假定:只考蓄虑弯响曲变勿形;近似印地取ds观=d放x,掀co妄s=扣1(平拱,f/圣l<季0.够2)。∴(0<抛x<良0.瞎5l)ql642ql642Mxx上例哪，两丧铰拱硬与三载铰拱店的内旬力相污等，鞋这不痰是普享遍性剥结论矿。如果优在别端的荷常载作肝用下坝，或桑在计何算位语移时纱不忽风略轴边向变蚂形的影响辆，两尺者内卧力不搬一定讨相等窗。但址是，叮在一袜般荷漆载作杏用下虑，两铰拱因的推栏力与超三铰习拱的班推力供及内标力通靠常是插比较苹接近畜的。M=众M0－Hyql162M0－Hy18例：奏图示脱拱，垄EI幻玉=常娘数，坚求其丢水平赔推力查H。枯拱轴合线方熟程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2X1对称听荷载除下，估取三伏铰拱牙为基凯本体顿系，其MP=0百∴Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0，而M=M对称=0基本点体系＝＋在反搬对称押荷载挂下，际对称歇未知天力X1=0↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2X1M反对塘称=M1X1+MP=MP=圆M0-H件y而招H究==0＝＝↓↓戒↓↓盈↓↓京↓↑考↑↑沸↑↑栏↑↑ql642ql642M0=腿M0＝M反对尸称MP19对称院无铰所拱的窗计算P1P2P1P2CC1OO1P1P2X1X2X3000333322221211212111=D+=D++=D++PPPXXXXXdddddX3X2X2X1X1对称胳的基惯本体汪系=oyxjcos2-=-=N2yM001111===QNMd21212112++=òòòdsEANNdsGAQQkdsEIMMX1=1就引起荐：X2=1竖引起灵：=0òò+¢-=dsEIadsEIy1ò-=dsEIy12dy‘yaò--=dsEIay¢òò¢=dsEIdsEIya1δ12=仗δ21=0→x’O点的叮物理攀含义杨：jsin2-=-=N2xMX3=1腊引起寻：òòò+=-=DdsEAdsEIydsEIyMPP22222cosjdEIEIòò==DdsdsMPP1111dòò==DdsxdsxMP2dEIEIP333201/EIaòò¢=dsEIdsEIya1y‘y‘x‘弹性中心O刚臂不的端融点O就是明弹性娘面积黎的形两心，洞叫弹叶性中遮心。21例题云10买-3蒸等尘截面父圆弧旁无铰浪拱求说内力助。l=10mΦ0Φ0RRf=2.5m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ADOq=10kN/mx’X2X2X1X1Φ0Φ0RR↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓AOq=10kN/my‘yayx解:求R和φ0R=终6.队25古mxφRdsMEIRdsMEIyayMM027.0855.1132222211121====¢-=-==òòddmEIdsdsEIyaRayyRx39.5cossin=¢==+=¢=òòjj22三铰驰拱的蛙水平横推力505.2810108220=··===¢kNfqlfMHC350507.51=-=¢¢-HHH%qqRdsMMEIqRdsMMEIxMPPPPP0223.0224.024223112-==D-==D=òòmkNRaXXMMmkNaRXXMkNXHBA.98.6)cos(.76.2)(7.510212102=-+===--===jkNqRXmkNqRXPP7.51827.0.1.47121.0222221111==D-===D-=dd23pΦ0Φ0RRDOΦX1X2X3合理刑拱轴京线M=智0，Q=惯0，N=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR例1失0-清4松求等摔截面捆圆形伞无铰绣拱在棚均匀租水压柄力作治用下述的内易力。解：弟1）狼忽略驰轴向泼变形裳，取三铰根拱为离基本樱体系态。Δ1P=0垄Δ2P=0扶Δ3P=0无铰棉拱和筐三铰血拱均处于姿无弯汇矩状蹄态pRpRpR=2）现考虑纯轴向鱼变形辉，用享弹性中士心法幅计算干将精元确的内力怎状态辩分为邪：X1X2X2yxcos012211-====jN-yMNM①不调计轴重向变帮形产扮生无现弯矩汽状态②单吓由轴采向变夏形产打生的丈附加仪内力耗状态以无顺弯矩络状态羽作基养本体烦系cos0221·==D=DòòjPPPdsEApRdsEANNMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR基本克体系24cos22+=òòjdsEAEIdsy222222+=òòdEAdsNEIdsM如果湿在某烂一荷报载作租用下金，三速铰拱该处于蒙无弯鞭矩状疾态，凯则在狐同一剃荷载臭作用巾下，冻与三国铰拱培轴线丙形式思相同秃的无拨铰拱鸟的内凶力在惨忽略绣轴向岁变形额时也歇处于闸无弯饶矩状口态；禾考虑汁轴向成变形聋时产宿生不仇大的踪蝶弯矩政，接盐近无吗弯矩制状态拥。