2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 理 北师大版

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第1课时函数及其表示

考纲・点击高考指数:★★★★★

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.

主干回顾夯基固源重温教材扫清盲点

1.函数的概念及表示

给定两个非空数集1和6,如果按照某个对应关系£对于集合月中任何一个数x,在

函数定义集合3中都存在唯二确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合H

上的函数.

函数记法记作£_上叁或y=f(x),

函数的定义域在函数的定义中X叫作自变量，X的取值范围力叫作函数的定义域

函数的值域集合上辿金L叫作函数的值域

函数的三要素定义域、值域和对应法则

函数的表示法解析法、图像法和列表法

段函数

如果函数尸FG),才£4根据自变量X在4中不同的取值范围，有着丕回的对应关系，则称这样的函数为分段函数.

3.映射的定义

(1)两个非空集合力与6间存在着对应关系而且对于力中的每一个元素必8中总有唯二的一个元素y与它对应，就称这种对应为从力

到6的映射，记作A-B.

力中的元素才称为感像，8中的对应元素y称为x的像，记作工犬一乂

(2)一一映射

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一一映射是一种特殊的映射，它满足：

①力中每一个元素在6中都有唯二的像与之对应；②力中的不同元素的像也丕回；③6中的每一个元素都有原像.

［基础自测］

1.(教材改编题)下列各组函数是同一函数的是()

A.y=T"与y=i

次一1,x>l

B.y=x-1，与y=\八

1A1—x,x<\

C.y=x|+x-1|与y=2x—1

x'+x-

D•尸7TT与尸工

解析：A中定义域不同，B中定义域不同，C中两个函数对应关系不同，D中定义域均为R,对应关系均为尸x,故选D.

答案：D

2.设£g都是从力到力的映射(其中力={1,2,3}),其对应关系如下表：

X123

f312

g321

则丹晨3))等于()

A.1B.2

C.3D.不存在

解析：•・'g(3)=L，F(g(3))=F(l)=3,故选C.

答案：C

90,

3.(教材改编题)设函数—若F(a)+F(—1)=2,则a=()

—x,K0,

A.-3B.±3

C.-1D.±1

解析：vr(-D=^---=1,/(a)+A-1)=2,

.\f(a)=1,・••当力0时，爪=1解得a=l.当水0时，yj—a=l解得a=-1..•・a=±l.

答案：D

4.函数旷=丁一2入的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为.

解析：当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为{-1,0,3}.

答案：{-1,0,3}

5.设集合力={x|y=Yx—2},集合8=加尸？，x£R},则404=.

解析：已知力={x|x—220}={x才22},B—{y|y^0),

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：.AViB={x\x'»2}.

答案：{x|x22)

考点研析题组冲关核心考点深化突破

考点一函数、映射的概念与求函数值

大一轮复习BSD数学(理)第二章基本初等函数、导数及其应用[例1](1)(2014•高考江西卷)函数f(x)=ln(y—x)的定义域为

()

A.(0,1)

B.[0,1]

C.(一8,o)U(1,+8)

D.(—8,0]U[1,+8)

(2)有以下判断：

①/'(x)=4与g(x)={_]表示同一函数；

②函数y=f(x)的图像与宜线才=1的交点最多有1个：

③F(x)—2x+l与g(8=/—21+1是同一函数；

④若f(x)=|x-11一削，则《/(习)=0.

其中正确判断的序号是.

审题视点(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题.

(2)从函数的定义、定义域、值域等方面对所给结论进行逐一分析判断.

解析(1)要使Hx)=ln(V—x)有意义，只需入＞0,

解得上＞1或K0.

，函数f(x)=ln(V—4)的定义域为(一8,o)U(1,+8).

1x1*

(2)对于①，由于函数人切=」的定义域为且杼0},而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数，

x(―1,x

对于③，与g(E)的定义域、值域和对应关系均相同，所以FJ)与g1)表示同一函数，对于②，若x=l不是尸八才)定义域的值，则宜线

才=1与尸f(x)的图像没有交点，如果x=l是尸F(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x=l与y=F(x)的图像只有一个交点，即尸

f(x)的图像与直线x=l最多有一个交点，对于④，由于7GHH-冏=0,...碉=制0)=1.

综上可知，正确的判断是②，③.

