高中数学新课程创新教学设计案例三角形边和角关系的

143三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言表达两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的根底上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1.理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2.能运用正、余弦定理解斜三角形．以3.问理怪解并厉初步螺运用天数学算建模损的思扩想，露结合健解三登角形锦的知翁识，怜解决店生产桶、生片活中叼的简组单问甚题．网教学械设计茂一、跑问题棒情景蛙1.搞A钓，B盯两地陆相距库25祸58碗m股，从里A，年B两棉处发控出的象两束提探照给灯光拖照射龟在上替方一陆架飞萌机的肿机身洪上〔努如图卖43彼-1祸〕，桌问：棉飞机辅离两幸探照站灯的带距离无分别秘是多恰少？梢2.页如隶图4鞠3-找2，做自动堪卸货岔汽车摔的车另厢采柴用液绵压机敞构，腹设计岭时应修计算原油泵咏顶杆胀BC迈的长爪度．勇悲车厢抖的最夫大仰默角为柔60鉴°，叼油泵根顶点娘B与寨车厢主支点北A之畏间的遍距离榨为奉1.号95钩m袜，A柜B与简水平喜的夹博角为虾6°狮20朋′，狐AC秆长为喷1.锯40搭m羞，计竞算B肌C的赞长．丧〔精君确到初0.寿01细m圆〕派问题善：〔疯1〕判图中远涉及进怎样然的三客角形素？停〔2偏〕在立三角送形中牢抬什么膨？求诱什么枯？桃二、虹建立话模型穴1.筝教陵师引栗导学码生分杰析讨闷论济在问俱题情咱景〔驰1〕忘中，司浸在才△身AB牲C笋中，连∠邀A桥＝7礼2.氏3°忍，估∠双B谦＝7扯6.采5°网，A给B＝致25界58楚m烫．求遗AC午，B绵C的寒长．丘组织哗学生启讨论牙如何木利用闻饿条件纪求出杰AC捕，B觉C的膀长度筛．〔殃让学拖生思梁考，话允许搜有不赢同的怕解法背〕天结论景：如稳图4嗽0-轧3，驳作A伙D幼⊥惑BC迟，垂催足为骨D．右由三线角函渔数的隙定义测，知且AD兔＝A尽C·寇si干nC晶，A搁D＝龟AB块·s感in惰B．俗由此款可得诵AC脏·s挖in成C＝汤AB名·s私in哥B．血又由雕∠魔A隙，软∠吸B娇的度娱数可劈求梢∠翻C光的度恢数，革代入买上式树即可矩求出内AC威的长恰度，倘同理犁可求抽BC橡的长拳度．腾教师贡明晰漂：毁〔1秩〕当揪△冠AB炕C殃为直软角三盯角形霞时，鸡由正锦弦函孕数的育定义夜，得棍〔2再〕当顽△苍AB畜C滚为锐孩角三师角形拍时，奋设A仙B边唐上的载高为拥CD域，根既据三刺角函醉数的跌定义岂，得债CD镰＝a瞎si趴nB挡＝b寻si巨nA悠，所成以奥，同构理贯.呀〔3斤〕当挥△槐AB塌C扬为钝庙角三挺角形湾时，菌结论微是否延仍然蜘成立醋？引救导学州生自抛己推厅出．优〔详宵细给治出解砖答过洽程〕电事实进上，鲁当碧∠址A屋为钝机角时行，由壤〔2保〕易镰知奔.州设B舟C边据上的睬高为死CD歪，那么阀由三闭角函究数的肢定义职，得赤CD怎＝a析si希nB铲＝b半si困n〔柳18第0°巷－A细〕．同根据氧诱导描公式枝，知义si旋n〔吊18户0°六－A巨〕＝宵si课nA扔，庄∴柔as创in驳B券＝b茂si翠nA汇，即心.秒正弦音定理徐在拔一个是三角唇形中睡，各勇边和孙它所民对角张的正谊弦的革比相袄等，正即锈.短正弦葬定理集指出拿了任属意三肺角形唤中三峡条边顾与它蓄对应腰角的悄正弦抽之间支的一感个关斧系式件，描早述了券任意载三角窜形中惕边、骗角之网间的蕉一种欲数量叮关系沿．艺思考铃：正垫弦定严理可翻以解惰决有肃关三思角形率的哪娘些问习题？筛2.槽组休织学含生讨罪论问睁题情现景〔踩2〕感这一欠实际歇问题遇可化睬归为客：已率知读△容AB新C番的边谱AB右＝1枝.9拥5，罩AC梅＝1铸.4山，夹管角为琴6°姑20筑′，肠求B粥C的菜长．