解决空间问题中的平行与垂直问题（十一大经典题型）（解析版）-备战2023年高考数学一轮复习微专题（新高考地区专用）

考向29解决空间问题中的平行

与垂直问题

［经典题向育

经典题型一：平行的判定

经典题型二：线面平行构造之三角形中位线法

经典题型三：线面平行构造之平行四边形法

经典题型四：线面平行转化为面面平行

经典题型五：利用线面平行的性质证明线线平行

经典题型六：面面平行的证明

经典题型七：面面平行的性质

经典题型八：垂直性质的简单判定

经典题型九：证明线线垂直

经典题型十：证明线面垂直

经典题型十一：证明面面垂直

（2022•全国•高考真题（文））在正方体ABCO-ABC。中，E,尸分别为AB,BC的中点，则（）

A.平面平面80。B.平面4平面ABZ）

C.平面与EF//平面AACD.平面耳EF〃平面ACQ

【答案】A

【解析】在正方体中，

AC1BD目._1■平面ABCD.

又EFu平面A8C。，所以EF_L£）A，

因为E,F分别为A3,8c的中点,

所以所||AC,所以所

乂BDCD[=D,

所以M_L平面BOR,

乂£Fu平面4E尸，

所以平面BtEF±平面BDD],故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,

则用(2,2,2),£(2』,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C,(0,2,2),

则乔=(—1,1,0),函=(0,1,2),丽=(2,2,0),两=(2,0,2),

福=(0,0,2),/=(_2,2,0),而=(_2,2,0),

设平面BIEF的法向量为/n=(X|，x，zJ,

m-EF=-%+y=0

则有可取而=(2,2,T),

m-EBt=_y,+2z,=0

同理可得平面ABD的法向量为I=(1,T,-1),

平面AAC的法向量为0=。,1,0),

平面4G。的法向量为卮=(1,1,-1),

则加=2-2+1=1^0,

所以平面BtEF与平面\BD不垂直，故B错误;

UU

因为而与巧不平行，

所以平面B.EF与平面A,AC不平行，故C错误;

因为总与屋不平行，

所以平面B.EF与平面4G。不平行，故D错误,

故选：A.

选项BCD解法二：

对于选项B,如图所示，设ABngE=M,EFnBQ=N，则MN为平面与E尸与平面ABD的交线,

在内，作BPLMN于点、P,在AEMN内,作GPLMN,交EN于点G,连结BG,

则NBPG或其补角为平面B,EF与平面AtBD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN2,

底面正方形ABC。中，E,尸为中点，则£F_L8D,

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,

从而有:NB2+NG2=(PB1+PN2)+(PG'+PN')=BG2,

据此可得PB?+PG、BG?,即ZBPG丰90,

据此可得平面B、EF1平面AtBD不成立，选项B错误;

对于选项C,取A4的中点H,贝

由于AH与平面AAC相交，故平面用我/〃平面AAC不成立，选项C错误;

对于选项D,取AO的中点很明显四边形为平行四边形，则

山于AM与平面AG。相交，故平面B、EF//平面4G。不成立，选项D错误;

故选：A.

（2022•全国•高考真题（理））如图，四面体A8CD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ABDC,E为AC的中

点.

证明：平面BED_L平面AC。；

【解析】（I）因为AQ=CQ,E为AC的中点，所以AC_LDE；

在△ABO和ACBD中，因为AO=8,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABgZ\CBD,所以A8=C8,又因为E为AC的中点，所以ACL8E；

乂因为OE,8Eu平面8区），DEcBE=E，所以AC_L平面8瓦），

因为ACu平面ACD,所以平面8£DJ_平面ACD.

E&-

方法技巧一：直线和平面平行

i.定义

直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/〃a

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

线〃线=>如果平面外的一条直线和这i//i

/x

>=>/〃a

线〃面个平面内的一条直线平行，那么这4ua

/(Za

条直线和这个平面平行（简记为Z__/

“线线平行二线面平行

面〃面=如果两个平面平行，那么在一a//f3

，=a〃B

线〃面个平面内的所有直线都平行于另aua

一个平面

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

线〃面0线〃线如果一条直线和1//a

一个平面平行，经过\1uB>=>//

La^/3=r\

这条直线的平面和这

个平面相交，那么这

条直线就和交线平行

方法技巧二：两个平面平行

1.定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和夕，若am，则a〃/?

