山东省济南市第七中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

山东省济南市第七中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B2.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要参考答案：A3.不等式4x-y≥0表示的平面区域是（

）参考答案：B略4.△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程有一根为1，

则△ABC一定是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形参考答案：B5.参考答案：略6.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为

(

)A.所有自然数的平方都不是正数

B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数

D.至少有一个自然数的平方不是正数参考答案：D略7.已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1=1且前n项的和Sn满足（n∈N*，且n≥2），则a81=（）A．638 B．639 C．640 D．641参考答案：C【考点】数列的应用．【分析】等式两边同除以，可得}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到Sn=4n2﹣4n+1，利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得结论．【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴Sn=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选C．8.若，则（）A.<< B.<<C.<< D.<<参考答案：C根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．解：因a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e-1，1）时，a∈（-1，0），于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选C9.设集合，记中的元素组成的非空子集为，对于，中的最小元素和为，则（

）A.32

B.57

C.75

D.480参考答案：B10.已知函数在上是减函数，则的单调减区间是

（

）

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程表示焦点在x轴上的椭圆有

个参考答案：6略12.已知点，，点在轴上，且点到的距离相等，则点的坐标为_________.参考答案：略13.已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为

参考答案：14.在的二项展开式中，第4项的系数为．参考答案：﹣40【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由通项公式求得第4项，即可求得第四项的系数．【解答】解：在的二项展开式中，由通项公式求得第4项为T4=?（4x2）?=，故第4项的系数为﹣40，故答案为﹣40．15.等差数列{an}中，若a3+a7=16,则a5=_________;参考答案：8略16.若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为

．参考答案：6【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用共渐近线双曲线系方程设为x2﹣4y2=λ（λ≠0），求得λ，再求2a．【解答】解：设所求的双曲线方程为x2﹣4y2=λ（λ≠0），将P（5，﹣2）代入，得λ=9，∴x2﹣4y2=9，∴a=3，实轴长2a=6，故答案为：6．【点评】利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论．17.已知，则

．参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分8分）已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．参考答案：(1)证明：法一：直线系l：mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5内部，所以对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．--------3分法二：直线方程与圆的方程联立，消去y得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，∵Δ＝4m2＋16(m2＋1)＝20m2＋16>0，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．19.一火车锅炉每小时消耗煤费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤价值为40元，其他费用每小时需200元，问火车行驶的速度为多大时，才能使火车从甲城开往乙城的总费用为最省（已知火车最高速度为100km/h）．参考答案：解：设甲、乙两城相距为a千米，火车速度为xkm/h，每小时消耗的煤价值为p，依题意有p＝kx3（k为比例常数），由x＝20，p＝40，得k＝，∴总费用y＝(x3＋200)·＝（x>0），由＝，令＝0解得，x＝，当0<x<时，<0；当<x<100时，>0，∴当x＝时，y取最小值，∴要使费用最省，火车速度应为km/h.

略20.已知数列中，,．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和，求证：．参考答案：证明：（1）由得：且，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，（2）由（1）得:,故；（3）由得：，∴从而：则略21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的单调区间；（2）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出F（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域（0，+∞）；（2）求出导数，由导数的几何意义可得≤（0＜x0≤3）恒成立?a≥（﹣x02+x0）max，运用二次函数的最值求法，即可得到最大值，进而得到a的最小值．【解答】解：（1）F（x）=lnx+（x＞0），F′（x）=﹣=，a＞0，当x＞a，F′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）单调递增，当0＜x＜a，F′（x）＜0，F（x）在（0，a）单调递减，则F（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a）；（2）由y′=，a＞0（0＜x≤3），k=y′|=≤（0＜x0≤3）恒成立?a≥（﹣x02+x0）max，当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值，∴a≥，∴amin=．22.（本题满分13分）如图7，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三

棱柱内的概率为．（i）

当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．参考答案：（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面．

………3分

（Ⅱ）（i）有AB=AA1=2，知圆柱的半径，其体积

三棱柱的体积为，

又因为，所以，

当且仅当时等号成立，从而，

故当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是．

…………8分

(ii）方法一：延长A1A，B1O交于G，取AC中点H，连OH，则OH∥BC，且，OH⊥平面，过H作HK⊥CG，连OK，则，在Rt中