改进遗传算法在投资组合中的应用

摘要遗传算法起源于对生物系统所进行的计算机模拟。美国密执安大学的Holland教授及其学生受到这种生物模拟技术的启发，制造出了一种基于生物遗传和进化机制的适合于复杂系统优化计算的自适应概率优化技术遗传算法。证券投资组合优化问题的实质确实是有限的资产在具有不同风险收益特性的证券之间的优化配置问题。因此，本文依照上述要求把交易成本和股票的整手买卖引入含有风险偏好的Markowitz组合投资模型，并对证券组合进行分类约束来降低风险，从而构造了含有约束的混合整数非线性规划模型。遗传算法是一类模拟自然界生物进化过程与机制，求解问题的自组织和自适应的人工智能技术。由于其运行简单和解决问题的有效能力而被广泛应用到众多领域。然而它也容易产生早熟现象以及局部搜索能力比较差，因此对专门多问题而言，差不多遗传算法并不是解决问题的最有效方法。因此本文对差不多遗传算法的一些算子进行了改进，获得了较中意的结果。本文提出的组合投资模型在求解上存在一定的难度，采纳遗传算法求解。在计算机上用Matlab7.0编程实现。关键字：遗传算法；生物模拟；投资组合；交易成本；ABSTRACTGeneticalgorithmoriginatedinbiologicalsystemsthroughthecomputersimulations.HollandTherefore,thispaperaccordingtotherequirementsofthetransactioncostsandstockscontainingwholelotintroducingriskappetiteMarkowitzportfoliomodel,andclassifyconstraintsportfoliotoreducerisk,whichisconstructedwithconstrainedmixed-integernonlinearprogrammingmodelGeneticalgorithmsareaclassofsimulationofnaturalbiologicalevolutionandmechanismsforsolvingtheproblemofself-organizationandadaptiveartificialintelligencetechnology.Becauseofitsoperationalsimplicityandabilitytosolveproblemseffectivelybeenwidelyappliedtomanyfields.Butitisalsopronetoprematureandrelativelypoorlocalsearchability,somanyproblems,thebasicgeneticalgorithmisnotthemosteffectivewaytosolvetheproblem.Thisarticleonsomeofthebasicgeneticalgorithmhasbeenimprovedoperatortoobtainamoresatisfactoryresult.Theproposedmodelforportfolioinvestmentinthesolutionthereisacertaindegreeofdifficulty,usinggeneticalgorithm.OnacomputerusingMatlab7.0programming.Keyword：geneticalgorithm；biologicalsimulations；Investmentportfolio；Transactioncosts；目录TOC\o"1-3"\u引言 1第一章遗传算法概述 21.1遗传算法的形式 21.2遗传算法的运算过程 31.3差不多遗传算法的构成 31.4差不多遗传算法的形式化定义 4第二章遗传算法的差不多实现技术 52.1遗传算法的编码原则 52.1.1二进制编码方法 52.1.2浮点数编码方法： 52.2遗传算法的适应度函数 62.2.1乘幂尺度变换 62.2.2指数尺度变换 62.3遗传算法的选择算子 62.3.1比例选择 72.3.2最优保存策略 72.3.3确定式采样选择 72.4交叉算子 82.4.1单点交叉 82.4.2算数交叉 82.5变异算子 82.5.1差不多位变异 82.5.2均匀变异 8第三章投资组合 103.1投资组合理论的提出 103.2证券组合投资理论 103.3马克威茨的均值—方差模型 103.3.1单个资产的收益、风险和资产间的相互关系 103.3.2资产组合的收益和风险 123.4现代投资理论的组成和进展 143.5投资组合的应用 14第四章基于改进遗传算法的有交易成本的组合投资问题 