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两

线〃面n条相交的直线都平行于另

Q〃小b//p^>a//p

面〃面一个平面，那么这两个平面

平行（简记为“线面平行

=面面平行

线±面=如果两个平面同垂直1八

当>=a〃B

面〃面于一条直线，那么这两个平/"J

面平行

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语音符号语言

如果两个平面平行，

面〃面=那么在一个平面中的所a11(3

线〃面有直线都平行于另外一

个平面

如果两个平行平面

al1/3'

同时和第三个平面相交，

a//E.

性质定理那么他们的交线平行（简

j3C\y=b

记为“面面平行二线面5

平行”）

如果两个平面中有

t7

面〃面=一个垂直于一条直线，那all*

线，面么另一个平面也垂直于I.La

这条直线

方法技巧三：直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

方法技巧四：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一

1

个平面内的两条相a,bua

all

判断定理交直线都垂直，则>n/J_a

1bll

该直线与此平面垂7acb=P

直

两个平面垂

直，则在一个平面aA.p

ac0=a

面_|_面=线_|_面内垂直于交线的直»=匕_La

三zbu/3

线与另一个平面垂bla

直

一条直线与两a

平行平面中的一个Z7

a//，

平行与垂直的关系平面垂直，则该直

7aLa

线与另一个平面也

垂直

两平行直线中ab

有一条与平面垂a!lb

平行与垂直的关系>=>/7_La

直，则另一条直线7aLa

与该平面也垂直

方法技巧五：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一ab

alia

性质定理平面的两条直线auB>=a〃b

ac/3=b

平行■h

垂直于同一a

ala]-

垂直与平行的关系直线的两个平面Z7\nalIf)

平行ZZ7

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ec/?=Cr>,CE»_L7，且==则ad./?）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

方法技巧七：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过bla]八

bu/f\=>aL"B

另一个平面的垂b

线，则这两个平面

垂直

方法技巧八：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，a1[3

acB=a

则一个平面内垂直}=〃_La

<gbu/3

于交线的直线与另7bla

一个平面垂直,

一.线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示.

(1)证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线a与平面a没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行二线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面,

同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

(2)证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

(3)证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

判定定理、判定定理)

二.线，线'性质定理线，面,性质定理面，面

(1)证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a_La,/，ua=>a_L8)；

⑦平行线垂直直线的传递性(aJ_c,a//b=bJ_c).

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(aA-b,aA-C,c<^a,b<^a,boc=P=>aA.a);

③面面垂直的性质(a1B，acp=b,a1b,aua=a，p)；

平行线垂直平面的传递性(a_La,6//aob_La);

⑤面面垂直的性质(aJ_7，/7_Ly,cc/=/=/J_/).

(3)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a，B，aua=a，/3).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位

判岑

质

面〃面

经典题型练

经典题型一：平行的判定

1.(2022•河南•宝丰县第一高级中学高三开学考试(理))在正方体ABCO-A4G2中，P,。分别为A8,

C£)的中点，则()

A.ABJ平面BG。B.平面AAR〃平面8G。

C.平面片。PD.平面BQ。，平面BQP

【答案】D

【解析】如图，因为A瓦〃G。，而G。与平面BG。相交，则A选项不正确;

因为。P||3Q,4PIIG。，所以平面耳DP||平面8GQ,

而平面AB.D,与平面BQP相交，则B选项不正确；

在矩形AB。。中，A©与用。不垂直，即4。与平面BQP不垂直，则C选项不正确;

设4。的中点为G,因为DP=8,P,所以GPL8Q,

乂因为GP||8q,BQ1BC,所以GP^gC,

所以GPJL平面4co,所以平面BQ。，平面片。尸，则D选项正确.

故选：D.

2.（2022•全国•高三专题练习）已知直线相，平面a,〃表示直线，夕表示平面，有以下四个结论：

①a=；@m//n,nuB=a10；③n//anmln；④若夕与相相交，则夕与a相交.其中正

确的结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】对丁①，aLB=m"或MU。,故①错误；

对于②，mlln,mla=>nla,又“<=，，所以故②正确；

对于③，mLa,〃//anmJ_〃，故③正确；

对于④，若夕与，"相交，则£与a相交或平行，故④错误.

故正确的结论的个数是2.

故选：C.

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,Q

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A8与平面不平行的是（）

\13

MM

J01A

【答案】A

【解析】对A,如图，易得平面MNQ〃平面ACD,但平面ACD与AB相交，故直线A3与平面MNQ不平

行；

©

MD

对B,如图，C为所在棱的中点，根据中位线的性质有NC〃/3,且MN//CQ,MN=CQ,故平行四边形

MNCQ,故NC//MQ,故AB〃M。，故直线AB与平面MN。平行.