X2X225§9.侄8温度望改变敏、支揪座移扎动时捕超静遭定结果构的德内力由于布超静央定结秩构由研多余稀约束迹，所灿以在肯无荷邪载作巡寿用时库，只肠要有覆发生触变形叹的因撑素，拾如温鼻度改必变、淹支座计移动已、材咐料收卡缩、屑制造焰误差刊等，熄都可申以产茶生内钳力（究自内衔力）背。261、温游度内五力的彻计算（仅肤自由规项计舰算不马同）例9庆-6汁图示遮刚架图施工艺时的赤温度患为1俘5°驱C，近使用座期间佣（冬坐季）涂温度如图逮。求岸温度市变化摔产生疤的内誉力。幼EI格=常撇数。－35°－35°－35°+15°+15°+15°40cm60cm8m6mX1基本耗体系X1=166δ11X1+Δ1t=001523515t--=25C-=o)35(15t--=D50C=o1143223622666861EIEI=úûùêëé···+··=d6800=a1)81)(25()22/6686(6.050t·-+··+·=Daa1111XNNXMM==111174.154326800EIEIXt-=-=D-=aad94弱.2N=－15到.7兼4M&践N×区αE哭I+15°+15°+15°－35°－35°－35°ååD±Δit=MNhttwawa0温度凶改变稼时的拦力法栽计算气特点篮：1）自澡内力饥全由明多余宜未知括力引痒起，猴且与岂杆件塔刚度挡的绝对值席有关裳；2）系烟数计匆算同熔前；3）自绞由项睬计算ååD±Δit=MNhttwawa027t0C2t0C2t0C2t0C2t0C图示累封闭忽框温众度变非化如绘图，画出钱弯矩萝图的赔大致终形状厚。2t0C2t0C2t0C2t0C2t0C－t0C282、副支座周移动呼时的先计算aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.津51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEI诵laX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系毛数计广算同切前；践自由众项ΔiC=－∑R锄·c队c是基肠本体扔系支铃座位床移。3）内钉力全材由多社余未倾知力为引起筛，且燥与杆芹件刚岭度的睬绝对扩值有策关。支座酒移动义时的辉力法沟计算汽特点杂：1）取顷不同熟的基或本体炸系计馆算时兵，不钩仅力这法方慰程代甲表的勾位移庆条件捷不同既，而诵且力毅法方偶程的避形式现也不愿一样仪。基县本体内系的年支座凝位移浓产生久自由敢项。垦与多详余未谈知力架对应踏的支法座位被移出馋现在播方程屠的右垮边。29用力违法求园解单漠跨超数静定龟梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddúûùêëéD-+=úûùêëéD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X130θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22=qC232=-DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM当杆邪件两晒端为车刚结拖或固腔定，伸且无密相对张侧移含时，剂可在集一端赔及距默该端2/世3处加棵铰选粗基本地体系龟，可绳使相兼应付吧系数孩等零浮。31↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本体系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2Δ1=0Δ2=0当{原结群构与貌基本勒体系受力竿和变煤形相咬同=3疮6=－13鸟.5求原麦结构砍的位播移就骡归结求谦基本替体系棍的位倾移。X=16MCDDD求ΔDH1耳6=附—级—（2×辣6×锈13炮5－6×疮81）EI纺611齐34=沉——EI虚拟舞的单药位荷扯载可完以加在优任一配基本帽体系肤上，计算膝结果渣相同深。例：ΔGVGG13M11.56×裹1.全5橡81苦72蔬9=－——夺—·—吴=－——2E拿I落2驳4镰EI§9.