人教版-全等三角形讲义

#全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用二表示，读作“全等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．于”．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如AABC和^DEF全等时，点和点，点和点，点和点是对应顶点，记作AABC=ADEF。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）．①③④.①②④.②③④．①③④.①②④.②③④.如图的对应边是_的对应角是已.知如图D/则/如.图是对应边N是对应角,则其它对应边是如图__对_应_角_是_△ ^4//则另外两组对应边是另_外,两组对2题5.已知应角是3.如图的对应边是_的对应角是已.知如图D/则/如.图是对应边N是对应角,则其它对应边是如图__对_应_角_是_△ ^4//则另外两组对应边是另_外,两组对2题5.已知应角是3题4题5题三角形全等的条件一（）三角形有六个条件：三条边和三个角如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？满足一个条件：①只有一条边对应相等； ②只有一个角对应相等;结论：满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等；③一边一角对应相等结论：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？①两边一角对应相等结论：②两角一边对应相等②两角一边对应相等结论：③三边对应相等结论：④三个角对应相等结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．写为“边边边”，或简记为（ ）。例已知：如图，= .求证：△ 04例已知：如图，= .求证：△ 04例已知：如图 ，求证:例 已知：如图，点求证：△m^A在同一条直线上例已知例已知：如图在边上求证：NN课堂练习:如图，O,如图,是上两点,55,N0N则N的度数是OO则下面的结论中不正确的是,.欲证N N,可先运用等式的性质证明，再用”证明得到结论.如如图_L求证：△已知：如图，= ,C交于。求证：△.如图，已知：.如图，已知：为上一点，求证：N。求证：〃已知：如图，、、F在一条直线上，课后练习：.人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：N是一个任意角，在A上分别取=移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与、重合，过角尺顶点的射线便是N的平分线。你知道这样做的理由吗？已知：如图：= = ,求证：△ 04如图，= =求证：N=2已知, = ,问E吗?如图，, ,求证△ 0^能力提高:,上的一点0/0

,N如图:如图能力提高:,上的一点0/0

,N如图:如图三角形全等的条件二定义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．写成“边角边”或简记为（ ）两边一角对应相等结论：例1.如图，结论：例1.如图，例如图，=,C,N=NA求证：△例已知如图是上的中线且.求证〃例如图，已知，等腰△中，N，等腰△中，N=连结求证：（1 =（） ±F例如图，在△ 中，= =N=N,交于点求证：△ （^^e =课堂练习：在4'中N'N'要使△N=A(C'==N(C'=需'满足,条件AN(在4'中N'N'要使△N=A(C'==N(C'=需'满足,条件AN(=N(N=C如如图,△的（两边上截取

理由是（上截取连结交于点如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE,）判定ZB=/E△ABC"△DEF,还需的条件是ZB=/E以上三个均可以如图 、交于则图中相等的角共有对（除去N E）如果两个三角形全等则不正确的是（ ）它们的最小角相等它们的对应外角相等它们是直角三角形它们的最长边相等如图已知△^ADI和III/N=不正确的等式是（）I和II如图已知△^ADI和III/N=不正确的等式是（）I和II如图，已知N=N,△0AII和III