M

对C,根据中位线与平行四边形的性质，同理可得A3//MQ,直线A3与平面MNQ平行;

对D,根据中位线与平行四边形的性质，同理可得A8〃NQ,直线A3与平面MNQ平行;

经典题型二：线面平行构造之三角形中位线法

4.（2022•北京四中高三开学考试）如图，在直三棱柱ABC-AAG中，ZBAC=90,AB=AC=AAi=2,

求证：48〃平面AEG；

［解析］连接AC,交AG于点N,连接EN,如图

直三棱柱48C-A4G中，N是AC的中点，乂E是BC中点,

所以EN〃A、B,又ENu平面AEG，平面4EC-

所以A3〃平面AEC-

5.（2022•北京•高三开学考试）如图，在三棱柱ABC-A8c中，侧面A网4，8CG耳都是正方形，ZABC

为直角，AB=2,M,N分别为Aq,AC的中点.

求证：MV〃平面BCG4；

【解析】连接旦C,在△4cA中，

因为M,N是44，AC的中点，

所以MN〃4C,

乂4Cu平面BCCg,MNz平面BCC百

所以MN〃平面8CG4.

6.（2022•江苏省包场高级中学高三开学考试）如图，在四棱锥P-ABCO中，以，平面ABC。，PA^AB

=BC=6,AO=C£>=1,NAQC=120。，点M是AC与8。的交点，点N在线段P8上，且尸N=，PB.

P

证明：MN//平面PDC；

【解析】在四边形A8CD中，由AB=8C=e，AD=CD=l,

可得△48。丝△C8£）,可得AC_LBC,且M为AC的中点，

由AQ=CO=1,Z/1DC=120°,可得DM=CDcos60°=，，AC=2CDsin60°=^,

则8M=曰xg=g,由篇=g，可得MN〃PD,

而平面PCD,尸Du平面PCD,可得MN〃平面PDC.

经典题型三：线面平行构造之平行四边形法

7.（2022•江苏南通•高三开学考试）如图，在四棱锥尸-AfiCD中，△R£）是边长为2的等边三角形，AB1

平面PAD,ABHCD,且A8>C£>,BC=CP,。为棱Q4的中点.

求证：〃平面PBC；

【解析】在四棱锥P-43a>中，取尸8的中点E,连OE,CE,如图,

因。为棱的中点，则OE〃A8//8,OE=-AB,

2

因平面PAO,有CD_L平面皿>,而PAAQPDu平面尸相>,则43，AD,AB_LE4,8，尸£>,

则有/^;以f+尸加，在直角梯形ABCD中，BC2=AD2+(AB-CD)2,乂△2£>是边长为2的等边三角

形，

即PZ)=/W=2,又BC=CP,因此(AB-C£>)2=C£>2,而Afi>CD,则CO=LAB=OE,

2

于是得四边形CDOE为平行四边形，有OD//CE,乂CEu平面PBC,ODa平面PBC,

所以。£>〃平面P8C.

8.（2022•安徽省定远县第三中学高三阶段练习）在等腰梯形8CEF（图1）中，BC//EF,

EF=3BC,ZE=NF=45。,A,3是底边EF上的两个点，且84_L£F,C0_LE/.将和△££心分别沿

AB,£>C折起，使点E,尸重合于点尸，得到四棱锥P-ABCD（图2）.已知“，N,〃分别是PDPA,BC

证明：M”//平面E48.

【解析】由题意可得，在等腰梯形BCE/中，BC=AD=FA=ED,

在中，因为84_LE4,/尸=45。，

所以==四边形A8CQ为正方形.

在四棱锥P-ABCD中，连接MN,因为M,N分别是PDPA的中点,

所以W.BH=-BC=-AD,

22

所以MN//BH,且MN=BH,

二四边形M/V8H是平行四边形，MH//BN,

因为平面处8,8Nu平面如8.

所以M4〃平面R4B：

9.（2022•云南•高三阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，分别为AB,CG的中点.

4G

B

证明：直线OE〃平面ABg；

【解析】证明：取A片中点F,连接。尸,GF,

因为。为AB的中点，所以。尸〃8与，且=A，

乂E为CG的中点，所以旦EG=；B4，

所以QF〃£G，Fl.DF=EC,,所以四边形。EC/为平行四边形，所以DE〃尸C「

又。EZ平面ABC，PGu平面ABC，所以直线。E〃平面ABC.

