math讲义见线代第一章行列式

第一章§1本节考虑由1,2,3,…,nn个数排成的不重复数字的全排列，不同的全排列共有n！1,2,33！=6123,132,213,231,312,，定义设p1p2…pn是1,2,…,n的一个排列其中任意两个数，如果大的数排，小的数之前，就说有一个逆序所有逆序的总数称为排列(p1p2…pn

p2pn的逆序数，记作逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列1.1,2,3[解]123没有逆序，逆序数13232之前一个逆序，21321之前一个逆序，231中，21之前，31前，312中，31,2之前，132，213，321为奇排列，123，231，312为偶排列.2.求(42315)及(54321).[解](42315)=3+1+1=5，1.交换排列中的两个数，排列的奇偶性改变[证]先讨论交换相邻两数的情形.p1……pSa交换a与bp1……pSb

pS1…pS1…

pi与a或b的大小关系在（1）与（2）两个排列中是一样的.所以当ab时，（2）（2）再讨论交换不相邻两个数的情形.p1……pSac1…ck交换a与bp1……pSbc1…ck

pS1…pS1…

我们也可以对排列（3）中的a依次与c1ck进行kp1……pSc1…cka

pS1…再对这个排列中的b依次与a，ck,…，c1进行k+1次相邻的交换，就得到排列（4）.因此，2k+1（奇数）次相邻的交换可以由（3）得到（4）.由前面已证明的结论可知，进行奇（证毕21,2,…n（n>1）所作的n！个排列中，奇排列与偶排列各占一半[证]s个，偶排列有t个.12s个不同的偶排列.st.同理可证tsst.（证毕）§2n2a（i,j=1,2,…n）排成n个横行及n个竖列的方形表格，两边再用竖线围起,就得到n阶行列式的记号：

an

aij称为行列式的元素，它有两个下标，第一个下标表示该元素所在的行数，第二个下标表示所在的列数，aij就是ij列的元素.行列式的行数是从上到下依次为第一行，n行.n列.行列式有两条对角线，由左上到右下那条对角钱称为主对角线，在主对角线上的元素为a11,a22,ann.由定义n

=

… 1

1p2

PP

an

1 其中(p1p2pn)p1p2pn的逆序数，

表示对所有n！个排列求和上述定义说明n阶行列式是含有n！项的代数和，其中每一项是不不同列的n个(p1p2pn)若为偶数，这项冠以“+”号，若为奇数，这项冠以“－”号

=

a11

=

a11a22+(1)a12a21=a11a22－a12a11a12

a31a32

+

+

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a13a22a31－a12a21a33－a11a23利用这个图形，很容易写出三阶行列式的六项代数和1. （1）D1=

2

2 3[解]（1）D1=142346（2）D2=304252(1)1(3)(1)0235(3)21=02030458=4！=2424个乘积的代数和是很麻烦的.对于三阶以上的高阶行列式，一般要利用下节要介绍的行列式的性质进行计算.2的几2.

0

D1= D2=

an

0

D3= D4=

D10，这种行列式称为下三角行列式.根据定0元素的项.设这种项为：1

a2

2n120a21与a11位于同一列，与a11a22，所以a2pa22，依次类推，可D10元素的项只有如下一项：2n12

aaa=aa

11 D20，这种行列式称为上三角行列式.依次讨论第nn11D20D1D2=a11a220，这种行列式称为对角行列式，它是三角行列式的特例，因此D3=a11a22以上说明三角行列式及对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积

aa

(nn121)=(n1)2n

=1n(n1)2所 D4

1)(

an

n

即D4等于副对角线上元素的乘积再乘以(1) 3.f(x)=a21

a12(x)a1na22(x)a2n

，其中各元素

(x)都是可导函数 an1

an2(x)annf(x)=a21

a22(x)a2n(x)

a11(x)+

a12(x)a1n(x) an1

an2(x)ann

an1

an2(x)anna11(x)a12(x)a1na21(x)a22(x)a2n+（即对行列式求导，等于对各行求一次导的n个行列式的和[证]1 1 f(x)=(1)(P1 1

2

=(1)(PP)

(x)

=(1)(P1Pn)

(x)