还需条件（E=।如图，△中，=平分N,试说明△ ^^如图,N=N求证：N=N如图已知 〃 求证△^A为边作两个等腰直角为边作两个等腰直角△(2求证：BD=CE.如图在△ABC中AB=AC,/BAC=40,分别以△, 使/BAD=ZCAE=90.()求/DBC的度数;如图：= =_L,D求证：()NN,()如图NC,ND求证：课后练习：卜面各条件中，能使△/ENF如图， 相交于点△AOBdDOCA B一C D如图，已知AB=AC,^^的条件的是（ ）N=B=, , .下列结论正确的是（ ）△ABOdDOC /A=/C /B=ZDA」B C A B DAD=AE,/BAC=/DAE.下列结论不正确的有（ ）./BAD=/CAE △ABD”△ACE如图所示△与4 都是等边三角形旋转过程中 与的大小关系为已知：如图 1 , 垂足分别为结论是（ ）△ 0△ NN °如果△ 和^全等，△和^全等和4不全等，△和4全等，则△定”或“一定不”）如图，已知，于，D于，已知如图，在正方形 的边边上，彳则N 的度数是若^不动将△绕点旋转则无法确定且 则不止确的NN //D Cd二。卫 A BE,则^和^ 全等，如果△和4 全等.（填“一定”或“不一, ,则N在的延长线上，=,交于，如图，△是不等边三角形， ,以，为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△全等，这样的三角形最多可以画出 个.如图，已知△的六个元素则下面甲、乙、丙三个三角形中和△全等的图形是 已.知:如图NN求证NN4已.知:如图如图，已知△的六个元素则下面甲、乙、丙三个三角形中和△全等的图形是 已.知:如图NN求证NN4已.知:如图平分N求证NE如图已知〃 .求证〃已知如图点 在同一直线上〃且求证〃已知如图是上的中线且.求证交于点已知如图是上的中线且.求证交于点如图，在AABC中，是上一点，置关系？说明你判断的理由。,垂足分别是、

、，猜想与=〃,,垂足分别是、

、，猜想与=〃,的关系？并证明你的猜想的正确性.如右图，已知E,F()试证明： =()连接已知如图，是的中点，交于点。求证：()D()已知如图 NN求证NN4能力提高：观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ）2n+2 4n+4 4n-4 4n第1个如图±第2个_L已求知:如图第3个DM，=ACDM==ha,NCk+h2NN求证,N。，则的长为.如图已知：是等边三角形，在延长线上。求证:已知：如图，E是4的高，分别在射线与上取点与Q使求证：（） =A） ±与交于点。求如图，已知△的边长为的正三角形，△与交于点。求如图，已知△的边长为的正三角形，△是顶角N的1等2腰0三角形，以如图，△ 为等边三角形，点 分别在上，且Z的度数。已知为上一点△和△是正三角形求证；求N的度数

为顶点作一个 角，角的两边分别交于，交于，连形成△的周长等于2为顶点作一个 角，角的两边分别交于，交于，连形成△的周长等于2。,求证：△已知在AABC中，/B=2/C如图，△ 是等腰直角三角形，其中 ,四边形是正方形，连接F观察图形，猜想与之间有怎样的关系，并证明你的猜想；若将正方形绕点按顺时针方向旋转，使正方形的一边落在△的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1中察猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.五边形中，,求证：平分五边形中，,求证：平分N三角形全等的条件三、四（ ）定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．等.简记为“角边角”或简记为 。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形全等，简记为“角角边”或简记为（ ）⑤两角一边对应相等⑤两角一边对应相等结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃（1）要不要4块都带去？（2）带哪一块呢？（）带块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢?例如图，NNe .求证例如图，z=，为上一点±DF,交延长线于点求证:例如图在△中，N°, 5是的中线，过点作±于，过作，交的延长线于点D(1求证：，CD若 cm,求的长。例如图：在△中，N=,，是上一点，E于，_L交的延长线于。求证： 。例如图，已知在A例如图，已知在AABC中， 是角平分线，的延长线于，求证： 。F交于，垂足为M〃交例6如如图，点的直线于直线交的延长线于.求证:例6如如图，点的直线于直线交的延长线于.求证:的平分线， 的延长线垂直于过课堂练习已知：如图 N= ° ± 则不正确的结论是如图，点 在同一条直线上，〃，〃，且，若已知：如图四边形中〃如图，^ABC如图，^ABC=/DCB,ZACB=/DCB试说明△如图，N=N,N=N求证：=如图：在^中，，和都是高，它们相交于点，且求证:8.已知:如图,四边形NEd中〃是的中点交延长线于8.已知:如图,四边形NEd中〃是的中点交延长线于求证:如图，△中，是上一点，E, ,分别交、于点、⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论.⑵若连结，则与有什么关系？并说明理由.如图，在△中，NN是4 的角平分线，N=求证课后练习：如图NNO=。求N的度数为O O如图,如图,()由//,//,,相交于点。//,可得/―/—,由〃()图中全等三角形共有对。如图在△中那么N 的大小是一已知：如图N垂足分别为、求证:如图，N=N=N，求证如图Z=Z如图，四边形的对角线相交于点，N求证：()(如图，已知点、、在一条直线上,//，试说明NZCE如图，AB1AC,BD1DC,你是通过什么办法找到的？交于点ZACB=ZDBC,图中共有几对长度相等的线段，已知如图〃N=是的中点交于。求证：也是的中点.如.图，〃 〃C求证△ ^^.已知：如图在直线上.求证:已知：在^中，为边上的中线，EFd求证:已知：如图±于，于是的中点连结并延长交于点.求证：已知：如图、、b在同一条直线上〃NN 求证：〃已.知：如图交于能力提高：1.已知:如图，DCN°四边形点.求证:的面积为则的长为（ ）已.知：如图交于能力提高：1.已知:如图，DCN°四边形点.求证:的面积为则的长为（ ）三角形中，，在上取一点，在的延长线上取一点，使,连结交于G求证:已知：如图，在△ 中，是已知：如图，在△ 中，是N 的角平分线，且N N°。求证：=F分别是中上的点，在等边三角形 中，交于点，_L于在等边三角形 中，交于点，_L于.求证:如图，点为正△的边所在直线上的任意一点点除外）作/DMN=60°,射线与N 外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系