答案(DC⑵②③

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I方法总结I

函数的三要素是：定义域、值域、对应关系.这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关

系都相同的函数才是同一函数.特别值得说明的是，对应关系是对效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的

任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的.即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；

若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断.

题组冲关

1.(2015•高考重庆卷)函数尸(x)=log2(7+2x—3)的定义域是

()

A.[—3,1]

B.(—3,1)

C.(-8,+8)

D.(-8,-3)U(1,+8)

解析：要使函数有意义，只需丁+2工—3〉0,即(x+3)(x—l)>0,解得求一3或力1.故函数的定义域为(—8,-3)U(1,+-)

答案：D

2.(2016•安徽宣城一模)函数f(x)=亚亘三的定义域是

X—

()

A.[3,+8)B.1)

《一",3)D.(-8,-3)

'|工一2|一120,

解析：要使函数有意义，需使

d—1W1.

X—221或X—2W—1,

X>1,

(#2.

所以才23,即定义域为[3,+8).

答案：A

考点二分段函数及其应用

y+1,才>0,

[例2](2014•高考福建卷)已知函数人力=…则下列结论正确的是()

cosx,xWO,

A.f(x)是偶函数B.〃力是增函数

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C.Hx）是周期函数D.Hx）的值域为［-1,+8）

审题视点根据所给分段函数解析式，画出函数图像解答.

座+1,x>0,

解析函数/'（»=J的图像如图所示，由图像知只有D正确.

cosx,后0

答案D

I方法总结I

对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同，在

解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,

而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

题组冲关强化训练提升考能

1+10g2—XK1,

1.（2015•高考课标卷1［）设函数/U）=则F(—2)+〃1限⑵=()

NT*21,

A.3B.6

C.9D.12

解析：・・・一2<1,

AA-2)=1+log?(2+2)=1+log24=1+2=3.

Vlog212>l,

12

.,./,(log212)=21og212-l=y=6.

・•・F(-2)+f(log212)=3+6=9.故选C.

答案：C

%+1,xWO,

2.（2016•陕西榆林一模）已知f{x}='使—1成立的x的取值范围是一

x—x>0,

aWO,

x>0,

解析：由题意知<

%+12-1,或，

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解得一4WxW0或0<运2,故x的取值范围为[-4,2].

答案：[-4,2]

考点三函数的表示法

[例3](1)下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是()

A.F(x)=|x|B.f(x)=x-\x\

C.f(x)=x+1D.f(x)=-x

(2)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12),4m,不考虑树的粗细.现在想用16m

长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃4%以设此矩形花圃的面积为Sm」，S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内，则函数u=f(a)的图

像大致是()

审题视点(D将f(2M表示出来，与2f(x)作比较.

(2)将f(a)用函数表示出来，用函数观点来研究最值.

解析(1)对于A,f(2x)=|2x|=2|*|=2f(x)；

对于B,f(2x)=2x-\2x\=2(x-|x|)=2f[x｝；

对于C,f(2x)=2x+l片2f(x)；

对于D,f(2x)=-2x=2f(x),故只有C不满足f(2x)=2f(x),所以选C.

(2)设DC=y,则*+y=16,5=xy=x(16-x)=一(X一8尸+64(才小@).

当0<aW8时，x=8使S取得最大值，且f(a)=64；

当8〈a〈12时，x=a使S取得最大值，且f(a)=—(a—8)2+64是一个在区间(8,12)上单调递减的函数，但始终有f(a)>0.故只有C图像符

合，故选C.

答案(DC(2)C

|方法总结|

求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等.

题组冲关强化训练提升考能

1.(2016•浙江慈溪、余姚联考)若函数f(x)满足：2f(力+/。=3%则F(x)=.

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解析：用;替换2f(x)+6)=3*中的x,得到27Q+f(x)=1，两个方程联立消去心得f[x)=2x，

答案：2T

2.(2016•河北唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x30时，f(x)=M+ln(l+x),则当K0时，f[x)=()

A.—y―ln(l-A)B.f+ln(l-x)

C.]n(l—x)D.—x34-ln(l—A)

解析：当KO时，-x>0,

f(—x)=(—Ar)J+ln(l—A).

・・・f(x)是R上的奇函数，

...当KO时，f(x)=—f(—x)=—[(—xF+lnd—才)],

・，・F(x)=x—In(1—%).