22

a21=

a22(x)a2n(x)

a11(x)+

na12(x)a1n(x)n an1

an2(x)ann

an1

an2(x)anna11(x)a12(x)a1na21(x)a22(x)a2n+

下面的定理是对行列式定义的另一种说法 1

a2

若对乘积

a2PanPai

ai

…ai

1 2 n1

a2

i1

ai2j

ain换句话说，如果行列式各项的乘积a1Pa2PanP

，则这项应冠以符号(1)(i1i2in）j1j2jni1

i2

in 因为

a2P…anP=ai

ai

…ai

1 2 n

a2PanP的因子经过kai

ai

…ai

1 2 n过k次交换，成为排列i1i2in.p1p2pn经过kj1j2jn，根据§11，若k为奇数，则行标排列与列标排列都同时改变奇偶性，因而若k不论k(1)(12n)(p1p2pn)=(1)(i1i2in)(j1j2jn因为(12n)0，所以要证的等式成立.（证毕§3设nD=

an

D的第一行，第二行，…，第n行，依次改写成第一列，第二列，…，第n

DT

anDTD的转置行列式D中ijaDTj行i列的位置上 [证]D1

a2

其中 … 也是DT中不不同列元素的乘积，但在DT中，其行标排列

2

12nDT这就证明了DDTDDTD的项数一样，都是nDDT.（证毕1可知，行列式中的行与列具有同等地位，行列式的性质凡是对行成立的，对2.交换行列式的两行（列[证]D=a

aiaj

a

第i第j交换第ij

a

aj

a

第i

ai

第jDD1中未写出的行的元素都对应相同.根据行列式定义，D中任一项为1

其中a1PaiPajPanP也是D1中不不同列元素的乘积，其列标排列没有变化， 1jin它是由自然顺序1ijn交换i,j得到的，由§11

(1)(1ijn)=(1)0=1.a1PaiPajPanPD1 DDD1（证毕推论若行列式有两行（列）相同，则此行列式等于零[证]2D=－D 行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式即

kain=

ai

[证]等式左边

ii

（证毕

D= a

aj

a [证]根据性质3，将D的第i行提出公因子k以后，行列式的第i行与第j行相等，由性质2的推论得D=0.

D=(ai1bi1 (ai2bi2 (ainbin D

an

D=

ai

+

an

an

ii[证]D1，D2ii

=(1)(P1Pn)

+(1)(P1Pn)

i i 即aiai1ai2kajD==aajaaajDD1中未写出的元素对应相同[证]54

ai

kaj

kajnD1= +

a

aj

a

a

aj

a “交换i,j两行（列rirj(cicj

k0乘i行（列”记作kri(kcikj行（列）加到i行（列）rikrj(cikcjrikrj后，第ij行不变.同样，运算cikcj使行列式的第i列改变，但第j列不变.1例1.计算四阶行列 D=

2 12[解]计算数字的高阶行列式，有法是利用行列式性质，尤其是用行列式的性式性质（6，将其化为上三角行列式.整个计算过程如下：12

r45r45r32

0=121(1)(4) (a(a(a(a(c(d(d(dD2a2a22a2a2222d12d2c4c3c2Dc c2 2运算c2c1c3c2，当作了运算c2c12列已变化，再作c3c2时，应是烦了.要不麻烦，就像我们在本题中所做的那样，连续对行列式作运算c4c3c3c2运算c4c3时，第二三列并未改变，因此再做c3c2的运算时，对原行列式作c3c2对变化后的行列式作c3c2是一样的结果abbbaabbbabbbaD（主对角线元素都为a，其它元素都为b[解]本行列式的特点是各行元和相等，若将第2列之后各列都加到第1列，公因子提出，再对行作运算，就可化为上三角行列式了.具体运算过程如下D

a(nc1c1c2a(n

=[a(n1)b] rn

0[a(n1)b]0

00

a

00a

=[a(n1)b](a4.Dx2 xy y2 xzz2[解]第一二三行依次因子x,y,z，D=

xx

1zy1 1z zx,yzx2 D

y2

z2x2x2y2z2yz x2y2z2x2y2z2y2yzz2=(x2y2z2 y2 z2Dc1c2 zr2

(x2y2z21)