164.1模型的建立与分析 164.1.1股票交易额不可分割及无风险投资 164.1.2交易成本 174.1.3风险偏好 184.1.4分类约束 194.1.5模型描述 194.2模型的遗传算法求解 194.2.1编码 204.2.2动态惩处函数 204.2.3选择 214.2.4交叉 214.2.5变异 214.2.6改进遗传算法的过程 21第五章示例分析 225.1数据 225.2差不多遗传算法 235.3改进遗传算法分析 255.3.1初始化种群体 255.3.2适应度计算 255.3.3遗传操作 255.3.4结果 26第六章总结与展望6.1要紧工作总结 296.2展望 29参考文献： 30附录： 31致谢 49引言遗传算法是一种仿生优化的算法，我们的自然界充满了奇迹，而生命的繁衍生息确实是这些奇迹中的奇迹。生命是脆弱的，生命也是坚韧的。从远古时代单细胞开始，经历环境变迁的磨砺，生命经历了从低级到高级、从简单到复杂的演化之路，不但连续下来，而且产生了人类如此有思维、有智力的高级生命体。人类找到了生命的最佳结构与形式，他不仅仅能够被动的适应环境，更重要的是它能够通过学习、模拟、与制造、不断提高自己适应环境的能力。在人类的历史上，通过学习与模拟来增强自身适应能力的例子不胜枚举。模拟飞禽、人类能够飞行天空；模拟游鱼人类能够横渡海洋；模拟昆虫人类能够纵观千里；模拟大脑，人类制造了阻碍世界进展的计算机。人类的模拟能力不仅局限于自然现象和其他生命体。自从20世纪后半叶以来，人类正在将其模拟的范围延伸向人类自身。神经网络是人类对其大脑信息处理机制的模拟，模糊系统是人类对其思维方式的模拟。除了向自身结构的学习以外，人类还能够向其自身演化这一更为宏观的过程学习，来增强自身解决问题的能力，其代表性的方法确实是遗传算法。尽管人们还未完全揭开遗传与进化的奇妙，既没有完全掌握其机制，也不完全清晰染色体和译码过程的细节，更不完全了解其操纵方式，但遗传与进化的以下几个特点却为人们所共识：（1）生物的所有遗产信息都包含在其染色体中，染色体决定其生物的性状。（2）染色体是由基因及其有规律的排列所构成，遗传和进化过程发生在染色体上。（3）生物的繁衍过程是由其基因的复试过程来完成的。（4）通过同源染色体之间的交叉或染色体的变异会产生新的物种，是生物呈现出新的性状。（5）对生物适应性好的基因或染色体经常比适应性差的基因或染色体有更多的机会遗传到下一代。遗传算法是一种更为宏观意义下的仿生算法，他模仿的机制是一切生命与智能的产生与进化过程。他通过模拟达尔文“优胜劣汰、适者生存”的原理激励好的结构；通过模拟孟德尔遗传变异理论在迭代过程中保持已有的结构，同时查找更好的结构。作为一种随机的优化与搜索方法，遗传算法有着其鲜亮的特点：遗传算法的操作对象是一组可行解，而非单个可行解；搜索轨迹有多条，而非单条，因而具有良好的并行性。遗传算法只需利用目标的取值信息，而无需梯度等高价值信息，因而适用于任何大规模、高度非线性的不连续多峰函数的优化以及无解析表达式的目标函数的优化，具有专门强的通用性。遗传算法择优机制是一种“软”选择，加上其良好的并行性，使他具有良好的全局优化性和稳健性。遗传算法操作的可行解是通过编码化的，目标函数解释为编码个体的适应度，因而具有良好的可操作性与简单性。第一章遗传算法概述1.1遗传算法的形式下述的数学模型是为求解函数最大值的优化问题：Maxf(X)(1-1)S.t.XR(1-2)RU(1-3)········式中，决策变量：X=；目标函数：f(X)；约束条件：式（1-2）、（1-3）；差不多空间：U；R是U的一个子集；若X满足式（1-2）、（1-3）则称其为可行解，R为全体X构成的集合，也叫可行解集合。他们之间的关系如图可行解X差不多空间U可行解集合R遗传算法中，将n维决策变量X=用n个记号（i=1,2,...,n）所组成的符号串X来表示：X=X1X2...Xn=>X=把每一个看做一个遗传基因，他的所有可能取值为等位基因，如此，X就可看作是由n个遗传基因所组成的一个染色体。一般情况下，染色体的长度n是固定的，但关于一些问题n也能够是变化的。依照不同的情况，那个地点的等位基因能够是一组整数，也能够是某一范围内的实数值，或者是纯粹的一个记号。最简单的等位基因是由0和1这两个整数组成的，相应的染色体就能够表示为一个二进制串。这种编码所组成的排列形式X，关于每一个个体X，要按照一定的规则确定其适应度。个体的适应度与其对应的个体表现性X的目标函数值相关联，X越接近目标函数的最优点，其适应度最大；反之，其适应度最小。遗传算法中，决策变量X组成了问题的解空间。对问题最优解的搜索是通过对染色体X的搜索过程来进行的，从而有所有的染色体X就组成了问题的搜索空间。生物的进化是以集团为主体的。