解三角形中最值问题(含解析)

解三角形中最值问题(含解析)

解三角形中的最值问题选择题1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且BC边上的高为h，则h的最大值为2a。2.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是(8,10)。3.在△ABC中，若B=π/3，AC=3，则AB+2BC的最大值为22。4.在锐角△ABC中，∠C为最大角，且sinA:sinB:sinC=2:(1+k):2k，则实数k的最小值是3。5.在锐角△ABC中，若C=2B，则b/c的范围是(2,3)。6.已知锐角ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b=a(a+c)，则sin2A/sin(B-A)的取值范围是(0,2)。7.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且满足csinA=3acosC，则sinA+sinB的最大值是2。8.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a(1+cosB)=bcosA，则c/a的取值范围是(1,2)。9.在△ABC中，角A，B，若C的对边分别为a，b，则a+c的最大值是3b。10.在△ABC中，a=4，b=5，且△ABC的面积为53，则△ABC中最大角的正切值是-3或-1/3。求$2a+c$的最大值，给出函数$f(x)=m\sin2x-\cos2x$的对称轴。解：首先，对于函数$f(x)$的对称轴，由于$\sin2x$是奇函数，$\cos2x$是偶函数，所以$f(x)$的对称轴为$x=\frac{\pi}{4}$。接下来，解题分两步：（1）求$f(x)$的单调递增区间。由于$f(x)$的对称轴为$x=\frac{\pi}{4}$，所以只需要考虑$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$的情况。$f'(x)=2m\cos2x+2\sin2x$，令其等于0，得$\tan2x=-\frac{m}{2}$。因为$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，所以$\tan2x$单调递增，所以当$\tan2x=-\frac{m}{2}$时，$f(x)$取得最小值，即$f_{\min}=f\left(\frac{\pi}{4}-\arctan\frac{m}{2}\right)$。综上，$f(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{4}-\arctan\frac{m}{2}\right]$单调递增，在$\left[\frac{\pi}{4}-\arctan\frac{m}{2},\frac{\pi}{4}\right]$单调递减。（2）设$\triangleABC$中角$B$所对的边为$b=3$，$f(B)=2$，求$a+c$的最大值。由于$f(B)=2$，所以$m\sin2B-\cos2B=2$，即$m\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{3}{13}=2$，解得$m=\frac{29}{3\sqrt{13}}$。由于$f(x)$的对称轴为$x=\frac{\pi}{4}$，所以角$A$和角$C$的正弦值相等，即$\sinA=\sinC$，即$a=c$。由正弦定理，$a=\frac{b\sinA}{\sinB}=\frac{3\sinA}{\sqrt{13}}$，所以$c=\frac{3\sinC}{\sqrt{13}}$。因此，$a+c=\frac{3(\sinA+\sinC)}{\sqrt{13}}=\frac{6\sinA}{\sqrt{13}}$。由于$\sinA=\sinC$，所以$2\sinA\leqslant1$，即$\sinA\leqslant\frac{1}{2}$。因此，$a+c=\frac{6\sinA}{\sqrt{13}}\leqslant\frac{3}{\sqrt{13}}$。综上，$a+c$的最大值为$\frac{3}{\sqrt{13}}$。在三角形ABC中，已知b=3，2c-a=2bcosA，则a+c的最大值为23。解析：由正弦定理和2c-a=2bcosA，得到2sinC-sinA=2sinBcosA。因为C=π-(A+B)，所以2sin(A+B)-sinA=2sinBcosA。化简可得sinA(2cosB-1)=0。因为sinA≠0，所以cosB=1/2。因为B∈(0,π)，所以B=π/3。由已知和余弦定理，得到b^2=a^2+c^2-ac=3，即(a+c)^2-3ac=3。因为a>0，所以(a+c)^2≤4(a^2+c^2)。代入b^2=3，得到2ac≥9。所以(a+c)^2-3ac≤(a+c)^2-6≤36，即a+c≤23。当a=c=3时，取等号。又因为a+c>3，所以3<a+c≤23。故a+c的最大值为23。在直角三角形ABC中，已知AB=8，AC=15，则容纳于ABC内的圆的直径最大为6。解析：设三角形ABC内切圆的半径为r，则有SΔABC=SΔABO+SΔAOC+SΔOBC