兴组织尊学生科讨论移：能纸用什禁么方渗法求篇出B另C？寸〔学能生有探可能矛有多斜种不朝同的床解法慎〕那教师狮明晰望：如煌果已谨知三叉角形争的两琴边和纳夹角身，这授个三银角形呆为确蕉定的肯三角切形，龙那么磨怎样蹈去计苹算它益的第设三边耽呢？申由于芹涉及烘边长蓄及夹骆角的绸问题府，故氏可以储考虑肝用平扰面向秒量的贿数量鞠积．锦〔也侄可用稠两点黄间的汪距离泰公式测〕让如图恩，设强＝a摆，惭＝b处，虎＝c聚，那么余c＝麻a－厚b．雨∵抬｜c淹｜窝2肿＝c霸·c叹＝〔棉a－页b〕贺·〔遵a－突b〕乱＝ａ醋2锐＋ｂ享2塑－2典ab疼co侍sC题，司∴净c甩2晌＝ａ瘦2假＋b击2售－2监ab羊co蠢sC去．斑同理卵a闪2亡＝b罗2鸟＋c近2权－2压bc冰co竿sA涝，b我2惠＝c仗2狭＋a托2牌－2扬ac漆co纳sB恐．冲于是绪得到药以下例定理简：滑余弦栋定理精三逗角形建中任据何一轰边的筑平方架等于来其他极两边偶的平振方的暖和减屿去这星两边勇与它挤们的振夹角挖的余浴弦的刃积的叨两倍取．即产a撕2计＝b谈2艳＋c届2等－2游bc社co号sA否，赏b报2对＝c涂2哲＋a猫2稳－2级ac晃co趋sB寸，脂c变2哥＝a或2趋＋b五2厉－2进ab中co雷sC证．六思考搅：余饶弦定纤理可桥以解勾决一渐些怎牺样的条解三贩角形宗问题并？绳3.尖进拒一步确的问豆题从勾股辆定理迈指出毯了直粥角三热角形燕中三都边之没间的辽等量损关系烧，余上弦定键理那么蓬指出询了一跑般三筋角形疫三边应之间井的等洪量关蚊系，普那么动这两涉个定慨理之米间存株在怎侦样的惑关系明？如笛何利滨用余恰弦定叔理来唉判断喝三角妹形是确锐角挑三角缺形还卧是钝弃角三义角形萌？定三、喊解释张应用级［例献题余］销1.住〔批1〕个叫：在娱△椒AB扒C煎中，浪A＝矩32米.0士°，敌B＝妥81向.8速°，智ａ＝捧42并.9起cm记，解陆三角区形．尽〔2欺〕已破知：留在猫△浅AB周C抚中，瞎ａ＝锈20杨cm驱，ｂ销＝霞28蚁cm细，A昏＝4帅0°数，解莲三角曾形．抄〔角熔精确垦到1汇°，咱边长偶精确贱到滥1c勒m驳〕省分析惨：〔玩1〕句此题著为给廊出三追角形捏的两瞒角和油一边无解三贿角形吴问题饲，可辫由三三角形北内角悔和定懂理先未求出幻第三血个角堆，再零两次拘利用葱正弦秋定理伯分别陆求出片另两筒边．夺〔2以〕本蒸题给茶出了特三角絮形的覆两边铁及其杜中一勺边的缠对角椅，于死是可梁用正颈弦定闸理求剩出b灿边的福对角草B的唇正弦修，s创in泪B≈津0.站89聪99慎，但它0＜营B＜裹π，姻故Ｂ芹角有仙两个婶值〔随如图馆43叹-8沾〕，危从而企C角轮与c歼边的剪取值浅也有纽两种孩可能霞．学添生在肌解题光时容老易丢母掉一迁组解酒，应粮引导集学生逐从图恢形上卫寻找乡漏掉伤的解踩．尼2.祖〔叫1〕比市：在摧△修A研BC颗中，粉拴b＝醋60丸cm嚼，c茂＝系34考cm希，A袋＝4隆1°断，解起三角嚷形．期〔角璃精确午到1慨°，打边长荐精确军到绝1c魄m络〕勒〔2蛾〕已旗知：鼻在盏△穗AB邻C模中，炭ａ＝铅13扩4.幻6c烂m壮，ｂ钥＝获87条.8编cm矩，ｃ持＝撇16千1.芬7c崖m需，解枝三角鸣形．丛〔角雨精确闻到1尤′〕岸．林分析学：本快例中磁的〔子1〕惑题，产给出月了两辞边及禽其夹霜角，活可先伯用余要弦定浪理求旧出第寺三边出，求磨其他柿两角拣时既软可用斯余弦蹦定理趁也可例用正鲁弦定降理．毛〔2询〕题励给出仓了三己边长碧，可窃先用姿余弦症定理烤求出薯其中哈一角鹿，然春后同悉样既局可用占正弦壤定理暮，也犬可用锹余弦导定理猜求出爬其他栏两角茧．哗3.烦A由B是概底部结B不首可到蓬达的盾建筑言物，母A为佩建筑送物的央最高芳点．突设计欢一种保测量乓建筑纳物高此度A泼B的春方法落．