与此相对应遗传算法的运算对象是由M个个体所组成的集合，称为群体。与生物一代一代的自然进化过程相类似，遗传算法的运算过程也是一个反复迭代的过程，第t代群体叫做P（t）,通过一代遗传和进化后，得到第t+1代群体，他们也是由多个个体组成的集合，叫做P（t+1）。那个群体不断地通过遗传和进化操作，同时每次都按照优胜劣汰的规则将适应度较高的个体更多的遗传到下一代，如此最终会在群体中得到一个优良的个体X，它所对应的表现性X将达到或接近问题的最优解。染色体的变异和染色体之间的交叉是生物的进化的必经之路。将那个过程推而广之应用到最优解搜索过程中便是遗传算法最差不多的思想，在群体P（t）上作用遗传算子，进行以下一些遗传操作，群体P（t+1）由此产生。选择：有规则的对每个个体的适应度进行排列，从中挑取较好的个体遗传到下一代。交叉：对群体中随机搭配的每一对个体，以某一概率交换他们的部分染色体。(3)变异：对群体中的每一个个体，以某一概率改变某一个或某一些基因座上的基因值为其他的等位基因。1.2遗传算法的运算过程下图为遗传算法的运行过程示意图遗传空间解集合个体评价解码群体P（t+1）变异运算交叉运算选择运算解空间遗传空间解集合个体评价解码群体P（t+1）变异运算交叉运算选择运算解空间群体P（t）1.3差不多遗传算法的构成染色体编码方法：在差不多遗传算法中群体中的个体用固定长度的二进制符号串来表示，二值符号集{0,1}组成了其等位基因。初始群体中各个个体的基因值可用均匀的随机数来生成。如：X=100111001000101101个体适应度评价：在差不多遗传算法中，个体适应度越高的个体遗传到下一代的机会越多。那个地点要求所有个体的适应度必须为正数或零。对不同种类的问题，目标函数值按照不同的规则转换成个体适应度值。遗传算子：差不多遗传算子是最差不多的一些算子包括比例选择算子；单点交叉算子；差不多位变异算子。（4）运行参数：差不多遗传算法4个需要提早设定运行参数：•M：群体大小，一般取为20--100.•T：终止进化代数，一般取为100--500.•：交叉概率，一般取为0.4--0.99。•：变异概率，一般取为0.0001--0.1；1.4差不多遗传算法的形式化定义差不多遗传算法可定义为一个8元组：SGA=(C,E,,M,,,,T)式中C个体的编码方法；E个体评价适应度函数‘初始群体；M群体大小；选择算子；交叉算子；变异算子；T遗传运算终止条件。ProcedureSGABeginProcedureSGABeginInitializeP(0);t=0;While(t<=T)doFori=1toMdoEvaluatefitnessofP(t);EndforFori=1toMdoSelectoperationtoP(t);EndforFori=1toM/2doCrossoveroperationtoP(t)EndforFori=1toMdoMutationoperationtoP(t);EndforFori=1toMdoP(t+1)=P(t)Endfort=t+1;Endwhileend第二章遗传算法的差不多实现技术2.1遗传算法的编码原则2.1.1二进制编码方法遗传算法中最差不多的一种编码方法是二进制编码，它的个体基因型是一个二进制编码符号串组成，它的编码符号是由二进制符号0和1所组成。问题所要求的求解精度决定二进制符号串的长度。若使参数编码时的对应关系如下：00000000···00000000=0-->00000000···00000001=1-->···············11111111···11111111=-->则二进制编码的编码精度为：假设某一个体编码是：则对应的解码公式：2.1.2浮点数编码方法：浮点数编码方法，是指用某一范围内的一个浮点数来表示个体的每个基因值，决策变量的个数与个体的编码长度相同。由于这种编码方法使用的是决策变量的真实值，因此浮点数编码方法也叫做真值编码方法。在浮点数编码方法中，必须保证基因值在给定的限制范围之内，遗传算法中所使用交叉、变异等遗传算子也必须保证其运算结果所产生的新个体的基因值也在那个范围内。浮点数编码方法有以下几个优点：适合在遗传算法中表示范围较大的数；适合于精度要求较高的遗传算法；便于较大空间的遗传搜索；改善了遗传算法的计算复杂性，提高了运算效率；便与遗传算法与经典优化算法的混合使用；便于设计针对问题的专门知识性遗传算子；便于处理复杂的决策变量约束条件。2.2遗传算法的适应度函数下一步的有关搜索信息通过所求问题的目标函数值来得到，目标函数值最要紧的作用确实是通过它来评价个体的适应度。评价个体适应度的一般过程是：个体编码串解码个体的表现性个体的目标函数值个体的适应度最优化问题由以下两大类组成，一类为求目标函数的全局最大值，另一类为求目标函数的全局最小值。