2022年北师大版新教材高中数学必修第一册第八章数学活动建模（一）教案

第八章数学活动建模（一）

8.1走近数学建模.................................................................1

8.2数学建模的主要步骤..........................................................3

8.3数学建模活动的主要过程......................................................5

8.1走近数学建模

【教学目标】

知道数学建模的概念与意义.

【教学重难点】

实际问题的数学建模.

【教学过程】

一、激趣导入

实际问题：普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城（现为俄罗斯的加里宁格勒）.普

莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图.

岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步.在18

世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次,

最后又回到原来的出发每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始

沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解.这就是著名的

哥尼斯堡七桥问题.

二、新知探究

1.实际问题的数学表述

七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想：经过这么多人的努力都没有找到

一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？

首先，欧拉想到的是列举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证.

但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5000多种，并且

这种方法不具有通用性.

经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，

重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作

4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河

流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对

七桥问题建立起来的数学模型.

2.数学问题的解决

欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都

是“经过点”.“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离

开这个点.有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点.若以某一点为端点的线有

偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是

同一个点，那么这个点也是偶点.

一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：

(1)图形是连在一起的，即是连通图形；

(2)图形中的奇点个数为0或2.

3.用数学结论解答原问题

在七桥问题中，四个点全是奇点，不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座

桥.

1735年，欧拉把研究论文“Thesolutionofaproblemrelatingtothe

geometryofposition"提交到圣彼得堡科学院，1741年发表在《圣彼得堡科学院

通讯》上，开创了图论和拓扑学两门新的学科.

欧拉对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化为数学问

题，又用数学的思想方法分析、解决了这个问题，这个过程就是数学建模.

8.2数学建模的主要步骤

【教学目标】

知道数学建模的主要步骤.

【教学重难点】

实际问题的数学模型.

【教学过程】

一、基础知识

数学建模活动的主要步骤如下:

二、实例探究

【提出问题】

在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15s,那么，每次绿灯亮时，在一条直行

道路上能有多少汽车通过十字路口？

【建立模型】

经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假

设：

(1)通过路口的车辆长度都相等；

(2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；

(3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；

(4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；

(5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞.

将车辆长度记作1,车距记作d,经过实际调查，取l=5m,d=2m较为合理.

另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10s内可从静止加速到21m/s,

加速度记作a,计算可得a=21m/s2,为了简化，这里取a=2m/s2.汽车加速到最高限速

后，便以这个最高限速行驶.

资料显示，城市十字路口的限速v*=40km/h〜11.1m/s.

延时时间记作T,经观察，取T=ls较为合理，用L表示第n辆汽车开始启动的

时间，则h=nT用h*表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时

间是

t；—^=—=5.55(s).

a

用Sn(t)表示时亥|Jt第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0,则Sn(0)=-(n-l)(l+d).

这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)>0的n的最大值，其中

S.(0),04Vj,

s“a)=《

S„(0)4--^a(z；—jA+t/(t—e；)

【求解模型】

代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15s时若干辆汽车的位置，如表:

汽车12345678

序号

位置/m124.6106.588.470.352.234.116.0-2.1

由表可见，绿灯亮至15s时，第7辆车已经驶过停车线16.0m,而第8辆车还距

停车线2.1m,没有通过.因此，15s的绿灯最多可以通过7辆汽车.

【检验结果】

到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否

则，再修改假设，重新建模.

三、课后作业

到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否

则，再修改假设，重新建模.

8.3数学建模活动的主要过程

【教学目标】

知道课题研究的主要环节.

【教学重难点】

实际问题的数学模型建立.

【教学过程】

一、课题研究

课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需要撰写开题报告，

教师要组织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、

研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模

型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研究报告和报告研究结果，开

展结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作

的实物、研究报告或小论文等多种形式.

二、实例探究

测量学校内、外建筑物的高度（供选）：

1.［目的］运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过

程.组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.

2.［情境］给出下面的测量任务；

(1)测量本校的一座教学楼的高度；

(2)测量本校的旗杆的高度；

(3)测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看到见的物体的高度.

可以每2〜3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题

报告表，一周后上交.

3.［要求］

(1)成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具.

(2)小组成员查阅有关资料，进行讨论交流，寻求测量效率高的方法，设计测

量方案(最好设计两套测量方案).

(3)分工合作，明确责任.例如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工

等.

(4)撰写报告，讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.

4.根据上述要求，每个小组要完成以下工作.

(1)选题

本案例活动的选题步骤略去.

(2)开题

可以在课堂上组织开题交流，让每一个项目小组陈述初步测量方案，教师和其他

同学可以提出质疑.在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案.

(3)做题

依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量，这样有

利于教师的现场观察和管理.要有分工、合作、责任落实到个人.

(4)结题

在每一位学生都完成“测量报告”后，安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告

最好有鲜明的特点，如测量结果准确，过程完整清晰，方法有创意，误差处理得当，

报告书写规范等；或者测量的结果出现明显误差，使用的方法不当.

5.［分析］测量高度是传统的数学应用问题，这样的问题有助于培养学生分析解

决问题、动手实践、误差分析等方面的能力.测量模型可以用平面几何的方法，例如，

比例线段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考虑自

由落体的时间；等等.

6.［拓展］欢迎提出新的问题，积累数学建模资源.例如：

1.本市的电视塔的高度是多少米？

2.一座高度为am的电视塔，信