三角形全等的条件五定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形全等.简记为H定理.（或斜边直角边）.例如图，有一个直角△ ,N的射线O=9，0

上运动，,一条线段时才能使△两点分别在与小全等例如图，有一个直角△ ,N的射线O=9，0

上运动，,一条线段时才能使△两点分别在与小全等.已知：如图四点在同一直线上N1如图，1于1于，且求证:例5.证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。例已知：如图，为4的高，为上一点，交于，且有求证：E。例已知：△中，N是直角，是上一点， ,过作的垂线交于，TOC\o"1-5"\h\z求证： -L课堂练习：.能使两个直角三角形全等的条件是( )两直角边对应相等 一锐角对应相等 两锐角对应相等 斜边相等.两个三角形有以下三对元素相等,则不能判定全等的是( )一边和两个角 两边和它们的夹角 三边 两边和一对角.下列说法中，错误的是( )三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用已知两个锐角不能确定一个直角三角形已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形3如已知：如图,AD角（除直角外）．（ ）分别垂直于C则图中有 对相等的如图，△中，N和N或O9，0的角平分线，则△=°，6延0长（=）.如图,在下列给出的四组条件下，△不一定能推导出4N=NNCD垂足分别是AC的条件是。由此可判定全等的两个三角形是 和△已知：如图都垂直于垂足为E已知：如图，，且，于，，于，分别垂直已知：如图是^和^的公共边分别垂直于^求证：^已知：如图已知：如图如图，已知：N已知：如图，N/到的距离.求证：〃，于，于求证:都是直角，交于如图，在等腰直角三角形 中，N是上任一点，求证:求证:直线经过点，为、求证：课后练习：.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）一条直角边和一个锐角分别相等 两条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等 斜边和一个锐角对应相等.在下列定理中假命题是（）A一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B一个直角三角形必能分成两个等腰三角形c两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形上的高与中线，如图，在△中，N°9 、，分别是斜边上的高与中线，的平分线。则N与N的关系是（ ）△B应补充的如图，已知D于，是上一点，且=要使条件是△B应补充的如图，在△中，_L于D与相交于，且, ，那么N度。如图，〃，N9是上一点，NN2 =求证：N°