关于求最大值的问题，做下述转换： f(X)+,iff(X)+>0F(X)=0,iff(X)+<=0式中，为一个适当相对较小的数。关于求最小值问题，作如下转换：-f(X)，if>f(X)F(X)=0,if<=f(X)式中，为一个适当的相对较大的数。2.2.1乘幂尺度变换乘幂尺度变换的公式为：新的适应度是原适应度的k乘幂。所求解的问题决定幂指数k，而且在算法的执行过程中为了使尺度变换满足一定的伸缩要求需要不断对其校正。2.2.2指数尺度变换指数尺度变换的公式为：新的适应度是原有适应度的某个指数。式中系数决定了选择的强制性，越小，原有适应度较高的个体的新适应度就越与其他个体的新适应度相差较大，亦即越增加了该个体的强制性。2.3遗传算法的选择算子下面列出几种常用的选择算子操作方法。2.3.1比例选择比例选择方法的差不多思想是：适应度越大的个体被选中的概率就越大。但由于它的操作带有随机性，因此它的选择误差比较大。设群体大小为M，个体i的适应度，则个体i被选中的概率为：（i=1,2,M）由上式可见，适应度越高的个体被选中的概率越大。2.3.2最优保存策略在遗传算法的运行过程中，新的个体在对个体进行交叉、变异等遗传操作过程中产生。即使在群体的进化过程中会产生出越来越多的优良个体，但选择、交叉、变异等遗传操作的随机性可能破坏掉当前群体中适应度最好的个体。如此的现象关于求解最优解显然是不利的，因为它会降低当前群体的平均适应度，同时对遗传算法的运行效率、收敛性都有不利的阻碍。因此，适应度最好的个体应该尽可能保留到下一代群体中。为此，能够使用最优保存策略模型来进行优胜劣汰操作。最优保存策略进化模型的具体操作过程是：找出当前群体中适应度最高的个体和适应度最低的个体。若当前群体中最佳个体的适应度比总的迄今为止的最好个体适应度还要高，则以当前群体中的最佳个体作为新的迄今为止的最好个体。用迄今为止的最好个体替换掉当前群体中的最差个体。最优保存策略可作为其他选择操作的一部分。它能够保证到目前为止所得到的最优个体可不能被遗传运算所破坏，它是遗传算法操作的一个重要保证条件。2.3.3确定式采样选择确定式采样选择方法的差不多思想是按照一种确定的方式来进行操作。其具体差不多过程是：(1)计算群体中各个个体在下一代群体中的期望生存数目：（i=1,2,...,M）(2)用的整数部分确定各个对应个体在下一代群体中的生存数目。其中表示取不大于x的最大的整数。由该步共可确定出下一代群体中的个个体。(3)按照的小数部分对个体进行降序排序，顺序取前M-个个体加入到下一代群体中。至此可完全确定出下一代群体中的M个个体。这种选择操作方式可保证适应度较大的一些个体一定能够被保留在下一代群体中，同时操作也比较简单。2.4交叉算子单点交叉算子是最常用的交叉算子。但单点交叉操作又有一定的局限性。下面介绍几种适合于二进制编码个体或浮点数编码个体的交叉算子。2.4.1单点交叉单点交叉是指在个体编码串中随机设置一个交叉点，然后在该点相互交换两个配对个体的部分染色体。单点交叉的重要特点是：若邻接基因座之间的关系能提供较好的个体性状和较高的个体适应度的话，则这种单点交叉操作破坏这种个体性状和降低个体适应度的可能是最小。2.4.2算数交叉算数交叉是指对两个浮点数编码所组成的个体进行线性组合而产生出两个新的个体。假设在两个个体、之间进行算数交叉，则交叉运算所产生的两个个体是:式中，为一参数，它能够是一个常数，现在所进行的交叉运算称为均匀算数交叉；他能够是一个进化代数所决定的变量，现在所进行的交叉运算称为非对称均匀算术交叉。2.5变异算子最简单的变异算子是差不多位变异算子。但它并不能满足所有问题的求解要求，需要开发出不的算子以满足需求。下面列出一些比较常用的变异算子。2.5.1差不多位变异差不多位变异操作是指对个体编码串中某一位或某几位基因座上的基因值做变异运算这些位置以变异概率随机指定的。在差不多位变异操作中只有编码串的个不几个基因座上的基因值被改变，同时变异发生的概率也比较小，因此其发挥的作用比较慢，作用的效果也不明显。2.5.2均匀变异均匀变异操作是指分不符合某一范围均匀分布的随机数，以某一较小的概率来替换个体编码串中各个基因座上的原有基因值。均匀变异的具体操作过程是：依次指定个体编码串中的每个基因座为变异点。对每一个变异点，以变异概率从对应基因的取值范围内取一随机数来替代原有基因值。假设有一个体为，若为变异点，其取值范围为，在该点对个体X进行均匀变异操作后，可得到一个新的个体，其中变异点的新基因值是：式中，r为[0,1]范围内符合均匀概率分布的一个随机数。均匀分布操作特不适合应用于遗传算法的初期运行时期，它使得搜索点能够在整个搜索空间内自由移动，从而能够增加群体的多样性，使得算法处理更多的模式。第三章投资组合3.1投资组合理论的提出证券投资的目的是为了取得收益，但同时投资者也不得不承担风险。