勒分析距：由错于建螺筑物唐的底吧部B盲是不毫可到喂达的毁，所球以不料能直悠接测并量出危建筑监物的昌高．泻由解锻直角霞三角沿形的摧知识议，只淘要能铃知道守一点葛C到好建筑陕物顶谢部A仪的距通离C返A，垄并能浙测出齿由点吊C观再察A疫的仰锹角，洒就可斥以计福算出寄建筑牛物的县高．抓为了世求出沾CA绵的长毯，可薄选择标一条如水平逮基线事HG孔〔如犬图4幼3-件9〕壮，使疑H，猴G，晚B三疲点在符同一遥条直歉线上帐．在莲G，咏H两后点用命测角舍仪器污测得自A的岗仰角会分别搂为α领，β到，设瞒CD协＝ａ吼，测昼角仪猫器的狗高为传ｈ，忘那么在塞△疑AC胜D诉中，滚由正妙弦定袋理，每得休，s需in稍〔α慰－β盏〕，元从而恒可求尸得A咐B＝雀AE絮＋h国＝A毛Cs围in糟α＋济h＝学＋h双．朝［练遮习注］约1.壤在倡△颂AB鸦C齐中，退握以下司条件霸，解扁三角掀形．警〔角畜精确宏到1衰°，历边长宋精确寿到板1c膛m错〕吐〔1方〕A霸＝4坊5°郑，C酬＝3倍0°垦，ｃ迷＝喂10菠cm仇．搏〔2月〕A锋＝6呈0°朋，B及＝4勒5°触，ｃ膛＝佣20兔cm炼．浅〔3部〕ａ蝇＝能20棵cm纽，ｂ棒＝护11炼cm苹，B批＝3剃0°吼．找〔4沟〕ｃ受＝晋54摆cm选，ｂ教＝煮39助cm降，ｃ之＝1蚂15斑°．躁2.扶在朽△绕AB倾C轻中，填鸣以下粘条件抓，解霸三角睡形．洗〔角泪精确刃到0迎.1撞°，羞边长杨精确篇到铃0.铃1c漂m哲〕籍〔1著〕ａ铲＝争2.睁7c裙m兼，ｂ责＝斤3.普69聪6c剂m呢，C帜＝8内2.蠢2°稿．脱〔2拼〕ｂ浩＝谅12模.9象cm秋，ｃ惯＝轻15裁.4委cm触，A钱＝4威2.拜3°查．贝〔3侦〕ａ些＝盈7c看m壶，ｂ世＝跟10核cm辛，ｃ阴＝躺6c兼m敌．葛四、迈拓展灯延伸数1.位在翁△甘AB鱼C情中，疾有正兰弦定倡理狗这涉秤及比睛值的符连等矩式．惭请探逆索并斥研究圣是一好个什窄么样侦的量聚，并抗加以滩证明氧．嘴2.赞在肤△端AB杯C耻中，坑磨三边锐的长费为ａ欠，ｂ成，ｃ速，如纯何判符定瓜△详AB策C单的形尤状？顾3.解已帽知：遍在筒△袍AB咏C昌中，支ａ＝杆60滩，ｂ沃＝5兔0，涨Ａ＝嫩38体°，刚求B新．〔对精确案到1嫂°〕抱分析欺：逢.酿∵沙0°图＜B窃＜1症80韵°，苹∴怒B≈怕31鞋°睛或B灰≈1备49出°，隐但当森B≈悲14催9°贡时，彼A＋史B＝真18斥7°姿，这截与A蓬，B射为三棋角形抽内角团矛盾缘，故收B角酒只能握取3渴1°岔．晨由此圈题与独例1灰中的科〔2虹〕题披的分兵析可稀以发惭现，砖在已酱知三牛角形丸两边饶及其牺一边悲对角庆解三锻角形贯时，嫩在某式些条潮件下捉会出意现一径解或瓣两解等的情肥形，柜那么捎会不馆会出赞现无啄解的本情形托呢？秀〔1双〕当婚A为简钝角亭或直峡角，臣必须差满足番ａ＞邻ｂ才由有解谈〔ａ丑≤ｂ铃无解吸〕，翼并且称由s箭in葵B＝毒计算艘B时秧，只疤能取舱锐角洒，因概此，毯只有饲一解缴，如逝图4刑3-坑10缩．哭〔2销〕当批A为籍锐角怪时，抱①伴假设ａ树＞ｂ宿或ａ编＝ｂ成，那么岛由s瓶in汇B＝岩计算吐B时罪，只将能取祝锐角御的值疏，因灰此，谱只有谷一解叙，如吃图4睁0-赤11锈．漫②纳假设ａ桑＜ｂ掠si招nA筋，那么自由s撇in塞B＝敲，得羊si夕nB传＞1盏，因持此，屋无解畅．如柳图4感3-拳12轰．稼③雷假设ａ忠＝b凝si命nA诉，那么葱由s咳in卷B＝幕，得蜓si彼nB醉＝1顷，即缓Ｂ为影直角东，故斜只有博一解网，如聋图4称3-上13亏．养④雕假设ｂ渡＞ａ份＞b好si选nA移，那么辜si纤nB婚＜1吧，故离B可态取一肢个锐霉角和森一个扒钝角阀的值拥，如永图4康3-如14线．警思考霸：假设泰植三角终形的寄两角秩和一中边、醉三边含、两消边及死其夹剖角来嘱解三鼻角形所时，辟它们裙的解怖会是阻怎样司的？抛点南评左这篇丙案例投设计踢，思替路清浓晰，普突出给现实益．首您先通懂过