高中数学-简单曲线的极坐标方程（1）教学设计学情分析教材分析课后反思

简单曲线的极坐标方程（1）一、

教学目标1.知识目标(1)类比平面直角坐标系中，曲线与方程的概念，归纳出极坐标系中曲线与方程的意义；（2）已知圆的圆心与半径，会求圆的极坐标方程；（3）会将圆的直角坐标方程与极坐标方程互相转化。2.能力目标通过圆的极坐标方程的推导与应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化与化归、类比等数学思想。3.情感、态度与价值观经历圆的极坐标方程的探究过程，激发学生求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的求学态度.二、教学重点与难点1.教学重点：已知圆的圆心与半径，求圆的极坐标方程。2.教学难点：理解曲线的极坐标方程的意义。三、教法与学法分析1.教法

本节课主要采用“分析法”“类比法”“归纳法”相结合进行教学，同时利用多媒体作辅助手段，增强趣味性和直观性。在教学中充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。2.学法先学后教，把学习中遇到的困惑，提出来，让学生学会“自主探究”和“小组合作探究”，从而解决问题，使学生由“学会”变为“会学”，掌握自主获得知识的途径和方法。四、教学过程设计本节课的基本流程：创设情境引出课题——类比旧知归纳新知——由易到难导出方程——知识整合，方程互化——能力提升课堂小结——达标检测布置作业（一）

创设情境引出课题OxOxOxOx解析几何之父笛卡尔因数学与瑞典公主Christine邂逅，在交流数学的过程中互生爱慕之心.但身份的悬殊和年龄的差距使得他们不能为世人所容，笛卡尔被瑞典国王流放了.两人从此断绝了联系，后来笛卡尔的身体每况愈下，临近生命的终点，他向公主写了一封信，内容只有一个方程:ρ＝a(1－sinθ).众人对其不甚了解，当信件终于辗转到了公主的手中.当她根据方程作出图形的刹那间泪流满面……原来这个方程对应的曲线就是著名的“心形线”.对这个浪漫的传说，人们不再去追究它的真实性，在这里我们知道原来在极坐标的世界里，曾流传着一个美丽的传说…………【设计意图】通过故事，调动起学生的好奇心，激发他们探究本节课的欲望，同时，也说明了，数学来源于生活，并服务与生活，生活中，数学无处不在。（二）

