2021年高考真题汇编-理科数学（解析版）：直线与圆

2021高考真题分类汇编：直线与圆

1.12012高考真题重庆理3】任意的实数k,直线y=与圆/+/=2的位置关系一定是

(1)相离B.相切C.相交但直线不过圆心.D.相交且直线过圆心

【答案】C

【解析】直线y=H+l恒过定点(0,1),定点到圆心的距离4=1<J5,即定点在圆内部，所以直线

y=Lx+l与圆相交但直线不过圆心，选C.

2.1201.2高考真题浙江理3】设afR,则“a=l”是"直线k：ax+2y=0与直线L：x+(a+l)y+4=0平行

的

A充分不必要条件B必要不充分条件

C充分必要条件D既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a=l时，直线4：x+2y=0,直线4：x+2y+4=0,则/"儿；若则有

a(a+l)-2x1=0,即片+。—2=0,解之得，。=-2或a=l,所以不能得到。=1。故选A.

4.【2012高考真题陕西理4】已知圆C:x2+y2-4x=0,/过点P(3,0)的直线，则()

A./与。相交B./与。相切，C./与。相离D.以上三个选项均有可能

【答案】A.

【解析】圆的方程可化为(x—2)2+y2=4,易知圆心为(2,0)半径为2,圆心到点.P的距离为1,所以

点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.

5.[2012高考真题天津理8】设〃eR,若直线(m+l)x+(n+l)y-2=0与圆(8-1)2+(,-1)2=1

相切，则m+n的取值范围是

(A)[1-73,1+73](B)(^O,1-V3]U[1+V3,4<»)

(C)[2-2A/2^,2+2y/2](D)(-co,2-2'\/2]LJ[2+2^/2,+co)

【答案】D

【解析】圆心为(1,1),半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足夕+D+5+DW=1,

J(m++(〃+1)2

即，〃+〃+1=加〃设w+〃=z,即Lz^-z-lZO,Wf#z<2-2V2,>2+2V2,

24

6.12012高考江苏121(5分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为f/一8x+15=0,若直线y=kx-2

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆。有公共点，则攵的最大值是▲.

4

【答案】-O

3

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

【解析】:•圆C的方程可化为：(x—4)2+>2=1”.•.圆c的圆心为(4,0),半径为1。

公共点；

...存在使得ACW1+1成立，即ACminK2。

的最大值是上4。

3

7.12012高考真题全国卷理21】(本小题满分12分)(注意：在试卷上作答无效)

已知抛物线C：y=(x+l)2与圆M：(x-1)2+(y—g产=r2(r>0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线

为同一直线I.

(I)求r；

(II)设m、n是异于I且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D,求D至ljI的距离.

【答案】

<I)设由.%.(,%+<i,r-(v+1)：求导得y-=2(11).

收/的斜率&=2(0+1)•

当％=1时.一合S8.fi；,所以。工.

,(x»+»：-1,ZV

圆心为M4的斜率*=------'

由/J.M.4知**=-1.

(x0+D：-；

BP2(x,+1)----------

x0-l

解得x0=0.故.4(0.13

r=|A£4|=~(

Hn石……6分

即r="p

((I)设+为C上一点,则在该点处的切线方作为

y-(r+1)2=2(/♦l)(x-/)«

即y=2«+1*一-+1・

若该直线与勖”相切,则圆心“到该切线的距离为*,即

，

J[2(f+l)l+(-l)22

化简得r2(rs-4r-6)=0,

解得%=0，r(«2+J10.z2=2-7io-......9分

抛物线C在点d，亿+1)2)(«=0,1.2)处的以线分别为/，*”,其方程分别为

y=2x+l.①

y=2(f,+l)x-^+l.②

y=2(t}+l)x-t^+l.③

②-③得x=^=2・

将x=2代入②得y=-l,故区2.-1).

所以。到/的距离

|2x2-(-1)+1|_6>/5......12分

8.[2012高考真题湖南理21]（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的点均在Cz：（x-5）?+/=9外，且对3上任意一点M,M到直线x=-2的

距离等于该点与圆G上点的距离的最小值.

（I）求曲线&的方程；

（II）设P（x0,y。）（y°W±3）为圆C2外一点，过P作圆G的两条切线，分别与曲线G相交于点A,B和

C,D.证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积一为定值.

【答案】（I）解法」：设M的坐标为（x,y）,由已知得

|x+2|=J(x-5>+y--3,

易知圆上的点位于直线x=-2的右侧.于是x+2>0,所以

A/CX-5）2+y2=x+5.

化简得曲线C,的方程为丁=20x.

解法2：由题设知，曲线G上任意一点M到圆心G（5,0）的距离等于它到直线％=-5的距离，因此,

曲线G是以（5,0）为焦点，直线％=-5为准线的抛物线，故其方程为V=20x.

（II）当点P在直线x=T上运动时，P的坐标为（一4,%），又％#±3,则过P且与圆

相切得•直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

y-y0=k(x+4),EPkx-y+y0+4k=0.于是

|5%+为+4H

&+i

整理得

设过P所作的两条切线PAPC的斜率分别为配内，则人,％2是方程①的两个实根，故

^.+^2=--=-—.②

1'724

由［依-丁；％+秋=0,得匕y2_2Oy+2o(%+做)=0.③

y=20%,

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为x，%，%，％，则是方程③的两个实根，所以

%必=吗必.④

ki

同理可得

于是由②，④，⑤三式得

vvVV_400(%+4K)(%+%)

yy2y3y4-~

印2

400M+16伏］