由于一般的情况是预期收益越高的证券风险越大。那么，能否找到适当的方法去幸免或降低投资中的风险呢?回答是确信的，这确实是采取分散投资也确实是组合投资的方式。即俗话讲的：“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”。将投资对象分散到什么程度，如何进行合理搭配，才能达到高收益——低风险的最佳配合，从而使投资者的效用最大化，这正是组合投资理论首先要回答的问题。组合投资理论的起源。可追溯到1952年，美国经济学家马柯维茨在《金融杂志》上发表了一篇论文《资产组合的选择》。在这篇论文中，他利用一套系统分析的方法展示了如何采纳组合投资的方式制造投资的新领域，使在一定的风险水平下，取得最大可能的预期收益。马柯维茨分不用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的预期收益水平和风险，建立均值方差模型来阐述假如全盘考虑上述两个问题。1959年他又出版了同名专著，详细论述了“资产组合”的差不多原理，从而奠定了现代组合投资理论的基础。投资组合理论中马科维兹的均值--方差模型为人们提供了证券投资决策的理论基础。然而这种方法所面临的最大问题是其计算量太大。3.2证券组合投资理论马柯维茨资产组合理论认为，若在具有相同回报率的两个证券之间进行选择的话，任何投资者都会选择风险小的。这同时也表明投资者若要追求高回报必定要承担高风险。同样，出于避风险的缘故，投资者通常持有多样化投资组合。马柯维茨从对回报和风险的定量动身，建立了一个投资组合的分析模型，其要点为：（1）．投资组合的两个相关特征是期望回报率及其方差。（2）．投资将选择在给定风险水平下期望回报率最大的投资组合，或在给定期望回报率水平下风险最低的投资组合。（3）．对每种证券的期望回报率、方差和与其他证券的协方差进行可能和选择，并进行数学规划(MathematicalProgramming)，以确定各证券在投资者资金中的比重。马柯维茨的证券组合理论作为一种投资方法，归纳起来共有三个步骤：一是想够买最佳证券组合的投资者先要确定一系列的证券作为考虑对象；二是对这些证券的前景进行分析，即进行差不多分析和技术分析，对所考虑的所有证券的收益率、方差和协方差做出可能；三是要找出投资者的最佳证券组合。3.3马克威茨的均值—方差模型3.3.1单个资产的收益、风险和资产间的相互关系1、预期收益预期收益率是各种可能的收益率按其发生的概率进行加权平均而得到的收益率。2、风险及其度量（1）定义：风险指收益（或价格）的不确定性，也确实是收益（或价格）对其期望值（或均值）的偏离。（2）度量：一般用收益率的方差或标准差来表示。方差：标准差：3、资产之间的相互关系——协方差和相关系数（1）协方差：协方差测度的是两个风险资产收益的相互阻碍的方向与程度。正的协方差意味着两个资产的收益同向变动；而负的协方差则表明它们朝相反的方向变动。（2）协方差的可能：（3）相关系数：完全正相关；完全负相关；不相关；不完全相关3.3.2资产组合的收益和风险设投资者选择了n种证券作为投资对象,第i种证券收益率为,为第i种证券的预期收益率，为投资者投向第i种证券的投资比例系数,为投资组合的收益率，为投资组合收益率的期望值，投资组合收益率的方差，则有非系统风险系统风险3.4现代投资理论的组成和进展APT模型、行为金融理论、资本资产定价模型、投资组合理论以及有效市场理论等部分共同构成了现代投资组合理论的框架。这些理论及模型的出现改变了过去要紧依靠差不多分析的传统投资治理实践，使现代投资治理日益朝着系统化、组合化、科学化的方向进展。1952年3月，美国经济学者哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》，作为现代证券组合治理理论的开端。马克威茨通过均值方差模型对风险和收益进行了量化，提出了确定最佳资产组合的差不多模型。因为那个模型要求计算所有资产的协方差矩阵，因此其在实践中的应用具有专门大的局限性。1963年，威廉·夏普的研究极大地推动了投资组合理论的实际应用，其基于对协方差矩阵加以简化可能的夏普单因素模型。上个世纪60年代，夏普、林特和莫森分不在1964、1965和1966年提出资本资产定价模型。该模型不仅提供了评价收益-风险相互转换特征的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基础。1976年，针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。3.5投资组合的应用投资组合理论为投资组合的分析和有效投资组合的构建做出了重要贡献，其对现代投资治理实践的阻碍要紧表现在以下4个方面：1．