经典题型四：线面平行转化为面面平行

10.（2022•全国•高三专题练习）如图，在长方体ABC。-44G2中，A8=4,BC=BB、=3,G为A8的

中点，E,尸分别在线段AG，AC上，且芸=*=：,求证：EG〃平面BB,F.

/XIC-✓IJ

［解析］在长方体ABCD-ABCR中，取AF的中点M,连接EM,GM,如图,

因G为48的中点，则GM//BE,而5尸u平面平面58/，从而GM〃平面BB,F,

4ECF]

四边形ACGA为矩形，而£丁=丁=三，则有A£=CF=AM,又％E〃AM,

A[CqAC、

即有四边形4MEA为平行四边形，则EM//AA〃BB1,而BB^u平面BB/,EMa平面仍尸，

从而EM//平面BB,F,而GMn⑷0=M,6",£加二平面项络，因此平面E/0G〃平面防/，又EGu平

面EMG,

从而EG//平面B8/.

11.（2022•福建省福州第一中学高三开学考试）如图，在矩形ABC£>中，AB=3,AD=6,点、E,尸分别

在A£>,8c上，且AE=1,BF=4,沿E尸将四边形AE/话折成四边形AEFB'，使点B'在平面C£>£F上的

射影H在直线OE上.

求证：A'。〃平面BFC;

【解析】■.■A'E//B'F,4七6平面8'尸（:，3'/（=平面8’尸（7.

AE//平面B'FC，

由QE//RC,同理可得DE//平面BFC,

乂•：AEcDE=E,

••.平面AED//平面B'FC，A£>u平面AED,

..4。//平面8尸（7;

12.（2022•四川巴中•模拟预测（理））如图，正方形A8CO和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE1BC,

BE//CF,且AB=3E=2,CF=3.

Fe

E

DA

证明：〃平面£>CF；

【解析】由正方形ABC。的性质知：AB||C。，乂A80平面Ob,。。匚平面力^^二河“平面。。厂,

■.■BE//CF,BEU平面DCF,6<=平面。。;',..8£：〃平面。67;',.ABr>BE=B，A8,BEu平面住,

二平面4BE〃平面。CF,•rAEu平面ABE,r.AE〃平面DCF：

13.（2022•全国•高三专题练习）如图，四边形A8CO为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE,BF1BC,

BF<CE,BF=2,AB=1,A£)=6.

⑴求证：BCLAF-,

（2）求证：”//平面。CE；

【解析】（1）四边形488为矩形，WABLBC,又BFLBC,AB,BFu平面ABF,AB^\BF=B,

则有8cL平面A3F,而AFu平面A8凡所以BCLAF.

（2）因班7/CE,BFZ平面GDE,C£u平面CDE,则8/3/平面COE,

矩形A8c。中，ABI/CD,A8<z平面CDE,C£>u平面COE,则48//平面CDE,

又AB,BFu平面ABF,ABQBF=B,于是得平面AB尸〃平面C£>E,而AFu平面ABF,所以AF〃平面

DCE.

14.（2022•全国•高三专题练习）如图，三棱柱ABC-ABG中M,N,P,D分别为CJBC,4向，8c的

中点，求证：PN〃平面ACGA

[解析】证明：•••P,D分别为B,C,的中点,

PD//4C).且AG平面ACJA，POU平面ACJ4,

二PZ）〃平面ACCM,

,:D,N分别为B£,BC的中点，

/.DN//cc,,且CGu平面ACGA，nv<z平面ACGA，

:.DN//平面ACC；A,又PDcDN=D,PD、DNu平面PDN，

二平面PDN〃平面ACGA，

又PNu平面PDN,

PN//平面ACC]A.

经典题型五：利用线面平行的性质证明线线平行

15.（2022•吉林省实验中学模拟预测（理））如图，在三棱柱ABC-A^G中，四边形MGC是边长为4

的菱形，AB=BC=届,点。为棱AC上动点（不与A,C重合），平面与棱AG交于点E.

求证8片//OE；

【解析】用//eq,

且BBt&平面ACC,A,CGu平面ACCA,

.18乌〃平面ACGA,

又••・BB]u平面用3。，且平面BQOn平面ACG4=DE,

IDE.

16.（2022•福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形438是边长为2的正

方形，AP1BP,AP=BP,PO=6.记平面与平面PC£＞的交线为/.