答案：C

素能提升学科培优提高技能特色展示

创新探究系列2

与函数有关的新定义问题

［典例］设/Xx）,g（x）,力（才）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（户g）（X）和（F・g）（x）；对任意x£R,（户g）（X）=久代力）；

6・g）（x）=F（x）g（x）.则下列等式恒成立的是（）

A.（（f。g）•血（才）=（（F•力）。（g•方））（x）

B.（（f・g）。力）（x）=（（f。/i）•（Q力））（才）

C.（（户g）°力）（＞）=（（户力）。幅/i））（x）

D.（（/・g）•A）（%）=（（/•力）•（g•力））（x）

解题指南根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断.

解析根据新函数的定义分析如下，

A项（（户g）•力）（x）=（户g）（x）力（x）=f（g（x））力（x）：

（（/•/］）°（g•力））（x）=（广力）（（g•力）（x））

=（/•力（gCr）"x））=f（g（x）23）力（g（x）方3）；等式不恒成立.

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B项（6・g）。力）（x）=（f・8）（力（力）=/（力（彳））式力（力）；

（（/，oA）・（6人））（才）=（1'。力）（x）（夕/?）（x）=f（7?（x））gS（x））；等式恒成立.

C项（（户g）。力）（力=（尸g）（力（x））=f（g（A（x）））；

（（f。力）。（夕力））（才）=（广力）（（夕力）（*））=（公力）（g（力（x）））=F（0（g（力（x））））；等式不恒成立.

D项（6-g）・/?）（x）=（f・g）（x）力（x）=f（x）g（x）力（x）；

（（外力）・3•力））（力=（F•力）（x）（g・力）（x）=F（x）/;（x）g（x）/7（x）.等式不恒成立.

答案B

阅卷点评A本题突破以往给出具体函数解析式的模式，努力让学生打破常规思维，对学生的思维能力提出了更高的要求.

创新点评A（1）本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖.

（2）考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有

较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力.

备考建议A（1）熟练掌握函数有关概念、运算.

（2）在新问题面前，要冷静思考，新问题的解决还是要靠“老知识”“老方法”，应该有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们熟知的

问题.

指点迷津展示4

♦一个关系——函数与映射的关系

（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合5只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集5的映射.

（2）映射不一定是函数，从/到4的一个映射，人3若不是数集，则这个映射便不是函数.

♦两点提醒

（1）定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数.如函数y=x与y=x+l,其定义域与值域完全相同，但不是相同函数.因此判断两个

函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同.

（2）分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

课时规范训练

[A级基础演练]

1.函数y=、nln（l—x）的定义域为（）

A.（0,1）B.[0,1）

C.（0,1]D.[0,1]

后0

解析：由八，解得0W/CL故选B.

[1—x>0

答案：B

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2.(2015•高考陕西卷)设f(x)=P一则

[2，，x<0,

f(f(-2))=()

A.-1B3

C.1D.|

解析：因为一2〈0,所以f(-2)=2T=；＞0,

所以£•)=]_故

答案：C

figx,0＜Kl

3.(2016•浙江台州调研)若点力(a,—1)在函数f(x)=＜厂，的图像上，则a=()

A.1B.10

C.®D.看

解析：当时，y=y[x^l,因此点4(a,-1)在函数y=lg*(0＜豕1)的图像上，故一l=lga,a=5.

答案：D

4.(2016•青岛一模)函数尸f(x)的定义域为在同一坐标系下，尸f(x)与直线『=1的交点个数是

解析：由函数定义的唯一性及xe[—1,5],知函数f(x)与x=l只有唯一一个交点.

答案：1

3x-x

5.(2016•西宁模拟)若函数Ax)=1x=

则f(H0))=.

解析：f(0)=n,f(n)=3JT-—4,

・・・f(/•(()))=/•(n)=3五2一&

答案：3H2-4

6.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+l)-2f(x—l)=2x+17,则f(x)=

解析：・・・ax)是一次函数，

・•.设f[x)=ax+6(aW0),

又・・・3f(—(x—1)=2x+17,

即ax+5a+A=2x+17,

.*.a=2,6=7,/.f(x)=2x4-7.

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答案：2x+7

7.已知函数y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.

解：根据图像，设左侧的射线对应的解析式为

・・,点(1,1),(0,2)在射线上，

卜+8=1,k=-l,

[6=2,解得，

6=2.

