福建宁德一中2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题含答案

ADDINCNKISM.UserStyle宁德第一中学2022-2023学年度第二学期期末高一质量检测数学试题第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则A． B． C． D．2．下图是某商场2022年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第三季度内，洗衣机销量约占，电视机销量约占，电冰箱销量约占）．根据该图，以下结论中正确的是（

）

A．电视机销量最大的是第四季度 B．电冰箱销量最小的是第四季度C．电视机的全年销量最大 D．洗衣机的全年销量最小3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（

）A．若m//α，α∩β=n，则m//n B．若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γC．若α⊥β，γ⊥β，则α//γ D．若α∩β=n，mα，m⊥n，则α⊥β4．已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．5．在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为（

）第5题图第第5题图第6题图A． B． C． D．6．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中都是正三角形，，则以下两个结论：①；②，说法正确的是（

）A．①和②都不成立B．①成立但②不成立C．①不成立但②成立 D．①和②都成立7．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（

）A．B．C． D．8．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例，在百位档拨颗下珠，十位档拨颗上珠和两颗下珠，表示数字170，若在个十百千位档中，随机选择一档拨颗上珠，再随机选择两个档位各拨颗下珠，所拨数字大于概率为A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件B与事件C是互斥事件B．事件A与事件B是相互独立事件C．D．11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（

）A．若且，则是直角三角形B．若，则为锐角三角形C．若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是D．若，，分别表示，的面积，则12．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P分别是线段C1D1，线段C1C，线段A1B上的动点，且MC1=NC1≠0，则下列说法正确的有（）A．三棱锥P-BB1M的体积为定值 B．异面直线MN与BC1所成的角为60°C．AP+PC1的长的最小值为 D．点B1到平面BCD1的距离为.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．已知向量与的夹角为，，则实数___________.14．袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记，．将球放回袋中，重复上述操作，得到和．设平面向量，，则与能构成基底的概率为______．15．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，，，则这个部件能正常工作的概率为______．16．如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40cm，下底面半径为10cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为______cm，这样最大半径的金属球最多可完全放入______个．第1第15题图第16题图四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知向量．(1)当为何值时，与共线？(2)当的取值范围为何值时，与夹角为锐角？18．（本小题满分12分）某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．

(1)请将频率分布直方图补充完整；(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；(3)从成绩在，内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率．19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．(1)求证：平面PAB；(2)求点B到平面PCD的距离．20．（本小题满分12分）在①b·sinA＋a·sinB＝4c·sinA·sinB，②cos2C－2sin2＋＝2，③(a－b)sinA＋b·sinB＝c·sinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，sinA·sinB＝，c＝2，________．（1）求C；（2）求△ABC的面积S．21．（本小题满分12分）如图，在正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB．

(1)求证：；(2)点M是PD上一点，若平面EFM，则为何值？并说明理由；(3)若，求二面角的余弦值．22．（本小题满分12分）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．(1)求第三局结束时乙获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．宁德一中2022-2023学年度第二学期期末高一质量检测数学试题评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.题序12345678选项CCBBCDAD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题序9101112选项BCBCACDBC第II卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）题序13141516选项-20.251061．C【来源】【全国百强校】吉林省梅河口市第五中学2018届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题【详解】由得，得所以.故选C.2．C【来源】河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题【分析】根据商场2022年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，逐项判定，即可得到答案.【详解】对于A选项，虽然第四季度中电视机销量所占的百分比最大，但是由于销售总量未知，所以销量不一定最大，故A不正确；同理B选项中，第四季度中电冰箱销量所占的百分比最小，但是由于销售总量未知，所以销量不一定最小，故B不正确；对C选项，在四个季度中，电视机在每个季度的销售所占百分比都是最大，即在每个季度中销量最多，所以全年销量也最大，故C正确；对于D选项，洗衣机在第四季度所占百分比不是最小的，所以洗衣机的全年销量不一定是最小的，故D选项不正确.故选：C.3．B【来源】湖南省常德市第一中学2022届高三考前一模数学试题【分析】由线面平行的性质定理可知A的正误；利用面面垂直的判定定理可知判断B,有反例可判断BD．【详解】对于A，，，则，错误，原因是不一定是经过直线的平面；故A错误；对于B,因为，，由面面垂直的判定定理得：，故B正确．对于C，若，，不一定得到，例如长方体中，同一顶点出发的三个平面，故C错误，

