在发明中学习

在发明中学习第1页，课件共29页，创作于2023年2月一.二元一次方程组的几何意义行列式的定义

方程组可写成向量形式即第2页，课件共29页，创作于2023年2月1.有唯一解的条件不共线即2.消元:方程(1.1)两边与(1.1)作内积消去y,得其中第3页，课件共29页，创作于2023年2月就是同理得图2因此,于是3.二阶行列式—平行四边形面积第4页，课件共29页，创作于2023年2月称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图2第5页，课件共29页，创作于2023年2月3.代数算法第6页，课件共29页，创作于2023年2月利用几何图形表达出来,就是:第7页，课件共29页，创作于2023年2月以上算法用到二阶行列式的如下基本性质(1)det(a,b)可以看成向量a,b的乘积来展开:det(ka+k1a1,b)=kdet(a,b)+k1det(a1,b)det(a,kb+k1b1)=kdet(a,b)+k1det(a,b1)如图,就是第8页，课件共29页，创作于2023年2月(3)det(e1,e2)=1

由(2)det(a,a)=0邻边重合,平行四边形退化为线段,面积为0.det(e2,e1)=-det(e1,e2)=-1det(a,b)=-det(b,a)知

det(u,v)=det(u,v+au)第9页，课件共29页，创作于2023年2月可写成其中二.三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义第10页，课件共29页，创作于2023年2月两边同时与方程作内积消去y,z,得到类似地可以得到y,z的表达式。当时得第11页，课件共29页，创作于2023年2月从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积第12页，课件共29页，创作于2023年2月3.三阶行列式的基本性质(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分别是三条坐标轴上的单位向量.)可以看作的乘积来展开.(1)det((2)如果三个向量中有两个相等,则det()=0.将三个向量中的任意两个互换位置,则det()变为原来值的相反数。数学聊斋:人挤成照片之维数变化.第13页，课件共29页，创作于2023年2月4.利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项可以从(2.1)中去掉。只剩下i,j,k两两不相等的项。(2.1)变成当i,j,k中有两个相等时，第14页，课件共29页，创作于2023年2月代入(2.2),得又类似地有(2.2)我们有类似地有第15页，课件共29页，创作于2023年2月第16页，课件共29页，创作于2023年2月三.n

阶行列式的引入其中n

阶行列式第17页，课件共29页，创作于2023年2月它应具有以下基本性质：(1)是的某种乘积，可以按乘法法则展开。(2)如果n个向量中有两个相等,则=0。将n个向量

中的任意两个互换顺序，则变为。

(3)det(e1,e2,…,en)=1，其中n维列向量ei的第i分量为1、其余分量为0。是由决定的“n维体积”第18页，课件共29页，创作于2023年2月利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当i1,i2,…,in中有两个相等时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in

两两不相等的项,(3.1)中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和,成为:第19页，课件共29页，创作于2023年2月将排列中任意两个数相互交换位置,称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为s次)可以将排列变成标准排列(12…n),相应地将变成(3.2)

以下只须对每个排列求第20页，课件共29页，创作于2023年2月可以证明,的值由排列唯一决定,我们将记为sgn。则sgn代入(3.3)得到(3.3)于是得这可以作为n阶行列式的定义。(3.4)第21页，课件共29页，创作于2023年2月四.n

阶行列式的定义1.排列的奇偶性

由1,2,…,n按任意顺序重新排列而成的有序数组称为一个n元排列。将1,2,…,n按从小到大的顺序得到的排列(12…n)称为自然排列。在任意一个排列中,可能出现顺序“颠倒”的情况：p<q然而jp>jq,也就是较大的数jp反而排在较小的数jq

的前面。每出现一对这样的(jp,jq)

称为这个排列的一个逆序。第22页，课件共29页，创作于2023年2月排列中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作。

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3个,因此t(3142)=3,(3142)是奇排列。自然排列(12…n)的逆序数为0,因此自然排列是偶排列。

第23页，课件共29页，创作于2023年2月

将排列中的某两个数码jp,jq互相交换位置,称为这个排列的一个对换。每一次对换必然改变排列的奇偶性。每一个排列都可以经过有限次对换变成自然排列(12…n)。设排列经过了s次对换变成自然排列。则当s为偶数时，的奇偶性与自然排列相同,是偶排列;当s是奇数时，的奇偶性与自然排列相反,是奇排列。第24页，课件共29页，创作于2023年2月将n个数aij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列的形式,按如下方式计算：2.n

阶行列式的定义得到一个数，称为

n阶行列式。上面的式子中的求和号表示对所有的排列求和。第25页，课件共29页，创作于2023年2月五.n

元线性方程组可以写成第26页，课件共29页，创作于2023年2月将(5.1)两边与(5.1)点乘,可以消去除外的所有未知数,在0时得(Crammer法则)第27页，课件共29页，创作于2023年2月六.行列式与秩几何观点:

线性无关

秩为

n生成的空间的维数

=

n

n维体积

不为

0代数运算:detA不为0

A=0只有零解,x1A1+…+xnAn=0

只有零解.