辜9超静艰定结巾构位肝移计纹算32超静竖定结盏构在维支座表移动辣和温蠢度改移变下详的位恰移计浴算c1c2M鸣N佳QMNQRP=1M牛N谱Qt1t2MNQP=1GAkQEANEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a033å-cR综合醉影响爆下的隶位移衣计算弟公式aEIlM例9租-7列求例酷9-核5中愤超静翻定梁跨中澡挠度街。P=1l/41/2P=1l/2l/234求超池静定本结构鼓因温去度改柿变、晚支座继移动匙产生脱的位只移时朋，若就选原炊结构河建立舱虚拟牵力状胶态，规计算碑将会秒更简祖单。cEI,l,t0,ΔtP=1①②虚功原理而：T12=035Δc=－∑R*×c3Pl/16P=1aEIl例：则求超虫静定顿梁跨孤中挠手度。5P/16例：撒求超掉静定各结构屿，各杆EI为常屯数，蔽截面为鬼矩形妥，h=0街.1l，求A点水沾平位涂移。ll/2l/215°15°15°25°AP=11/21/2l/2l/2P=1－1/2＋1－136例：度求超滔静定浴结构惭，各杆EI为常钓数截卧面为矩只形，h=0墨.1l，求C点竖次向位脚移。ll/2l/215°15°15°25°CP=1P=1403l403l－3/40－1/2－1/2解：芦在原敏超静虹定结构上弱虚拟给单位绕荷载壤，并用巷力法户求得革其弯矩图枯和轴恭力图塘。371）重内视校给核工中作，暖培养久校核洲习惯轧。2）校跳核不贝是重巨算，渡而是氧运用困不同怕方法奸进行巾定量流校核羡；或根旬据结句构的右性能暮进行葱定性发的判泰断或榜近似尝的估姥算。3）计悄算书陷要整性洁易汽懂，债层次纽奉分明概。4）分勒阶段困校核蒸，及罪时发见现小关错误扣，避性免造懂成大椅返工改。力法腾校核1）阶细段校俩核：①计算泡前校笛核计缎算简来图和贺原始土数据雾，基朗本体厅系是每否几何潜不变尾。②求系殊数和急自由抛项时伏，先称校核金内力含图，锋并注宋意正互负号打。③解方果程后剩校核掏多余虫未知盟力是显否满销足力舍法方悔程。§9.险10超静槐定结那构计庆算的乏校核382）最耀后内萄力图妙总校小核：a）平替衡条未件校跨核4m2m2m4m200kN751251522.511.3＋＋＋－－Q图（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3N图（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)B6040100∑M犬=02003.77515147.511.322.5∑X焦=3纠.7咸+1议1.栏3－冒15靠=0∑Y靠=7警5+限14壳7.伪5－蔬20拔0惜－2注2.蓝5芒=039δij=∫MjMi/EI×ds=δji力法陈基本范体系越与原辩结构赌等价齐的条附件是n个位衔移条鲁件，Δ1=0、Δ2=0、……植Δn=0将它腾们展漂开得益到力冶法方卵程Δi=∑钱δijXj+香ΔiP=0材i，j=灶1，2，……洁n其中仔：解方程，求多余未知力；按M=∑Mj·Xj+MP

叠加最后弯矩图。ΔiP=∫MPMi/EI×ds这样慌，超闪静定不结构橡的最青后弯隔矩图妥，与踩任意储基本炊体系拜的任哪一多余未竹知力车的单丽位弯醒矩图事图乘酱结果芒如果禽等于胀零，秤则满海足变苏形条冲件。注意锁：这排个结怀论对援温度夏改变旧或支炸座移币动引彩起的控超静筹定结侨构计医算是令不成哲立的珍。2)变形遇条件级的校杀核δii=∫MiMi/EI×ds>0+=åòòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=òåPjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+åiPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP404m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)BAXA=144200380-=12402044-·+3422410024úûù··-VA2420021êëé·=DAX1=1111040¹=úûù14215301êëé·-+úûù142603021êëé·-+4220401úûùêëé·-=ò1dsIM=DåòdsEIMM0==òdsEIM封闭框结论:当结侮构只却受荷龄载作方用时,沿封钳闭框欠形的M/族EI图形这的总面旋积应私等于清零。41X1=1M1111↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIABX1X1=166M119钓8103.581135MkNm=0()6811356266úûù·-··