证明：AB//1；

【解析】因为A3||8,CDu平面尸CO,ABU平面PC。，所以49〃平面PCD

又ABi平面叫B,平面R4BC平面P8=/,所以AB〃/.

17.（2022•云南•昆明一中高三开学考试）如图，三棱柱A8C-ABG中，平面MC_L平面

A41CC，ABJ.AC,4A=A8=AC=2,/AAC=6（y,过4A的平面交线段8c于点£（不与端点重合），交线

段BC于点F.

⑴证明：AA.HEF.

【解析】（1）在三棱柱ABC-AB£中AAt//CCt,M,<2面BCC画,CGu面BCC,B,,

所以⑨//面BCC.B,.又过4A的平面44,EFc面BCC£=EF,

所以4A〃E尸.

经典题型六：面面平行的证明

18.（2022•上海•高三开学考试）在如图所示的多面体中，AB//CD,四边形ACFE为矩形，AB=AE=\,

AD=CD=2.

（1）求证：平面ABE//平面8/；

【解析】（1）证明：QAB//CD,A8<z平面CDF,8匚平面8尸，二48〃平面8/，

因为四边形ACFE为矩形，则AE〃CF,

•••AE0平面COP,〈尸<=平面。。尸，，/正〃平面8尸，

QA8IAE=A,AB、AEu平面住，因此，平面ABE〃平面C£>F.

19.（2022•全国•高三专题练习）如图，四棱柱ABC。-ABCR的底面ABC。为正方形，。为BD的中点,

AA,=2AB=4,求证：平面〃平面COM

【解析】证明：因为四棱柱A8CD-AqGR的底面A8C。为正方形,

所以=ab-AB//CD,AB=CD,

所以A81〃c。，M=CD,

所以四边形A耳8为平行四边形，

所以A。〃片c.

又平面C£)M，B(u平面

所以A。〃平面c〃4，

同理可证：A0〃平面CDM.

又AOcAB=A,A。u平面\BD.ABu平面\BD

所以平面480〃平面CD£.

5G

20.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四棱柱ABCO-ABCR中，四边形ABC£>是正方形，E,F,

G分别是棱8d，B£,CG的中点.证明：平面AEF//平面ARG；

【解析】证明：连接EG,BC-

因为E,G分别是棱5月，CG的中点，所以EG〃与G，EG=B^.

因为AQ〃4£,AR=BG，所以EG〃AQ,EG=4R,

所以四边形EGR4是平行四边形，则RG〃AE.

因为QGu平面AQG,A|E<z平面AQG,

所以AE〃平面AQG.

因为E,尸分别是棱84，BC的中点，所以E尸〃8G.

因为AQ〃8G，所以E尸〃AR.

因为ARu平面A?G,所且平面ARG,所以所〃平面AQG.

因为EFu平面AEF,AEu平面A£F,且AEcEF=£,

所以平面AM"平面4QG.

G

J

AB

21.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，尸是AABC所在平面外的一点,E、F、D分别是4PBe、NPCA、

△PAB的重心，求证：平面。即〃平面A8C.

B

【解析】连接MN、MG,如图，因。、E、尸分别是△尸4?、#BC、△PAC的重心，

B

pnPFPF2

则有M、N、G分别为43、BC、AC的中点，=—=—=-

因此。E//MN,DFIIMG,

OEU平面ABC,MWu平面ABC,于是得3E〃平面ABC,

OF®平面ABC,GA/u平面ABC,于是得DF〃平面ABC,DEcDF=D，DE,DFDEF,

所以平面£>EF〃平面ABC.

经典题型七：面面平行的性质

22.(2022•全国•高三专题练习)如图所示正四棱锥S-ABCZ),SA=SB=SC=SD=2,AB=42,P为侧

棱S£>上的点.且SP=3P£>,求：

(1)正四棱锥S-ABCZ)的表面积；

(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得〃平面PAC.若存在，求0的值；若不存在，试说明理由.

EC

【解析】(1),.,正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2,45=&，

:.正四棱锥S-ABC7)的表面积S=4x1x应x巫+应x&=2"+2.

22

(2)

B

在侧棱SC上存在一点E,使BE〃平面PAC,满足三=2.

EC

理由如下：

取S£>中点为Q,因为SP=3P£>,则PQ=P。，

过。作PC的平行线交SC于E,连接8Q,BE.