类比旧知归纳新知问题1:在直角坐标系中，曲线的方程和方程的曲线是怎样定义的？问题2：在极坐标系中，曲线的方程和方程的曲线是怎样定义的【设计意图】复习直角坐标系中，曲线方程的意义，让学生自己类比得出极坐标系下，曲线方程的意义。问题3：直角坐标系下，求曲线方程的步骤是什么？1.建系设点2.找等量关系，列出方程3.化简整理4.限制说明问题4：在极坐标系下，求曲线方程的步骤是什么？1.建立适当的极坐标系，设M（ρ，θ）为曲线上任意一点2.找出等量关系，列出关于ρ，θ的方程3.化简整理4.特殊情况进行说明【设计意图】复习直角坐标系中，曲线方程的求法，让学生自己类比得出极坐标系下，求曲线方程的方法。（三）由易到难导出方程例1、求满足下列条件的圆的极坐标方程.(1)圆心在极点，半径为3;(2)圆心为C(3，0)，半径为3;(3)圆心为C(3，π2)，半径为(4)圆心为C(3，π6)，半径为【解析】(1)∵圆心在极点，半径为3，∴该圆的极坐标方程为ρ＝3.(2)∵圆心为C(3，0)，半径为3，∴该圆的极坐标方程为ρ＝6cosθ.(3)如图，在圆上任取一点M(ρ，θ)，连接OM，MP，由题意可知，OP＝6且△MOP为直角三角形，∴OM＝OP·sinθ，故该圆的极坐标方程为ρ＝6sinθ(0≤θ≤π).(4)(法一)如图，在圆上任取一点M(ρ，θ)，连接MC，在△MOC中，OC＝3，OM＝ρ，MC＝1，∠MOC＝|θ－π6|.由余弦定理得MC2＝OM2＋OC2－2OM·OC·cos∠MOC，∴1＝ρ2＋32－2ρ·3·cos|θ－π6|化简得ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8＝0，即该圆的极坐标方程为ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8(法二)将圆心C(3，π6)化为直角坐标为C(332，32)，于是圆C的直角坐标方程为(x－332)2＋(y－32)2＝1，转化为极坐标方程为(ρcosθ－3化简得ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8＝0，即该圆的极坐标方程为ρ2－6ρcos(θ－π6)＋8【设计意图】根据学生的认知规律，例题的设置，由易到难，由特殊到一般，引导学生发现等量关系，导出圆的极坐标方程【小试牛刀】以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(C)【师生活动】先让学生进行自主探究，老师注意观察学生探究情况，待学生有了一定想法之后，进行小组交流，此时，老师要深入学生中间，倾听并了解学生的想法之后，全班同学进行辨析研讨。【设计意图】这个题目中，点的坐标，很容易让学生误认为是直角坐标，1弧度，看成是纵坐标1，通过这个小陷阱，让学生加深印象，要注意仔细审题，看清楚是在哪种坐标系中研究问题，从而做到细心认真，不出错。（四）知识整合，方程互化例2.把下列极坐标方程与直角坐标方程互化：(3)x2＋y2－2x－1＝0（3）ρ2－2ρcosθ－1＝0【方法总结】直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．【设计意图】有直角坐标方程，化成极坐标方程，只需要带人公式x=ρcosθ及y=ρsinθ，比较简单，因此只设置了一个题目，极坐标方程化成直角坐标方程，通常是构造ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换，分别设置了ρ2的代换，和ρcosθ，ρsinθ的代换，选了两个题目【小试牛刀】答案：.【设计意图】在例题的基础上，加入了简单的三角恒等变形，需要学生先将两角差的余弦公式展开，然后再进行直角坐标与极坐标的整体代换。（五）能力提升在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点M的轨迹的极坐标方程。答案：ρ=4cosθ【师生活动】学生自主探究，独立思考得到结论，并在全班交流.【设计意图】设置能力提升部分，是对前面两个例题的进一步升华，本题不但要求出极坐标下圆的方程，还要复习前面求曲线方程的一个方法——带人法，从而让学生将所学知识融会贯通．（六）课堂小结：让学生自己总结本节课所学知识（七）达标检测【设计意图】通过对本练习的解答达到以下目的：（1）由圆心与半径，会求出过极点的圆的极坐标方程；（2）会进行直角坐标系下与极坐标系下圆的方程的互化。（八）布置作业【设计意图】通过作业，反馈教学效果，提高有效教学(九)板书设计课题圆的极坐标方程一、曲线的极坐标方程二、求曲线方程的基本步骤三、曲线的直角坐标方程与极坐标方程互化四、应用举例例1例2我所授课的班级是文科班三层级学生，文科学生虽然数学思维不是很活跃，但孩子们认真，探求数学知识的积极性高涨，而且三层级是文科中比较优秀的班级，因此，孩子们还是有一定的探索和分析问题、解决问题的能力。在本节课之前，学生已经掌握了极坐标系的概念，极坐标与直角坐标的互化，在直角坐标系内求解曲线方程的一般步骤，正余弦定理，这都为学习本节课的内容奠定了基础。这样设计教学程序，能激发他们探究新知的欲望和必要性，通过解决特殊问题，让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，符合学生的认知结构特征，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般。通过学生对问题的解答，使学生理清求解圆的极坐标方程的方法。体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识。学生学习结果的评价当然重要，但是更重要的是学生学习过程的评价。我采用了及时点评，延时点评和学生互评相结合，全面考察学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在合作探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神。圆的极坐标方程是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学选修4-4第一讲第三节的内容,本节课共分两课时完成，本节课是高中数学4-4《坐标系与参数方程》选讲中第一讲第三节的内容，是在复习了平面直角坐标系,引入了极坐标系，以及掌握了极坐标与直角坐标的互化的基础上进一步学习《简单曲线的极坐标方程》。这节在教参中建议的是上2课时，考纲对这一节的要求是：能在极坐标系中给出简单图形的方程。通过对比这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当的坐标系的意义。本节课主要研究曲线的极坐标方程的定义和圆的极坐标方程，圆的极坐标方程肩负着完善学生知识体系的价值和作用，同时下一节直线的极坐标方程的研究提供了方法。圆的极坐标方程一、选择题1．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ()．A．ρ＝1 B．ρ＝cosθC．ρ＝－eq\f(1,cosθ) D．ρ＝eq\f(1,cosθ)2．在极坐标系中，圆心在(eq\r(2)，π)且过极点的圆的方程为 ()．A．ρ＝2eq\r(2)cosθ B．ρ＝－2eq\r(2)cosθC．ρ＝2eq\r(2)sinθ D．ρ＝－2eq\r(2)sinθ3．极坐标方程ρ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的图形是 ()．4．曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为 ()．A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4二、填空题5．两曲线ρsinθ＝2和ρ＝4sinθ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________．6．极点到直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的距离为________．7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________．8．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．三、解答题9．(求直线的极坐标方程)求过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化．(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)ρcos2eq\f(θ,2)＝1；(4)ρ2cos2θ＝4；(5)ρ＝eq\f(1,2－cosθ).11．(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(π,3)))，半径为5的圆的极坐标方程．

圆的极坐标方程答案1解析如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)．在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM，∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－eq\f(1,cosθ).答案C2解析如图所示，P(eq\r(2)，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°，在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM∴ρ＝2eq\r(2)cos(π－θ)，即ρ＝－2eq\r(2)cosθ.答案B3解析∵ρ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2sinθ·coseq\f(π,4)＋2cosθ·sineq\f(π,4)＝eq\r(2)(sinθ＋cosθ)，∴ρ2＝eq\r(2)ρsinθ＋eq\r(2)ρcosθ，∴x2＋y2＝eq\r(2)x＋eq\r(2)y，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1，∴圆心的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).结合四个图形，可知选C.答案C4解析由已知得ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.答案B5答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3,4)π))6解析直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直角坐标为(0，0)，∴极点到直线的距离为d＝eq\f(|－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2).答案eq\r(2)7解析过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝eq\r(3)，y2＝－eq\r(3)，所以|AB|＝|y1－y2|＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)8解析原方程化为直角坐标系下的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(10)，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(eq\r(10)，0)，(－eq\r(10)，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(eq\r(10)，0)，(eq\r(10)，π)．答案(eq\r(10)，0)，(eq\r(10)，π)9解在直线l上任取一点M，如图：因为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，所以|OH|＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3).在Rt△OMH中，|OH|＝ρcosθ＝eq\r(3)，所以所求直线的方程为ρcosθ＝eq\r(3).10解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)∵ρcos2eq\f(θ,2)＝1，∴ρeq\f(cosθ＋1,2)＝1，即ρcosθ＋ρ＝2，∴x＋eq\r(x2＋y2)＝2，整理有y2＝4－4x.(4)∵ρ2cos2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4.化简得x2－y2＝4.(5)∵ρ＝eq\f(1,2－cosθ)，∴1＝2ρ－ρcosθ，∴1＝2eq\r(x2＋y2)－x，整理得3x2＋4y2－2x－1＝0.11解在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，|OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝eq\f(π,3)－θ或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\