马考威茨首次对风险和收益这两个投资治理中的基础性概念进行了准确的定义，从此，同时考虑风险和收益就作为描述合理投资目标缺一不可的两个要件(参数)。在马考威茨之前，投资顾问和基金经理尽管也会顾及风险因素，但由于不能对风险加以有效的衡量，也就只能将注意力放在投资的收益方面。马考威茨用投资回报的期望值(均值)表示投资收益(率)，用方差(或标准差)表示收益的风险，解决了对资产的风险衡量问题，并认为典型的投资者是风险回避者，他们在追求高预期收益的同时会尽量回避风险。据此马考威茨提供了以均值一方差分析为基础的最大化效用的一整套组合投资理论。2．投资组合理论关于分散投资的合理性的阐述为基金治理业的存在提供了重要的理论依据。在马考威茨之前，尽管人们专门早就对分散投资能够降低风险有一定的认识，但从未在理论上形成系统化的认识。投资组合的方差公式讲明投资组合的方差并不是组合中各个证券方差的简单线性组合，而是在专门大程度上取决于证券之间的相关关系。单个证券本身的收益和标准差指标对投资者可能并不具有吸引力，但假如它与投资组合中的证券相关性小甚至是负相关，它就会被纳入组合。当组合中的证券数量较多时，投资组合的方差的大小在专门大程度上更多地取决于证券之间的协方差，单个证券的方差则会居于次要地位。因此投资组合的方差公式对分散投资的合理性不但提供了理论上的解释，而且提供了有效分散投资的实际指引。3．马考威茨提出的“有效投资组合”的概念，使基金经理从过去一直关注于对单个证券的分析转向了对构建有效投资组合的重视。自50年代初，马考威茨发表其闻名的论文以来，投资治理已从过去专注于选股转为对分散投资和组合中资产之间的相互关系上来。事实上投资组合理论已将投资治理的概念扩展为组合治理。从而也就使投资治理的实践发生了革命性的变化。马考威茨的投资组合理论已被广泛应用到了投资组合中各要紧资产类型的最优配置的活动中，并被实践证明是行之有效的。第四章基于改进遗传算法的有交易成本的组合投资问题Markowitz认为应该用证券的期望收益率来表示证券收益，用证券的收益率的方差(标准差)表示风险这确实是组合证券投资模型的核心。Markowitz提出的预期效用极大化中的资产选择的原则是：当收益率条件固定时，追求最小的风险；在风险条件固定时，追求最大收益率。假设市场上有N种风险资产，QUOTE
表示第i种资产的收益率，QUOTE
表示在第i种资产上的投资比例；两资产收益率的协方差记为以，i,j=1，…，N。QUOTE
代表资产组合的期望收益率。Markowitz的组合投资模型QUOTE
为QUOTE
=1注：必须在一定的假设下Markowitz模型才得以成立；Markowitz假设：1)存在无风险利率，并对每个投资者来讲无风险利率差不多上相同的。2)投资者对股票的种类没有区分。3)投资者在证券交易过程中没有交易成本。4)所有的投资者差不多上理性的投资者，他们服从不满足假设和回避风险假设，并以期望收益和方差(或标准差)来评价证券及其组合。5)股票份额能够无限分割，投资者能够购买1股甚至0．5股。在Markowitz看来整个投资过程的重心应该放在风险上，因此不能把所有的资金都压在一种股票上。中国市场还处在比较年轻的时期，它还有许多不完善地点，同时为了操纵风险还有许多限制性的规定，上述的一些假设必将阻碍那个领域中某些研究的可操作性。因此在本章我们将分析其中的一些假设并给出相应的解决方法。4.1模型的建立与分析4.1.1股票交易额不可分割及无风险投资中国股市现在股票交易最低额为一手（100股），需要的最低金额和每笔交易必须是一手的整数倍。在这种情况下，模型的参数表示每个证券的投资比例不是太方便，在那个地点我们定义的参数变量i的证券投资专门多，专门显然他们是整数且是非负整数。除了投资者，总投资，由于投资符合整只手，通常有剩余资金的出现，将导致闲置资金投入的资金，假如这些不属于，但假如你认为无风险的投资，剩余资金存入银行或购买无风险证券也产生收入。考虑上述缘故模型转化为如下形式(QUOTE
):QUOTE
为第i种证券的市场价格;第i种证券的收益率;投资手数;第i，j种证券收益率的协方差;既定收益;无风险投资资金;M投资总额;其中相应与模型(P1)，QUOTE
的条件发生了变化，等式约束表示在确定了总投资额M的情况下，当对第i种风险证券投资QUOTE
手后，剩余资金QUOTE
用于无风险投资；由于QUOTE
的意义发生了变化，不等式约束表示总收益要足够大；目标函数表示用组合收益的方差作为风险度量。4.1.2交易成本在投资活动中，每一次交易的发生，投资人都要按一定的比例向交易所和证券经纪人缴纳相应的费用，如手续费、税款和佣金等．尽管交易成本比例专门小也不能频繁交易．简单起见，在那个地点我们只考虑离散形式组合投资模型．在证券市场，假定每一笔交易不管买入或卖出都要付出交易额QUOTE
