第六章反比例函数讲义浙教版八年级下册数学期末复习

八年级（下）数学期末复习第六章反比例函数一、反比例函数1．一般地，形如(为常数，)的函数叫做反比例函数（inverseproportionalfunction）．其中是自变量，是函数．2．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．二、反比例函数图像的增减性【知识梳理】1．反比例函数(为常数，)的性质：（1）当时，在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小；（2）当时，每每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大．2．三、反比例函数图像所过的象限【知识梳理】1．反比例函数(为常数，)的性质（所过象限）：（1）①当时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限；②当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限．（2）反比例函数的图象的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．四、反比例函数的图象【知识梳理】1．反比例函数(为常数，)的图象叫做双曲线（hyperbola），它有两支．【说明】（1）双曲线的每支都是向两方无限伸展的；（2）双曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．其对称中心为坐标原点；其对称轴为直线、直线．【例题精讲】1．已知图中的曲线函数（m为常数）图象的一支．（1）求常数m的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式．2．如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（2，m）、B（﹣1，﹣4）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b＞．3．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求方程kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．4．反比例函数y=﹣的图象位于（）【A】第一，二象限 【B】第一，三象限【C】第二，三象限 【D】第二，四象限5．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象特经过点（）【A】（2，﹣3）【B】（﹣3，﹣3） 【C】（2，3） 【D】（﹣4，6）6．如图，反比例函数的图象经过点P，则k=．7．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）【A】﹣6 【B】﹣3 【C】3 【D】6网版权所有8．如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）在反比例函数的图象上，那么y1与y2间的关系是（）【A】y2＜y1＜0 【B】y1＜y2＜0 【C】y2＞y1＞0 【D】y1＞y2＞09．已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）【A】 【B】 【C】 【D】权所有10．下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y=3x；（2）y=﹣；（3）；（4）﹣xy=3；（5）；（6）；（7）y=2x﹣2；（8）．【A】（2）（4）【B】（2）（3）（5）（8）【C】（2）（7）（8）【D】（1）（3）（4）（6）所有11．如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们另一个交点坐标是（）【A】（﹣3，4） 【B】（﹣4，﹣3） 【C】（﹣3，﹣4） 【D】（4，3）12．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（）【A】图象必经过点（1，2）【B】每一象限内y随x的增大而减少【C】图象在第一、三象限【D】若x＞1，则y＜213．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的不等式kx+b＞的解为（）【A】x＞1 【B】﹣2＜x＜1 【C】﹣2＜x＜0或x＞1 【D】x＜﹣214．如图，过原点的一条直线与反比例函数（k≠0）的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为（3，﹣5），则B点的坐标为（）【A】（3，﹣5）【B】（﹣5，3） 【C】（﹣3，+5） 【D】（+3，﹣5）15．在反比例函数（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（）【A】正数 【B】负数 【C】非正数 【D】非负数16．函数与y=mx﹣m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【A】 【B】 【C】 【D】17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）【A】x1＜x2＜x3 【B】x1＜x3＜x2 【C】x2＜x1＜x3 【D】x2＜x3＜x1网版权所有18．如图，直线y=2x与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）【A】（1，0）【B】（1，0）或（﹣1，0）【C】（2，0）或（0，﹣2【D】（﹣2，1）或（2，﹣1）19．已知双曲线（k≠0）上有一点P（m，n），m，n是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为，则双曲线的表达式为（）【A】【B】【C】【D】20．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的取值范围为．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A是反比例函数的图象（k≠0）的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△AOB的面积为3，则k的值是（）【A】3 【B】4 【C】6 【D】922．已知一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数的函数值随x的增大而．23．已知函数y=﹣kx（k≠0）与的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为．24．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An﹣1An都在x轴上．（1）求A1、A2点的坐标；（2）猜想An点的坐标．（直接写出结果即可）25．如图，点A（3，n）在双曲线上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（）【A】8 【B】6 【C】1+2 【D】426．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、第三象限，且OA=OB=AC=BD，试求：（1）一次函数的解析式；（2）反比例函数的解析式．27．如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？28．已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=﹣6时反比例函数y的值；②当时，求此时一次函数y的取值范围．29．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一各边所在直线均平行于坐标轴的矩形ABCD，且点A在反比例函数L1：（x＞0）的图象上，点C在反比例函数L2：（x＞0）的图象上（矩形ABCD夹在L1与L2之间）．