辽宁工业大学高数习题课10-1-2

第十章曲线积分与曲面积分习题课〔二〕对坐标的曲线积分〔第二型曲线积分〕一、对坐标的曲线积分的概念1．定义2．物理意义

变力沿

所作的功.二、对坐标的曲线积分的性质1．线性性质：

若（方向不变），则设是的反向曲线弧，则3.与积分曲线的方向有关性：2．可加性：三、对坐标的曲线积分的计算方法〔化为定积分计算〕〔1〕参数方程：1．直接计算法：设从变到;则设;从变到;则设从变到;则〔2〕直角坐标：设从变到;则注:下限起点上限终点3．利用积分与路径无关的条件计算法.与路径无关─单连域.—单连域.2．格林〔Green〕公式计算法〔注意使用条件！〕（这里为区域的正向边界曲线)，为区域内任意闭曲线.

四、两类曲线积分之间的联系

其中为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.

五、对坐标的曲线积分的解题方法4．斯托克斯〔Stokes〕公式计算法（这里

是有向曲面的正向边界曲面)No积分与路径无关封闭取特殊曲线转化为定积分积分与路径相关封闭确定D应用Green公式对L补上特殊曲线在封闭曲线上应用Green公式转化为定积分YesNoYesNoYes解题方法流程图

由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数

及积分曲线

然后判断等式是否成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域

内与积分路径无关.此时的计算方法是，看积分曲线

是否封闭.若为封闭曲线,那么利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;假设上式不成立，那么曲线积分与积分路径有关。此时的计算方法是，看积分曲线

是否封闭.若为封闭曲线,则直接利用若

不是封闭曲线,通常采用取特殊路径的方法（如取平行于坐标轴的折线)来计算所给积分，即Green公式计算所给积分，即若

不是封闭曲线,则计算方法一般有两种,一种是将曲线再计算

最后将两式相减便得原曲线积分的值,即积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径

,使与构成封闭曲线，然后在封闭曲线

上应用Green公式,即六、典型例题【例1】计算曲线积分

其中为曲线沿

增大的方向.分析

由于

故曲线积分与路径有关.又因为曲线不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线

的方程改写为再代入被积函数中计算。解：由于

所以分析此题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到此题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯〔Stokes〕公式将曲线积分转化为曲面积分计算。【例2】计算曲线积分

,其中为有向闭折线,这里的依次为点、、解法1：化为定积分计算.由于

(如图)，这里所以

从

变到。从

变到。从

变到。从而

解法2：利用斯托克斯公式计算.

设

为平面上所围成部分的上侧，由Stokes公式，得为在坐标面上的投影区域，则分析由于

,故曲线积分与路径有关。【例3】计算曲线积分

,其中为区域的边界，取逆时针方向。又因

为封闭曲线（如图）。且

、在所围区域上满足格林公式的条件，故本题可采用格林公式方法来计算，即采用框图中线路2→21的方法。.解:令，.则即

由于故利用格林公式，得【例4】计算曲线积分

.其中为圆周（按逆时针方向绕行）.分析由于本题积分曲线

为圆周,故可首先写出的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算，即可采用框图中线路2→23的方法计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。解法1：化为定积分计算。的参数方程为：

,从变到.则解法2：利用格林公式计算。

设

由所围区域为,则;于是分析由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径的积分，被积函数中含有和的项,【例5】计算曲线积分

,其中为曲线

上从点到点的一段弧.积分的计算将是非常困难的。因此，此题采用补特殊路径，然后应用Green公式的方法计算此题，即采用框图中线路2→22计算。线不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直解:补直线段:,从变到;并设曲线所围区域为（如图），则由Green公式，得：又故

.【例6】设是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分.分析因,,则由于与在原点处不连续,因此：（1）若给定的曲线所围成的闭区域不包括原点,则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点,那么、在所围成的闭区域上不满足格林公式〔积分与路径无关的条件〕。此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线,在上应用Green公式,由此将上的曲线积分转化为上的曲线积分.解：因,,则故.（1）若给定的曲线围成的闭区域不包括原点.由知曲线积分与路径无关,故.（2）若给定的曲线所围成的闭区域包括原点,则取一条特殊的有向曲线(充分小),规定的方向为逆时针〔如下图〕。设所围成的区域为,则在上应用Green公式，得所以.而故或利用参数方程计算：令:,,从到.所以【例7】计算曲线积分,其中为在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.解：记,.则由于,分析本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看以决定是否用格林公式或其他的方法计算。则所给积分与路径无关。现取,从变到;则有七、对坐标的曲线积分的物理应用

求变力沿曲线所作的功：.【例8】设位于点的质点对质点的引力大小为（为常数,为质点对质点之间的距离),质点沿曲线自运动到.求在此运动过程分析设质点对质点的引力.因此，问题的关键是写出引力的表达式.中质点对质点的引力所作的功.则所求的功为解：作图如右图所示，可知引力的方向与一致,故,于是),(yxM分析由于场力沿路径所作的功为,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。证明：场力沿路径所作的功为