・••左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2CrWl)；

同理，才23时，函数的解析式为y=x—2(x23).

再设抛物线对应的二次函数解析式为尸a(*-2)2+2(lWxW3,a<0),

1•点(1,D在抛物线上,

，a+2=l,a=-1,

・・・1WXW3时，函数的解析式为

y=—%2+4x—2(1W启3),

—x+2,水1

T+4x-2,0W3

{x—2,x>3

x—1,x>0

8.(2016•深圳模拟)已知f(x)=V—l,g(x)=

2—x、X0

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；

⑵求F(g(x))和g(f(x))的解析式.

解：(1)由已知，g(2)=Lf(2)=3,

・•・F(g(2))=f(l)=0,g(F(2))=g(3)=2.

(2)当%>0时，g(x)=x—1,

故F(g(x))=(x—I)?-1=V—2x；

当/0时，g(x)=2一筋

故f(g(x))=(2—A)2—1=/—4xH-3；

卜J2x,x>0,

・・"(g(x))=

4x+3,KO,

当x〉l或水一1时，f(A)>0,

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故哉f(x))=f(x)—1=x—2；

当一1<K1时，/U)<0,

故g(f(x))=2—f(x)=3一—

x-2tx>1或点—1,

，g(U))=

3—x2,-1<X1.

［B级能力突破］

2*7—2xWl,

1.(2015•高考课标卷I)已知函数/U)=,且y(a)=-3,则f(6—血=()

—log2>>1,

解析：由于f(a)=-3,

①若aWL则21—2=-3,整理得21=-1.

由于2'>0,所以21=—1无解；

②若a>l,则一log2(a+l)=-3,

解得a+l=8,a=7,

7

所以F(6—a)=F(-1)=22=--

7

综上所述，/(6—a)=--故选A.

答案：A

2.(2016•衡水模拟)函数FJ)的定义域为〃若对于任意小，x£D,当乂＜生时都有/"JWAE),则称函数F(x)在〃上为非减函数.设

函数/、(才)在［0,1］上为非减函数，且满足以下三个条件：①/.(0)=0；②«3=gf(x)；③f(l—X)=1—/，(才)，则/(与+/(5)等于()

31

"彳B.5

2

C.1D.-

解析:V/(0)=0,f(l一力=1一〃力,

/./(I)=L又《卜聂⑴，

又V/(I—x)+f(x)=I,

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阶筑4

周=笫="

答案：A

1,力0

3.(2015•高考湖北卷)设x£R,定义符号函数sgnx=j0,x=0,则()

.-1,X0

A.|x=x\sgnx\B.|x\=ABgn|x

C.|x=|x\sgnxD.|x|=xsgnx

解析：当水0时，|x|=-x,xlsgnx\=x,xsgnl^l=x,

x\sgnx=(-x)•(—1)=x,排除A,B,C,故选D.

答案：D

4.(2015♦高考浙江卷)存在函数f(x)满足：对任意x£R都有()

A.Asin2A)=sinxB.Asin2x)=xA-x

C.f(x+1)=|%+1|D.f(x4-2A)=|AH-11

解析：取特殊值法.

取x=0,y,可得以0)=0,1,这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；

取x=0,n,可得F(0)=0,n2+JI,这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；

取x=l,-1,可得/・(2)=2,0,这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；

取木，则对任意x£R都有尸(*2+2彳)=｛寸+2>+1=分+1],故选项D正确.

综上可知，本题选D.

答案：D

(2/一8ax+3,K1,

5.(2016-福州一模)函数/V)=1、

[lOgaX,X^\

在x£R内单调递减，则a的范围是()

A.(0,|1B./1)

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15'

D.

c.2f8

解析：要求此函数的两段均为减函数，并且才=1时第一段的函数值在第二段的上方或者相等，即

r?>i

1R

<0〈水L解得<0<水1,故jWaWa

/O

、2—8a+321og35

答案：C

x+~-3,后1

6.(2015•高考浙江卷)已知函数f(x)=<x则F"(—3))=f(x)的最小值是

/+,K1

解析：由内到外依次代入计算可得〃『(一3)),在分段函数的两段内分别计算最小值，取二者中较小的为〃/)的最小值.

,.,f(-3)=lg[(-3)2+l]=lg10=1,

.,./(/,(-3))=/'(1)=1+2-3=0.