（1）若点A坐标为（1，1）时，则L1的解析式为．（2）在（1）的条件下，若矩形ABCD是边长为1的正方形，求L2的解析式．（3）若k1=1，k2=6，且矩形ABCD的相邻两边分别为1和2，求符合条件的顶点C的坐标．八年级（下）数学期末复习第六章反比例函数答案一、反比例函数1．一般地，形如(为常数，)的函数叫做反比例函数（inverseproportionalfunction）．其中是自变量，是函数．2．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．二、反比例函数图像的增减性【知识梳理】1．反比例函数(为常数，)的性质：（1）当时，在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小；（2）当时，每每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大．2．三、反比例函数图像所过的象限【知识梳理】1．反比例函数(为常数，)的性质（所过象限）：（1）①当时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限；②当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限．（2）反比例函数的图象的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．四、反比例函数的图象【知识梳理】1．反比例函数(为常数，)的图象叫做双曲线（hyperbola），它有两支．【说明】（1）双曲线的每支都是向两方无限伸展的；（2）双曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．其对称中心为坐标原点；其对称轴为直线、直线．1．已知图中的曲线函数（m为常数）图象的一支．（1）求常数m的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式．【答案】（1）m＞5（2）【解答】解：（1）根据题意得：m﹣5＞0，解得：m＞5；（2）根据题意得：n=4，把（2，4）代入函数，得到：解得：m﹣5=8．则反比例函数的解析式是．2．如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（2，m）、B（﹣1，﹣4）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b＞．【答案】（1）y=2x﹣2（2）3（3）﹣1＜x＜0或x＞2网版权所有【解答】解：（1）B（﹣1，﹣4）在反比例函数y=的图象上，∴k=（﹣1）×（﹣4）=4，∴反比例函数的表达式为y=，∵点A（2，m）也在反比例函数y=的图象上，∴m==2，即A（2，2），把点A（2，2），点B（﹣1，﹣4）代入一次函数y=ax+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y=2x﹣2；故反比例函数解析式为y=，一次函数得到解析式为y=2x﹣2；（2）在y=2x﹣2中，当x=0时，得y=﹣2，∴直线y=2x﹣2与y轴的交点为C（0，﹣2），∴S△AOB=×2×2+×2×1=3；（3）当﹣1＜x＜0或x＞2时，ax+b＞．3．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求方程kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．【答案】（1）y=﹣x﹣2（2）6（3）﹣4＜x＜0或x＞2网版权所有【解答】解：∵B（2，﹣4）在反比例函数的图象上，∴m=﹣8，∴反比例函数解析式为：，则n=2，由题意得，，解得，，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）当﹣x﹣2=0时，x=﹣2，∴点C的坐标为：（﹣2，0），△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积=×2×2+×2×4=6；（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，kx+b＜，∴kx+b﹣＜0的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．4．反比例函数y=﹣的图象位于（）【A】第一，二象限 【B】第一，三象限【C】第二，三象限 【D】第二，四象限【答案】D版权所有【解答】解：依题意有k=﹣4＜0，图象位于第二、四象限．5．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象特经过点（）【A】（2，﹣3）【B】（﹣3，﹣3） 【C】（2，3） 【D】（﹣4，6）【答案】A优网版权所有【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，而2×（﹣3）=﹣6，（﹣3）×（﹣3）=9，2×3=6，﹣4×6=﹣24，∴点（2，﹣3）在反比例函数的图象上．6．如图，反比例函数的图象经过点P，则k=．【答案】﹣6网版权所有【解答】解：根据图象可得P（3，﹣2），把P（3，﹣2）代入反比例函数中得：k=xy=﹣6，7．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）【A】﹣6 【B】﹣3 【C】3 【D】6网版权所有【答案】D【解答】解：∵A与C关于OB对称，∴A的坐标是（3，2）．把（3，2）代入得：，解得：k=6．8．如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）在反比例函数的图象上，那么y1与y2间的关系是（）【A】y2＜y1＜0 【B】y1＜y2＜0 【C】y2＞y1＞0 【D】y1＞y2＞0【答案】D版权所有【解答】解：把点P1（1，y1）代入反比例函数得，y1=1；点P2（2，y2）代入反比例函数得，y2=；∵2＞1＞0，∴y1＞y2＞0．9．已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）【A】 【B】 【C】 【D】【答案】B优网版权所有【解答】解：由矩形的面积，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．10．下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y=3x；（2）y=﹣；（3）；（4）﹣xy=3；（5）；（6）；（7）y=2x﹣2；（8）．【A】（2）（4）【B】（2）（3）（5）（8） 【C】（2）（7）（8） 【D】（1）（3）（4）（6）所有【答案】A【解答】解：（1）y=3x，是正比例函数，故此选项错误；（2）y=﹣，是反比例函数，故此选项正确；（3）是正比例函数，故此选项错误；（4）﹣xy=3是反比例函数，故此选项正确；（5），y是x+1的反比例函数，故此选项错误；（6），y是x2的反比例函数，故此选项错误；（7）y=2x﹣2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（8），k≠0时，y是x的反比例函数，故此选项错误．11．如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）【A】（﹣3，4） 【B】（﹣4，﹣3） 【C】（﹣3，﹣4） 【D】（4，3）【答案】C优网版权所有【解答】解：因为直线y=mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故选：C．12．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（）【A】图象必经过点（1，2）【B】每一象限内y随x的增大而减少【C】图象在第一、三象限【D】若x＞1，则y＜2【答案】D【解答】解：A、图象必经过点（1，2），说法正确；B、每一象限内y随x的增大而减少，说法正确；C、图象在第一、三象限，说法正确；D、若x＞1，则y＜2，说法错误，应为0＜y＜2．