=x2y2z2§4（列）定义.在naij所在的第ijn1M，称为元素a的式，而A=(1)ij

称为元素a的代数式

D=b1 则1行1列元素a1的式M11及代数式A11 M= ，A=

=M

2行3列元素b3的式M23及代数式A231M= a2，A=(1)23 =M= 1cc cc

引理.n阶行列式Di行所有元素中，除元素aij外，其余元素都为零，则D=aijAij[证]先证i=j=1的情形. D=

an

D=(1)(P1P2Pn)

(P1时，

2

=(1)(1P2Pn)

(P

1)

2

= (1)(P2Pn)

=aM=a

2

11再证一般情形.

D=

D中第i行依次与第i1行，i2行，…，1j列依次aij，D111列元素的式M11=D中ij列的式Mij.由前面证过的结论，有D1=aijM11=aijMD1是由D经过(i1j111 设n阶行列

(1)ij

D=

an

按第iDai1Ai1ai2Ai2ainAini=1,2,…njDa1jA1ja2jA2janjAnj.(j=1,2,…n

D=ai10 0ai2 00

an

根据§35，D等于nD00+0ai000ananan根据引理，就得到按第iD=ai1Ai1ai2Ai2ain按列的展开式同理可证.（证毕推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数式乘积之和等ai1Aj1ai2Aj2ainAjn=0，(i a1iA1ja2iA2janiAnj=0，(i

j)[证]Djaj1Aj1aj2Aj2ajnAjn

aj1aj2素）

ajnai1ai2,ain

Aj1Aj2,，Ajnjai1Aj1ai2Aj2ainAjn

第i第j右边行列式有两行相同,等于零.ai1Aj1ai2Aj2ainAjn=0(ij同理可证列的情况 （证毕n阶行列式化为计算n－1阶行列式.对于数字元素的2310423104121321404列除一个元素0，具体计算如下.232310r2210

r4r4

4

1(1)34

1 r2

0按第3列展开(1)13

304022220005330402222000532D求（1）D中第三行各元素的代 式之和A31A32A33（2）D中第四行各元 式之和M41M42M43[解]（1）A31A32A33A34D31,1,1,13行展304022221111532A31304022221111532（2）M41M42M43M44=A41A42A43==7(4)

304022220103040222201001

例3证明n阶(n1)范（Vandermonde）行列

x2x1xx

x2x2 xx

x2xnxx

(xinij

xj=(x2x1)(x3x1)(x4x1)(xnx1)(x3x2)(x4x2)(xnx2)(xnxn1（其中记号表示同类因子的连乘积[证]对阶数n用数学归纳法n21xx1

x2x1=(xixj)，结论成立1x 2i1x设结论对n1阶范行列式成立，即 xx xx

x2xn

=

xjxx2

xx3

xnxn

ni下面要证明对n阶范行列式，结论也成立对Vnn行开始，直到第2x1倍，即对Vnrnx1rn1rn1x1rn2r2x1r1 x2 Vn=

x2(x2x1

2n22

xn2313 V=

x

x

x

xx2

xx3

xxn右端的行列式是n1阶的范行列式，由上面的归纳假设Vn=(x2x1)(x3x1)(xnx1

(xixjni

=(xixjnij即结论对n阶范行列式也成立.由归纳法，该等式对一切n2的自然数都成立.（证毕 行列式等于C2=n(n1)个形如xx的因子的乘积，例如V是C2=6 xixj V4=

x2=(xixj xxx xxx

4ix3x4=(

( 1)(x4x1)(x3x1x2xnVn=0，只有这nVn4计算nbb bb bbbbb bb bbb [解]利用加边法计算.D表示成n+1阶行列式，再利用行列式性 D=

bb，(右边为n+1阶an以111D=

a1b00

a2

b00an

b0(i1,2,n

，a1

a2

nab2,3,…n+1n1

10a10a100000a0000000an

i

2 D=(1ab)(a1b)(a2b)(ani1§5.解线性方程组的（Cramer）法本章最后，介绍用行列式解线方程组的法则，即下面的定理定理（法则）设有n个方程n个未知量的线性方程a11x1a