如图所示，已知是N 的平分线，E于，F于，且.求证:已知=,±cEb求证：在N的平分线上..求证:如图，在△和△中，给出以下四个论断：① =② ③ ④，，E.以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：求证：已知在△中，N=证：△的周长等于.为N 的平分线，±,垂足为.求如图△中N° _L 于平分N交于.求证〃如图，AE、在一条直线上， ,过、分别作请回答1、列问题：（）平分；（）若将的边沿条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。A F C A/C D」一 , 」一 ,若 。方向移动变为图时其余能力提高：已知：N角边分别与交于如图已知在△求证：的平分线，将三角板的直角顶在射线上滑动，两直和有怎样的数量关系，都是等边^交于F已知、是4的高，点线段和的关系，并证明bA、FC^~~P^Ay在的延长线上， ，点在上， 。判断.如图，点在线段上，_LC，且的度数o=，5角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。点．在．角．的．平．分．线．上．。．角平分线的画法：例已知是4三条角平分线的交点，_L于，若=到角两边距离相等的,△的周长等于，角的平分线的性质则^的面积等于△=0其中三条角平分线将△例如图，△的三边0其中三条角平分线将△分为三个三角形，则 ： ：等于NABO NBCO ACAO例如图：在^中N=NDZ2，垂足为交于。求证:例如图：在4中，N,N相邻的外角的平分线交于点。求证：点在N的平分线上。例如图所示，已知△中，平分Na、分别在、上.， .求证：F例.△中，,是N的平分线.是上任意一点.求证:AA例如图，NN,平分N,平分N，点在上.探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系.例如图，已知在4中，是边上的中线，是上一点，延长交于求证：课堂练习:如图所示，在4中,F列三个结论中正确的是.①和②如图所示，在4中,F列三个结论中正确的是.①和②上一点，±于①=;②5//;③点在N的平分线上，以上结论正确的是（ ）①②③①②①③②③④NN⑤NN⑥NN 则下列哪组条件不保证^ ^^①②③①②⑤①⑤⑥①②④如图，已知点到的距离恰好相等，则点的位置：①在N的平分线上;②在N的平分线上;③在N的平分线上；④恰是N,N,N三个角的平分线的交点。上述结论中,个正确结论的个数有（N 的平分线上一点如图，〃，是N间的距离等于已知△的周长是的距离为的平分线的交点,和N 的平分线交于点的面积。到的距离为，过点作D与点，且如已知。求证：在N的平分线上.如图,

于点在4,若中,交

求证:于点，

为N点是中点,

的角平分线.的延长线于点，交已知△，分别是及延长线上的一点，且,连接交底于G求证如图，，两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量、间距离，但是绳不够长.你能帮她设计测量方案吗?如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理．课后练习：如图，在△中，N的平分线。则N与N的关系是(DE分别是斜边上的高与中线，)NN NN NN 不能确定尺规作图作N 的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交再分别以点、为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得2TOC\o"1-5"\h\z△OCP/△ODP的根据是( )E交的延长线于;⑤ ，其中正确结论的如图，在△中， ,N°9平分E交的延长线于;⑤ ，其中正确结论的为垂足.则结论：① =② =③ ；④个数是( )如图在t的面积是 中,如图在t的面积是 中,O9，0是N 的平分线，交于点，若,则4已知：如图，NN()若以“”为依据，还缺条件()若以“”为依据，还缺条件()若以“”为依据，还缺条件如图，为线段上一动点(不与点，重合)，在同侧分别作正三角形 和正三角形与交于点，与交于点，与交于点，连结以下五个结论:角形① ；②〃；③；⑤/ °恒成立的结论有(_把_① ；②〃；③；⑤/ °恒成立的结论有(_把_你认为正确的序号都填上)。已知NN,NN, -L已知NN,NN, -Le求证:已知，如图，在四边形中，＞平分N求证：ND如图：在4中，N°0NBN的平分线E相交于点。求证:已知为4 的中线，N已知为4 的中线，N,N的平分线分别交于、交于.求证:能力提高：如图，△中，N°, ，是N的平分线，_L于，若则4的周长等于如.图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处 处 处如图已知平分N上于〃N那么N 已知在△中，N=°,=,为N 的平分线，±b垂足为.求证：△的周长等于.如图，在△中，分别为 边中点，连接D并分别延长至、，使连接求证:如图：在4如图：在4中，N1D2-L于。求证：是上一点，±交的延长线于，且如图，在四边形 中，平分N如图，在四边形 中，平分N求NC 的度数。过作，于，并且ae=2(AB+AD)如图：是4如图：是4中N 的平分线，过F。求证：N=A的中点作±交的延长线于，连结已知△ 中，，为的延长线，且，为△的边上的中线.求证如图，已知在4中，是边上的中线，是上一点，且 ，