倍的交易成本．设Pio是第i种证券在0时刻的价格，QUOTE
是第i种证券在1时刻的价格．假设在0时刻买入一单位证券i，需资金QUOTE
；在1时刻卖出这一单位证券时可获资金QUOTE
，则在这段时刻内，考虑交易成本的投资收益为QUOTE
若记QUOTE
为第i种证券依照市场价格计算的收益率，则第i种资产的实际收益QUOTE
为若选定N种证券进行投资，为在第i种资产上的投资手数(每手=100股)，pi为第i种资产的价格，则实际组合收益：实际组合风险为现在模型转化为P3模型P3与模型P2的不同之处在于考虑交易成本后，总的收益与风险都发生了变化。4.1.3风险偏好依照经济学的观点，每个理性投资者的投资要求是风险尽量小，面收益尽量大，即他们服从不满足假设和回避风险假设．假如我们同时考虑组合的收益和风险，采纳多目标单目标化的方法，目标函数能够变为：其中表示投资组合的收益，表示投资组合的风险，是风险厌恶系数，表示投资者对风险的态度．显然，越小，表示投资者越不能同意风险．当=0表示投资者完全规避风险，风险是他在投资过程中考虑的唯一因素．相反，当=1是表示投资者追求高收益，而完全忽视投资风险．那么考虑含有风险偏好的模型为P4：i=1,…,N模型P3与模型P4应该具有相同的有效边界和最优解。4.1.4分类约束传统的组合投资模型对证券组合的种类没有作过多的分析。一般证券收益较高时其风险也较大，风险较小时其相应收益率也较小。事实上，就证券组合投资而言，大概有三种类型的组合：高风险组合，即选择销路好，预期盈利超过公司平均收益的股票，如电力、制药、高科技公司等。中等风险组合，即选择一些债券和公用事业和成熟工业的股票，如汽车、化工、钢铁公司等。低风险组合，即选择政府债券和一些高质量的股票，收益不高但可靠。按照分散化原则，在证券的选择上，既要考虑风险较小收益率较低的证券，如工艺成熟但以后进展机会相对较少的公司的股票，又要考虑风险较大收益率较高的证券，如迅速堀起的具有强大进展潜力的公司发行的股票。我们按照分散化原则选择证券种类，确定不同类型证券的投资比例，能够合理构成证券组合达到适当增加收益和降低风险的目的，因此采纳分类约束有专门强的实际意义。令{Tk，k=1．…，m)为m种资产类型集合，它们彼此独立，即，那么关于属于第k种类型的资产，它们的投资比例应满足下式4.1.5模型描述通过上面的特征，可建立含有交易成本和分类约束并考虑投资人偏好的混合整数非线性规划模型P如下：k=1,…,mi=1,…,N其中，依照实际问题或者经验，我们能够给出投资总额M，风险厌恶系数，以及交易成本系数，我们还明白各种股票的价格张Pi，无风险证券的收益率r0，各种股票的收益率ri和协方差也能够通过样本均值和样本协方差可能得到。4.2模型的遗传算法求解下面采纳遗传上算法对模型进行求解，遗传算法第一次是出Holland在他的博士论文中提出，遗传算法是一种从适者生存概念和自然中抽象出来的基因算法与传统的优化技术比较，遗传算法的特点在于[4]：1）遗传算法的工作对象不是决策变量本身，而是将有关变量进编码所得的码，即位串：2）传统的寻优技术差不多上从一个初如点动身，再逐步迭代以求最优解。遗传算法则不然，它是从点的一个群体动身通过代代相传求得中意解；3）遗传算法只充分利用适应度函数（目标函数）的信息而完全不依靠其它补充知识；4）遗传算法的操作规则是概率性而确定性的。自从Holland提出遗传算法以后，出于遗传算法不同于传统的最优化方法，有其灵活性和易变性，在差不多的遗传算法中，变异、选择、交叉、平行计算被改进进展来加速方法的收敛和方法的有效性，遗传操作要紧有三种：1）选择算子（Selection/reprodution）:选择算子从群体中按某一概率成对选择个体，某个体被选择的概率与期适应度值成正比，最通常的实现方法是轮盘算法（roulettewheel）模型。2）交叉算子（CRossover）：交叉算子将被选中的两个个体的基因链按概率是一个系统参数。3）按照个体适应值的大小，从种群中选出适应值较大的一些个体构成交配池；4）由交叉和变异这两个遗传算子对交配池中的个体进行操作，并形成新一代的种群；5）反复执行步聚2~4，直至满足收敛为止。4.2.1编码标准遗传算法是以二进制字符串作为染色体的编码方式，在实际工程应用中，当设计变量较多且要求精度较高时，会导致染色体位数过长，占用更多的内存，且运算速度明显下降，因此那个地点采纳改进的遗传算法编码方法。由于证券组合问题的可行解是实向量，记,那个地点即为各种证券的投资比例，因此可直接将那个向量看作长度为的染色体。4.2.2动态惩处函数惩处函数通过对不可行解施加某种惩处，通过不断迭代后，使解群逐渐收敛于可行的极值点．目前该方法是遗传算法中求解约束优化问题的一种常用方法．