13．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的不等式kx+b＞的解为（）【A】x＞1 【B】﹣2＜x＜1 【C】﹣2＜x＜0或x＞1 【D】x＜﹣2【答案】C优网版权所有【解答】观察图象，两函数图象的交点坐标为（1，2），（﹣2，﹣1），kx+b＞的解就是一次函数y=kx+b图象在反比例函数的图象的上方的时候x的了值范围，由图象可得：﹣2＜x＜0或x＞1，14．如图，过原点的一条直线与反比例函数（k≠0）的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为（3，﹣5），则B点的坐标为（）【A】（3，﹣5）【B】（﹣5，3） 【C】（﹣3，+5） 【D】（+3，﹣5）【答案】C有【解答】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是（﹣3，+5）．15．在反比例函数（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（）【A】正数 【B】负数 【C】非正数 【D】非负数【答案】A权所有【解答】解：因为k＜0．所以图象分别位于第二、四象限，又因为在每个象限内y随x的增大而增大，x1＞x2＞0，故y1＞y2，所以y1﹣y2的值为正数．16．函数与y=mx﹣m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【A】 【B】 【C】 【D】【答案】C网版权所有【解答】解：A、由双曲线在一、三象限，得m＞0．由直线经过一、二、四象限得m＜0．错误；B、由双曲线在二、四象限，得m＜0．由直线经过一、二、三象限得m＞0．错误；C、正确；D、由双曲线在二、四象限，得m＜0．由直线经过二、三、四象限得m＞0．错误．17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）【A】x1＜x2＜x3 【B】x1＜x3＜x2 【C】x2＜x1＜x3 【D】x2＜x3＜x1【答案】D优网版权所有【解答】解：∵反比例函数中k=﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，∴x2＜x3＜x1．18．如图，直线y=2x与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）【A】（1，0） 【B】（1，0）或（﹣1，0） 【C】（2，0）或（0，﹣2） 【D】（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D优网版权所有【解答】解：联立直线与反比例解析式得：，消去y得到：x2=1，解得：x=1或﹣1，∴y=2或﹣2，∴A（1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．19．已知双曲线（k≠0）上有一点P（m，n），m，n是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为，则双曲线的表达式为（）【A】【B】【C】【D】【答案】B优网版权所有【解答】解：∵m，n是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，∴m+n=3，mn=k，∵P点到原点的距离为，∴m2+n2=13，即（m+n）2﹣2mn=13，∴9﹣2k=13，解得，k=﹣2，∴双曲线的表达式为，20．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的取值范围为．【答案】m＞版权所有【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴1﹣3m＜0，解得m＞．故答案为：m＞．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A是反比例函数的图象（k≠0）的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△AOB的面积为3，则k的值是（）【A】3 【B】4 【C】6 【D】9【答案】C优网版权所有【解答】解：根据题意可知：S△ABO=|k|=3，由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=6．22．已知一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数的函数值随x的增大而．【答案】减小权所有【解答】解：∵一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小．23．已知函数y=﹣kx（k≠0）与的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为．【答案】2版权所有【解答】解：∵函数y=﹣kx（k≠0）与的图象交于A、B两点，∴点A与点B关于原点中心对称，∴S△BOC=S△AOC=×|﹣4|=2．故答案为：2．24．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An﹣1An都在x轴上．（1）求A1、A2点的坐标；（2）猜想An点的坐标．（直接写出结果即可）【答案】（1）（4，0）（2）（4，0）网版权所有【解答】解：（1）可设点P1（x，y），根据等腰直角三角形的性质可得：x=y，又∵，则x2=4，∴x=±2（负值舍去），再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0），设点P2的坐标是（4+y，y），又∵，则y（4+y）=4，即y2+4y﹣4=0解得，y1=﹣2+2，y2=﹣2﹣2，∵y＞0，∴y=2﹣2，再根据等腰三角形的三线合一，得A2的坐标是（4，0）；（2）可以再进一步求得点A3的坐标是（4，0），推而广之，则An点的坐标是（4，0）．25．如图，点A（3，n）在双曲线上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（）【A】8 【B】6 【C】1+2 【D】4【答案】D版权所有【解答】解：∵点A（3，n）在双曲线上，∴n=1，∴A（3，1），∴OC=3，AC=1．∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4．故选：D．26．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、第三象限，且OA=OB=AC=BD，试求：（1）一次函数的解析式；（2）反比例函数的解析式．【答案】（1）y=x﹣2（2）优网版权所有【解答】解：（1）∵OA=OB，A点的坐标为（2，0）．∴点B的坐标为（0，﹣2）设过AB的解析式为：y=kx+b，则2k+b=0，b=﹣2，解得k=1，∴一次函数的解析式：y=x﹣2．（2）作CE⊥x轴于点E．易得到△CAE为等腰直角三角形．∵AC=OA=2，那么AE=2×cos45°=，那么OE=2+，那么点C坐标为（2+，）．设反比例函数的解析式为：，代入得k1=2+2，∴反比例函数的解析式：．27．如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？【答案】（1）（2）版权所有【解答】解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，∴一次函数解析式为y=x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，∴反比例解析式为；（2）∵N（3，0），∴点B横坐标为3，将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反