2021年中考数学总复习《圆》解答题50

2021年中考数学总复习《圆》解答题

1.如图，在。。的内接△N8C中，N/C8=90°,AC=2BC,过C作的垂线/交

于另一点。，垂足为E.设P是最上异于/,C的一个动点，射线ZP交/于点尸，连接

PC与PD,PD交4B于点、G.

(1)求证：△PACs^PDF；

(2)若力8=5,AP=BP＞求包＞的长；

(3)在点尸运动过程中，设幽=x,tan//ED=y,求y与x之间的函数关系式.(不要

BG

求写出X的取值范围)

【分析】(1)证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例.因为题中因圆周

角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向

于找接近圆的角NOPG利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得/。尸尸=

NAPC,则结论易证.

(2)求尸。的长，且此线段在上问已证相似的△/＞£＞尸中，很明显用相似得成比例，再将

其他边代入是应有的思路.利用已知条件易得其他边长，则可求.

(3)因为题目涉及/“尸。与也在第一问所得相似的△口)尸中，进而考虑转化，ZAFD

=ZPCA,连接PB得N4FD=NPC4=NPBG,过G点作的垂线，若此线过与

AC的交点那么结论易求,因为根据三角函数或三角形与三角形N8C相似可用AG表示/

尸8G所对的这条高线.但是“此线是否过心与/C的交点”？此时首先需要做的是多画

几个动点P,观察我们的猜想.验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，

如何求证此线过P8与4C的交点是我们解题的关键.常规作法不易得此结论，我们可以

换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点凡然后连接交点与3,再证明

=ZAFD.因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点.根据等弧对等角，

可得ZHBG=NPCA,进而得解题思路.

【解答】（1）证明：•••N4C2=90°,

：.AB是直径，

又

,.'AC=AD.

...NQPF=180°-N/PZ）=180°-菽所对的圆周角=180°-京所对的圆周角=血

所对的圆周角=N/PC.

在△■R4C和△尸Z）尸中，

[NAPC=NDPF,

IZPAC=ZPDF'

:.丛PACS^PDF.

(2)解：如图1,连接P。，则由AP=BP，POLAB,且NP48=45°,AAPO、/\AEF

都为等腰直角三角形.

在RtA^SC中，

\'AC=2BC,

：.AB2=BC2+AC2=5BC2,

'：AB=5,

:.BC=E

:.AC=2匹,

：.CE=AC-sinZBAC^AC-—=2V5,—=2.

AB5

AE=AC^osZBAC=AC*—=^=4,

AB5

•.♦△4所为等腰直角三角形，

：.EF=AE=4,

:.FD=FC+CD=(.EF-CE)+2CE=EF+CE^4+2=6.

•••△/PO为等腰直角三角形，AO=1-AB^,

22

：.AP=^fi.

2

,:△PDFs^PAC,

•.P•D一P=A,

FDCA

也

•PD2

••,二-------f

6275

:.PD=WTL

2

(3)解：如图2,过点G作G〃_LZ8,交AC于H,连接"8,以"3为直径作圆，连接

CG并延长交于Q,

'JHCLCB,GHLGB,

；.C、G都在以"8为直径的圆上，

/HBG=NACQ,

VC,。关于对称，G在上,

：.Q,尸关于对称，

AAP=AQ)

.\ZPCA=ZACQ,

：.NHBG=NPCA.

■:△PACs/XPDF,

：.ZPCA-ZPFD=ZAFD,

：.y=\anNAFD=tanZPCA=tanN"BG=毡.

BG

,：HG=