当x/1时，x+~3>2x>-3=2>^2—3,当且仅当x=孑，即x=*时等号成立，此时/'(x)“；”=2m—3<0；

当水1时，lg(-+l)Mlg(02+l)=0,此时

所以f(x)的最小值为2蛆一3.

答案：02小一3

7.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间f(小时)之间近似满

足如图所示曲线.

(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药的时间为7：00,问之后的10小时中应怎

样安排服药时间？

0W尾),

12r

解：(1)由题意知产=《

枭W8)

45+T迎5

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(2)设第二次服药是在第一次服药后自住〈床8)小时，

4Q9

则一不1十三=4,解得力=3(小时).因而第二次服药应在10：00.设第三次服药在第一次服药后点3〈丛8)小时，则此时血液中含药量应

55

为两次服药后的含药量的和.

解得,=7(小时),即第三次服药应在14：00.

设第四次服药应在第一次服药后七小时(打＞8),

则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第：、三次的和.

-1(r3-3)+y+F-|h-+yl=4,

ujLuJ」

解得右=10.5(小时)》小小时故舍去.

第2课时函数的定义域和值域

考纲・点击高考指数:★★★

1.了解定义域、值域是构成函数的要素.

2.会求一些简单函数的定义域和值域.

主干回顾夯基固源重温教材扫清盲点

1.函数的定义域

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

确定函数定义域的原则：

(1)当函数尸以力用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;

(2)当函数y=F(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在三轴上投影所覆盖的实数的集合；

(3)当函数尸FQ)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；

(4)当函数尸f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的篁乂确定：

(5)当函数尸/Xx)是由几部分数学式子构成时，函数的定义域就是使各部分式子都有意义的实数的集合.

2.函数的值域

(1)函数的值域的定义：在函数y=f(x)中与自变量x的值对应的/的值叫作函数值,所有函数值的集合，叫作函数的值域.

(2)确定函数值域的原则：a.当函数f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中所有y值组成的集合.b.当函数尸f(x)用图像给出时,

函数的值域是指图像上每一个点的纵坐标组成的集合.c.当函数y=F(x)用解析式给出时，函数的值域由定义域和解析式确定.

(3)求函数值域的方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、几何法、不等式法、单调性法等.

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［基础自测］

1.已知函数〃才）=的定义域为M,以才）=1。（1+力的定义域为\,则MAAM）

y1-X

A.{x|x>—1}B.{x|x〈l}

C.UI-KK1}D.0

解析：由题意知材={川水i},归{x|x>—1},故称n芹=3—1<水1}.

答案：c

2.函数尸量后的值域为（）

B.y混

A.R

4围}

D.

解析：,.•寸+232,.，.。〈产；2g.

答案:D

3.函数/■(x)=±+lg(l+x)的定义域是(

A.(—8,—1)B.(1,+oo)

C.(-1,1)U(1,+8)D.(一8,+8)

fl-r#0

解析：要使函数有意义，须…、八解得x>—1且xWl.

U+x>0

答案：c

4.（教材改编题）函数/.（x）=log2（3'+l）的值域为.

解析：・・・3'+1>1且/Q）=log2X为增函数.

.,.log2（3'+l）>log2l=0,・•・值域为（0,+8）.

答案：（0,4-oo）

5.（教材改编题）若皆有意义，则函数尸产+3x—5的值域是—

解析：由5■有意义知x30,

又•.•尸f+3x-5在［0,+8）上为增函数，

二函数y=f+3x-5的值域为［-5,+8）.

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答案：[-5,+8)

考点研析题组冲关核心考点深化突破

考点一求函数的定义域

[例1](1)函数f(x)=71—21og6彳的定义域为.

(2)已知函数F(2,)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域.

审题视点(1)使根式和对数式有意义，求x的范围.

(2)明确2'与FCr)中x的含义，从而构造不等式求解.

[1—21ogc^0

解析(1)由条件得八，

[x>0

解得卜g6，W5=iog《，所以函数的定义域为(0,#].

[A->0

答案(0,4]

(2)：/'(2')的定义域为[-1,1],即一1W后1,

.•.”W2,故f(x)的定义域为猿21.

|方法总结|

简单函数定义域的类型及求法

①已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.②对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.③

对抽象函数：(i)若已知函数f(x)的定义域为[a,3，则复合函数f(g(r))的定义域由不等式aWg(x)W6求出.(ii)若已知函数f(g(x))的定

义域为[a,A],则f(x)的定义域为g(x)在xC[a,6]时的值域.

