第07讲相似三角形综合

第07讲相似三角形综合掌握相似三角形多种解法灵活运用多知识结合的相似三角形问题模块一：平行线与相似三角形1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型．如图，已知中，AD、BE相交于G，，．ABCDEGABCDEGM【答案】．M【解析】点作交于点． ，；，，，，，，的值为．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD=2，ABCDBD=2DC，求ABCD【答案】．M【解析】过点作交于点．M ，； 又， ，， ． ，． 又，．．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识． 模块二：角平分线与相似三角形1、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．ABCDM如图，AD是的内角平分线．ABCDM【答案】略．【解析】过点作交的延长线于点． ， 是角平分线 ； ．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．ABCDEFG如图，在中，，过点C作CE//AB，交的平 分线AD于ABCDEFG（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：．【答案】略．【解析】（1）①、②． 证明①：证明②： （2）由得 ，，．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．模块三：a2=b·c与相似三角形1、a2=b·c与相似三角形常见及扩展模型如下：BBACDABCD图1图2由图1可证：；由图2可证：，，．如图，中，，于点D．ABCD ABCD【答案】略．【解析】，． ．， ，．，． ．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E， AD=BD，过E的直线EF//AB交AD于点F． （1）AF=BE；ABCDEF （2）AF2ABCDEF【答案】略．【解析】（1），不平行，四边形是梯形．又，．四边形是等腰梯形，；（2）， ，．．．．，．【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．模块四：内接矩形与相似三角形1、内接矩形与相似三角形ABABCDEFGHT常用结论：．ABC如图，已知中，AC=3，BC=4，，在内部求做一正方形， 问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．ABCDFE【答案】如图截取，正方形边长为DFE【解析】设正方形的边长为，易知： ．，，． 在中，， ．． 正方形的边长为．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别．如图，中，四边形DEFG为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在 AB上，，，求的面积．ABCDABCDEFG【解析】过点作交于点，可得H．．H 易证，．，．，．．【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方．模块五：一线三等角与相似三角形1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：ABCDEF已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中点D为顶点作， 分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边ABCDEF【答案】．【解析】， 而， ． 又，． ，． ．． ， ． 又，．【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．ABCDE如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点E在边BC上，且， AD=10，求的面积ABCDE【答案】24．【解析】，， ． 又，． ．． ， ．．在中，，．．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．如图（1），在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB，AC上（点P不与点C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC。若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长；（2）若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABCDABPQCQP（3）正方形ABCD的长为5，如图（2），点P，Q分别在直线CB，DC上（点P不与点C，B重合），且保持ABCDABPQCQP【答案】（1）；P在BC线段上：y=（0<x<8）P在BC的延长线上：y=（x≥8）(3)当P在线段BC上，BP=或BP=当P在BC的延长线上，PB=．【解析】（1）∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，∴∴CQ=（2）若点P在线段CB上，由（1）知∵BP=x，BC=8，∴CP=BC-BP=8-x，又∵CQ=y，AB=5，∴即y=故所求的函数关系式为y＝（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴∴函数解析式为y=（x≥8）．（3）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5-BP）=BP：1，解得：BP＝或BP=②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，

同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP-5）=BP：1，解得：BP＝或BP=（舍）【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，注意根据点的位置关系进行相应的讨论．模块六：旋转与相似三角形在中，CA=CB，在中，DA=DE，点D、E分别在CA、AB上． （1）如图1，若，则CD与BE的数量关系是____________； （2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与 BE的数量关系是____________．AABCDEABCDE图1图2HH【答案】（1）；（2）．【解析】（1） ；（2）过点作交于点 由，得： ， ，．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF图1图2图3【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（1）略；（2）易证，得：．又，，．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．模块七：函数与相似三角形如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出 发沿边一直移动到点为止．经过多长时间后，与相似？ABCPQ【答案】ABCPQ【解析】设两动点运动时间为，则，，．（1）时，则有， 即，解得：．（2）时，则有， 即，解得：．【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可．如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C 重合），DE与AC相交于点F．（1）求证：∽；（2）若BC=1，设BD=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当x为何值时，？ABCABCDEF【解析】（1）、是等边三角形 ；（2）由（1）得， ；易证， 是等边三角形，解得当时，．【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．一、单选题（2023·上海·一模）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵外经为，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．（2023·上海·一模）如图，在中，点，分别在和边上且，点为边上一点（不与点、重合），连接交于点，下列比例式一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，故B符合题意，C、D不符合题意；根据现有条件无法证明，故A不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角形的面积公式判断A，根据射影定理判断B、C．【详解】由直角三角形的面积公式可知：，A选项正确，所以A选项不符合题意；由射影定理可知：，B选项正确，所以B选项不符合题意；由射影定理可知：，C选项正确，所以C选项不符合题意；无法证明，D选项错误，所以D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，解题的关键是掌握射影定理、三角形的面积公式．（2023·上海·一模）如果点分别在中的边和上，那么不能判定的比例式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A,C,D均可根据据两组对应边的比相等且夹角对应相等得到两个三角形相似，B不可判断相似即可得出结论；【详解】解：如图：A、∵，∴，∵，∴，∴，∴；故A不符合题意；B、，，不可判断；故B符合题意；C、∵,，∴∴∴；故C不符合题意；D、∵，∴，∵，∴，∴，∴；故D不符合题意故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．（2023·上海·一模）在梯形中，，对角线与相交于点O，下列说法中，错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．【详解】解：如图所示：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，，，故D正确，∴，∴，故C错误；∵，∴，A正确；∴，即，故B正确；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得∽，从而得到，代入数值即可求解．【详解】如图，连接并延长交于点．点是的重心，点为的中点，，，，，，，，（公共角），∽，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．（2023·上海·一模）如图，在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出、四边形、四边形的面积比．【详解】解：∵，∴，∵，∴，设的面积是，则和的面积分别是，，则和分别是，，∴．故选：D．【点睛】此题考查三角形相似的判定与性质，解题关键在于掌握相似三角形的性质与判定．（2023·上海·一模）如图，在中，中线与中线相交于点G，联结．下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中线与中线得出是的中位线，推出，，由相似三角形的性质即可解决问题．【详解】∵中线与中线相交于点G，∴是的中位线，∴，∴，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴，∴结论正确的是，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题（2023·上海崇明·统考一模）如图，在梯形中，，，，则________．【答案】【分析】证明，与为对应边，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此只需求出即可．【详解】解：，，，，．．，，又，，与为对应边，，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．（2023·上海松江·统考一模）如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是________．【答案】2【分析】先判断出，再利用相似三角形的性质即可得到．【详解】：∵，∴，∵是边的中点，，∴，∴，∴∵∴∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．（2023·上海金山·统考一模）如图，在平行四边形中，F是边上的一点，射线和的延长线交于点E，如果，那么_________．【答案】【分析】在平行四边形中，根据，得出，根据，得出，证明，根据相似三角形的性质得到即可得到．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴,∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（2023·上海宝山·一模）如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为_____．【答案】27【分析】连接并延长交于，由为的重心，可得，而，有，，故，设，有，即可解得答案．【详解】解：连接并延长交于，如图：为的重心，，，，，，，，设，则，，解得，故答案为：27．【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，在中，，，，点是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，那么的长为________．【答案】或【分析】分两种情形讨论：①作于点，连接，首先利用勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值即可求得可得，，然后结合翻折的性质可知为等腰直角三角形，可推导，由即可获得答案；②作于点，同理可得，，由即可获得答案．【详解】解：①如下图，作于点，连接，在中，，∵，，∴，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴，，∵，∴，由翻折的性质可知，，∴，又∵，∴，∴；②如下图，作于点，当时，同理可得，∴．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（2023·上海崇明·统考一模）如图，菱形的边长为8，为的中点，平分交于点，过点作，交于点，若，则的长为___________．【答案】/【分析】作垂直于H，延长和交于点M，然后通过证明是的垂直平分线，进而证明，即可得出答案．【详解】如图，作垂直于H，延长和交于点M，菱形的边长为8，，，，为的中点，，，是的垂直平分线，，，，又，∴，，设，平分，，又，，