在△8OQ中，有BQ//R9,

•••POu平面PAC，8Q<z平面PAC,..BQ//平面PAC,

,^SQ.SE_SQ

I1J=2,..==2

QPECQP

又由于QE//PC,

PCu平面PAC,。£<2平面24。，，。£'//平面尸4（7,

vBQoQE=Q,；.平面BE。//平面PAC,得BE//平面PAC,

23.（2022•山西长治•模拟预测（理））在四棱锥P-A8c。中，P4_L底面A3CE,COJ.AE,AC平分/BARG

为PC的中点，PA=AD=2,BC=DE,AB=3，CD=2g,凡M分别为8C,EG上一点，且AF//C0.

ME

⑴求前的值，使得CM〃平面向G；

【解析】（1）证明：在Rr^A£>C中，/AQC为直角，旦AO=2,CO=26,

所以tanNCAO=2^=G，可得NC4£>=60°，

2

又因为AC平分所以N8AC=60",

因为AB=3,AC=4,

由余弦定理可得3C=>JAB2+AC2-2AB-ACcos60=V13-所以。E=.

”,MEDEV130..„...

当---=---=----,AGIIDM,

MGDA2

因为AG<Z平面CDM,DMu平面CDM,所以AG//平面CDM,

乂因为AF//CD,且AFU平面CDM,CDu平面COM,所以AF//平面CD",

因为AGcAF=A,旦AG,AFu平面AFG,所以平面CDW//平面AFG,

又因为。Wu平面CDM,所以CM//平面AFG.

24.（2022•全国•高三专题练习）在三棱柱ABC-A^C,中，点。、"分别是4C、AG上的点，且平面BCQH

平面4片。，试求器的值.

【解析】连接AB交AB「于点。，连接。R,如下图所示：

由棱柱的性质可知，四边形例48为平行四边形，所以，。为4B的中点，

因为平面8G。〃平面A8Q,平面A/Gc平面8GO=8G,平面48和c平面A8a=。〃，

OD.//BC,，则D1为AG的中点，则D©=；AC，

•.•平面BCQ〃平面A8Q,平面AAGCCI平面8G£>=G。，平面A41cCD平面A4A=A〃，

所以，ADJ/CQ,

乂因为ALWRG，所以，四边形为平行四边形，

所以，AO=G"=gAG=gAC,因此，器=1.

经典题型八：垂直性质的简单判定

25.（2022•安徽•高三开学考试）在正方体ABCO-ABC2中，点M在线段CG上，点N为线段AA的

中点，记平面BDMf）平面BRM=1,则下列说法一定正确的是（）

A./J.平面8DVB./_£平面BQN

C./_1_平面。。。6D./_!_平面ACGA

【答案】D

【解析】由题意得，B.DJ/BD,BDu平面平面5ZW厕BQ”平面BZW,又平面切如口

平面8aM=/,，B\D\//l,因为4R_LAG，8Q1/LVAGcAA=A，A4,U平面AAGC/Gu平面

AAGC.故&AL平面ACGA,因此/_L平面ACGA.故D正确

而B\D\UBD,BDU平面BDN、BR<Z平面B£W,则BQ//平面BDN,故IH平面BZW,选项A错误，同理

选项B错误；

由于8a与GR相交不垂直，故BQ与平面CDRG不垂直，因此/不垂直平面CDRG，故C错误；

故选：D.

26.(2022•湖南益阳•模拟预测)已知正方体ABCO-AgCQi中，E是AB的中点，则下列结论正确的是

()

A.DE与。B1相交B.QE1AQ

C.0E_L平面4田。D.RE〃平面BDQ

【答案】B

【解析】对于A,由题意可作图如下：

aDi

因为QE与。片异面，故A错误;

对于B,连接AR在正方体ABCO-AeGR中，如下图:

A.DLAD,,A£，平面ACRA，因为AQu平面ACRA,所以AE，A。,

因为AEcAR=A,所以A。，平面AEq,〃Eu平面AER,

所以已£，A。，故B正确；

对于C,连接AC-如下图:

可得ARL平面AB。，因为AG与RE不平行，所以RE不垂直平面AB。,

故C错误；

对于D,取GA中点尸，连接8尸，如下图:

则RE//8P,因为瓦•交平面83G于8,8尸不平行平面B3G，即QE不平行平面BDC-故力错误.

故选：B.

27.（2022•全国•高三专题练习）已知4,4是平面。内的两条直线，/是空间的一条直线，则"/La”是"/

且Q/r的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当/_La时，/]ca,/2<=«,所以/口且/，/2；

当/口且U4,4ua/ua,但4,4是否相交无法判断，所以2_La可能成立，也