题组冲关强化训练提升考能

1.(2016•德州模拟)求函数，(*)=二1丁+4711+(彳一4/的定义域为—

解析：要使/■(X)有意义，则只需

2-|x|^0,XH±2

,X—120,即或xW—l

/一4工0,/W4

x^-1且#2且痣4或后一1且xW—2.

故函数的定义域为{x\x<—2或一2<启一1或1Wx<2或2<水4或x>4}.

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答案：{x|水一2或一2<xW-l或1WK2或2<K4或x>4}

2.（2016•莱芜模拟）已知函数汽力的定义域为［3,6］,则函数的定义域为（）

A.+0°2

+8Df2

C.修-2

解析:要使函数9=有意义，需满足

3W2xW6,

]WZ3,3

=>5=故选B.

10g--X

20<2—矛<1.

答案：B

考点二求函数的值域

［例2］求下列函数的值域:

/、/、x-3

⑵*“）=不匕:

（3）f（x）=x—Gl—2x.

审题视点根据各个函数解析式的特点,分别选用不同的方法求解，（1）用分离常数法：（2）用配方法；（3）用换元法或单调性法.

Y^-qv-i-1-44

解（1）（分离常数法）f（x）=F7=-.,,=1—TT.

XIkXI1XI1

44

因为币所以1一币Hl,

即函数的值域是{yy£R,y#l}.

（2）（配方法）由于2+*—9=-0—；）+.乏*此时有三种情况，若一口一3+*0,则yVO；

若W+沁

则y无意义；

若___0_＜_（一卜1Y司,9+1产9不

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・，・函数的值域为(-8,0)U.,+8)

_/

(3)法一：(换元法)令Jl—2x=3则320且x=”2%

।—1

于是y=-^--t=--(f+l)2+l,

由于a0,所以应，故函数的值域是上|国j.

法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1一2G0,即W，所以

即函数的值域是•

|方法总结|

(1)在求函数值域时，若函数解析式中是分式的形式，且分子、分母都是一次的，可考虑用分离常数法；若函数与二次函数有关，可用配方

法；若解析式中含有根式，应考虑用换元法或单调性法：若解析式结构与均值不等式有关，可用均值不等式法求解.

(2)对于含有根式的函数y=ax+6+炳1(a,b,d,e均为常数且4步0),若a与d同号,用单调性法求值域较为简单；当a与d异号

时，一般要用换元法求值域.

题组冲关强化训练提升考能

1.(2016•北京海淀一模)函数y=-*+l,-1WA<2的值域是

()

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.[0,1]D.[1,5)

解析：V+i在(-1,0)上递增，在(0,2)上递减，且•¥=-1时，y=0,x=0时，y=l,x=2时，y=-3,.,.yG(—3,11>故选B.

答案：B

2.求下列函数的值域，并指出函数有无最值.

⑵7=*+：+1(丘0).

解：(D法一：(判别式法)

3y

•・，x£R,尸了百，整理得以一3x+4y=0.

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当y=0时，x=0；

33

当尸产。时，由/20=一产kX，且斤0,

综上，函数的值域为[一*；].

二函数有最小值一牙，最大值彳

法二：(基本不等式法)

•.3=0时，y=0,

QIv|QQ4

，当xWO时，IW=v+4=---------"W不当且仅当以”=；1，即才=±2时，等号成立.

3+而.

.33・？物/占甘由33

..一彳在辰丁・•函数值域为一*,牙.

33

・•.函数有最小值一彳，最大值才

(2)(基本不等式法)

由y=x+：+l(a0),得y-l=x+；

♦・・|x+：|=x|+：|22yjx|•(1=2,

A|y-1|^2,即yW-l或y23.

，函数值域为(-8,-1]U[3,+8).

・•・函数既无最大值，又无最小值.

法二：(判别式法)

由尸x+；+l,得/+(]—y)x+l=O.

•・•方程有实根，・・・4=(1一02-420,即(r)22.

・•・y—1W—2或y—122.解得z—1或y23.

工函数值域为(一8,-1]U[3,+8).

・•・函数既无最大值又无最小值.

考点三与函数定义域、值域有关的参数问题

[例3]已知函数f(x)=Naf+