，则，则，，，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质使用、垂直平分线的性质以及菱形的性质，作辅助线是本题的关键．（2023·上海·模拟预测）在矩形中，（如图）．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边上，如果联结，那么的长为_____．【答案】【分析】过G作于点H，根据旋转变换的性质得到根据勾股定理求出，证明，进而求得根据勾股定理便可求得．【详解】解：过G作于点H，由旋转变换的性质可知，由勾股定理得，，∵，∴，∵∴∴，即，∴，

，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，点A的横坐标为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数图象上，联结和．如果四边形是矩形，那么k的值是__________．【答案】【分析】当，，即，如图，联结交于，过作于，则，，是中点，在中，由勾股定理求的值，证明，则，求的值，进而可得的点坐标，将点坐标代入反比例函数解析式求解值即可．【详解】解：当，，即，如图，联结交于，过作于，∴，，∵四边形是矩形，∴是中点，在中，由勾股定理得，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，∴，将代入得，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．三、解答题（2023·上海·一模）如图，在与中，，与相交于点G，．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）由可以得出，可以得出，，由等式的性质就可以得出，进而证明就可以得出结论；（2）由勾股定理可以得出，可以得出的值，由就可以得出，进而求出结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴由勾股定理，得．∵，∴．∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形相似是关键．（2023·上海青浦·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，已知平分，点E在边上，联结交于点F，且．(1)求证：点F在边的垂直平分线上；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）找到相似三角形，得到等角，再由平行及角平分线得到，得到，最后垂直平分线的性质得到点F在边的垂直平分线上；（2）通过证明，，得到边长比例，再换边进行计算即可．【详解】（1），，又，，，四边形为平行四边形，，，又平分，，又，，，点F在边的垂直平分线上；（2），，，，，又，，，，，．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，结合四边形，需要将乘积与比例两种形式进行转换，找到需要证明的相似三角形位置，计算时需注意对应边．（2023·上海崇明·统考二模）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于E，M是边延长线上的一点，联结，与边交于F，与对角线交于点G．(1)求证：；(2)联结，如果，求证：平行四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得证；（2）证明，推出，进而得到，即可得证．【详解】（1）证明：∵平行四边形，∴，∴，，∴，，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵平行四边形中，对角线、交于E，∴，∴，即：，∴平行四边形是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．本题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似．如图，，，下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行线分线段成比例可判断A，B，D，证明四边形是平行四边形，，可得，再利用等线段代换也不能证明，可判断C，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故A符合题意；∵，∴，故B不符合题意；∵，，∴四边形是平行四边形，，，∴，，，∴，故C不符合题意；∵，∴，，∴，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练的利用平行线与相似三角形的性质证明成比例的线段是解本题的关键．如图，已知在中，，点G是的重心，，垂足为E，如果，则线段GE的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得∽，从而得到，代入数值即可求解．【详解】解：如图，连接并延长交于点．点是的重心，点为的中点，，，，，，，，（公共角），∽，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．如图，为等腰直角三角形，为的重心，E为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点D在直线的上方），为的重心，设两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是_________．【答案】【分析】当点E与点B重合时，，当点E与点A重合时，的值最大，利用重心的性质以及勾股定理求得，，证明，推出是等腰直角三角形，据此求解即可．【详解】解：当点E与点B重合时，，当点E与点A重合时，的值最大，如图，