惩处函数法的关键问题是对不可行解的惩处函数的选取假如取得过大，有可能使算法过早收敛于非极值点；而取得过小，叉可能使算法的收敛性能专门差．采纳动态惩处函数法，即随着逐步收敛到最优解，惩处因子是不断变化的．它的实质是：4.2.3选择选择方法采纳比例选择和最优性选择相结合，比例选择依照每个适应值占总适应值的比例来产生新一代，最优性方法为下一代保持最优染色体，能克服采样带来的随机误差，比例选择过程描述如下：第1步：对每个染色体计算累积概率；第2步：在[0，1]区间内产生随机数;第3步：假如,选择第1个染色体；否则选择满足的第个染色体;第4步重复第2步至第3步以获得个下一代的染色体。关于每一轮选择过程中应用最优性选择算法的步骤如下：第1步：找出当前群体中适应度最高的个体和适应度最低的个体。第2步：若当前群体中最佳个体的适应度比总的迄今为止的最好个体适应度还要高，则以当前群体中的最佳个体作为新的迄今为止的最好个体。第3步：用迄今为止的最好个体替换掉当前群体中的最差个体。4.2.4交叉在[0，1]区间内产生随机数，假如，其中为交叉概率，则选择当前的染色体作为父代进行杂交，重复该过程次，关于每个染色体对杂交操作将产生下面2个后代；那个地点，其中是[0，1]区间内 取到的随机数。4.2.5变异采纳均匀变异，变异概率定义了执行变异操作的期望染色体数，对每个染色体在[0，1]区间内产生一个随机数，假如，则选择染色体进行变异，关于选出的后代，再随机选择出其无素来进行变异，产生的后代为其中是在。4.2.6改进遗传算法的过程Stepl输入参数H、最大迭代次数G；Step2从搜索空间中随机产生H个染色体，并对其进行可行化；Step3通过选择、交叉、变异，更新染色体，并记录最好的染色体；Step4计算每个染色体的适应值，采纳比例选择策略来选择下一代染色体；Step5重复step3和step4，共G次；Step6记录最好的染色体，作为问题的最优解。第五章示例分析5.1数据示例选取了上证中有代表性的6种股票进行证券组合投资分析，他们的股票代码分不为600104，600001，600009，600005，600057．并在2011年选取16个周的周收益率作为它们的实际收益率，具体数据见表(一)．表(一)续表(一)每股价格以2011年11月3日收盘价为准，表(二)依照上述数据计算出每只股票的期望收益率和标准差和它们之间的协方差，下表列出这六只股票的平均收益率R和风险相关阵，见表(三)。表(三)为了对前一章提出的模型进行分析，我们把参数设置如下：总投资额：300,000元；交易成本系数：0.0075；风险偏好系数：0.5；无风险投资收益率：0.005；分类约束为：其中,,i=1,…,6分不表示在每只股票上的投资手数，为用于无风险投资资金。5.2．差不多遗传算法首先采纳差不多遗传算法求解．设定运行参数如下：群体大小：M=100;交叉概率：Pc=0.9;变异概率：；迭代次数：K=110;随机产生初始解；如下图，在解的进化过程中，群体中个体适应度的最大值和平均值尽管又上下波动的情况，但总的来讲却是呈现一种上升的趋势．利用差不多遗传算法求得的解为：49，208，10，40，0，3，30562。明显它是不可行解。通过分析认为出现这种情况要紧是因为算法的搜索能力没能达到要求和惩处因子的选择不是专门合适，但关于这种问题确定惩处函数特不困难，因为这时既要考虑如何度量解对约束条件不满足的程度，又要考虑遗传算法在计算效率上的要求。假如惩处函数的强度不够，运行过程中部分个体有可能破坏约束条件，因此无法确保遗传运算所得到的个体一定是一个可行解；但假如惩处函数的强度过大，又会导致个体的适应度无太大差距。削弱了个体之间的竞争力，从而会对遗传算法的运行效率产生消极的阻碍。例如当我们把惩处因子的强度加强时将会造成如下图所式的情形。尽管现在的最优解为可行解：54，146，6，58，1，5,48018．但由于问题的约束条件比较严格，只依靠交叉算子和变异算子在搜索空间中生成新个体的能力就比较差，即使能够生成一些新的个体，群体的多样性也会有较大程度的降低，从而对遗传算法的运行带来不利的阻碍．5.3改进遗传算法分析群体大小：M=100;迭代次数：K=110;随机产生初始解；Pc，Pm均采纳自适应算法确定；5.3.1初始化种群体由于二进编码不适合处理大规模的多变量优化问题，运算更快，精度更高，十进制编码更靠近问题空间，更容易设计加入问题领域知识的遗传算子[10]，这一特点关于处理投资组合模型这类约束优化问题是特不重要的。每只股票在投资级组合的权重构成的权重向量可视为种群中的一个个体，本文采纳十进制编码。产生规模的具有均匀分布的初始种群，每个个体表示为染色体的基因编码，，通过以下归一化[11]处理，，，得到初始解。5.3.2适应度计算在本模型中，追求的最