对于D,若，，，则错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否与一定垂直，故D错误；

故选：B4．B【来源】福建省厦门第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，

设圆锥的半径为r，母线为l，由题意知，，在中，，所以，所以圆锥侧面积为.故选：B.5．C【来源】四川省达州市通川区达川区铭仁园学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】在中，，在中，，，，由正弦定理得，所以在等腰直角三角形中，有.故选：C6．D【来源】浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高二下学期期初考试数学试题【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理和勾股定理进行求解即可.【详解】因为底面为矩形，所以有，平面，平面，所以平面，而平面平面，所以，故结论①是正确的；取的中点，连接如下图所示：因为，所以有，因此四边形是平行四边形，所以有，不妨设，因此，，因为都是正三角形，所以，因此有，因为，所以，因此，故结论②是正确的.故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了勾股定理，考查了数学阅读能力7．A【来源】综合测试卷（巅峰版）-突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）课时训练（人教A版选修2-3）【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】由题意，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，所以．故选:A．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．8．D【来源】四川省成都市第七中学2023届高考热身文科数学试题【分析】由条件确定随机试验的样本空间中的样本点的个数，再求事件所拨数字大于所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求其概率．【详解】依题意得所拨数字共有种可能，即样本空间中共含个样本点，要使所拨数字大于，则：①上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于，有种;②上珠拨是十位档或个位档，则再随机选择两个档位必有千位档，有种,则所拨数字大于1000的概率为.故选：D.9．BC【来源】福建省厦门双十中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,,解得,故A错误,，由于，与的夹角为，故B正确,,故C正确在上的投影向量为，故D错误,故选：BC10．BC【来源】湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【分析】利用定义判断选项A的真假，利用公式计算判断选项BCD的真假，即得解.【详解】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字4，故选项A错误；对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故选项B正确；对于C，,所以，故选项C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.故选：BC．11．ACD【来源】福建省厦门双十中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题【分析】利用同角的三角函数关系以及正弦定理判断A；利用余弦定理可判断B；根据正弦定理边化角结合三角恒等变换，确定三角形为直角三角形，再求得内切圆半径的范围，即可判断C；根据向量的线性运算构造三角形，利用三角形重心性质可判断D.【详解】对于A，由可得，即，则；由得,由于为三角形内角，则或，即或，综合可得，即是直角三角形，A正确；对于B，由可得，即，即，故，C为三角形内角，故C为锐角，但不能判定为锐角三角形，B错误；对于C，，则，故，即，即，即，由于，故，由于，设三角形内切圆半径为r，则，因为，则，所以，即，故该三角形内切圆面积的最大值是，C正确；对于D，若，设，则，可得O为的重心，如图：

设，则，，由于O为的重心，延长交与E，则E为的中点；则，同理可得,故，不妨取，可得，D正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：本题考查知识点较多，计算量较大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识以及向量的有关知识进行解答.12．BC【来源】重庆市渝北区2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题【分析】利用等体积法通过计算体积和求解点到面的距离判断AD错误；通过平行找到异面角判断B正确；通过分别求最小距离且取等号条件成立判断C正确.【详解】选项A中，，而的底边AB=2，底边上的高不确定，故不确定，故体积不是定值，故A错误；选项B中，依题意MC1=NC1≠0，故，故异面直线MN与BC1所成的角，即异面直线与BC1所成的角，而是等边三角形，故，故B正确；选项C中，，P是上的点，则P为中点时最小，为，而，故P是的中点时最小，为，综上P是的中点时，AP+PC1的长的最小值为，故正确；选项D中，，故点B1到平面BCD1的距离为h，则，解得，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：空间中计算点到平面的距离的方法：（1）定义法：直接作平面的垂线，并直接计算；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离；（3）向量法：利用斜线方向向量在平面法向量上投影进行计算.13．【来源】福建省厦门双十中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题【分析】根据题意，结合平面向量的坐标积运算即可得到结果.【详解】因为，则，即将，代入计算可得，，解得故答案为:14．【来源】福建省厦门双十中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题【分析】首先列举向量和的所有情况，并结合排列数公式，得到不能构成基底的情况，最后利用对立事件求概率.【详解】由条件可知，向量和为，，共15种情况，当，共15种情况；当时，满足，有，共种情况；，共种情况；以及，共种情况；综上可知，时，与不能构成基底，共有种情况，所以与能构成基底的概率.故答案为：15．【来源】吉林省白城市2020-2021学年高二下学期期末数学理试题【分析】根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，，，且相互独立，所以这个部件正常工作的概率为．故答案为：.16．106【来源】福建省三明市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题【分析】（1）作出圆台容器的纵切图，则一边间隙为直角三角形，由等面积法求出内切圆的半径即为金属球的最大半径；（2）作出金属球心的水平切面图，金属球间相切时可放最多金属球，通过求两相切金属球心与实心圆柱轴心形成的夹角，即可知道一周可最多放金属球的数量【详解】由题，下图为圆台容器的纵切图，圆O内切于时金属球O的半径最大，易得，由等面积法得，解得，故金属球的最大半径为10cm；下图为上图O点高度的水平切面，圆、圆、圆两两相切，此时可放最多金属球，因为，则，故，则金属球最多可放个，故答案为：10；617．(1)2；(2).【来源】福建省福州八县（市）一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题【分析】（1）直接利用平面向量共线的坐标运算列式求得值；（2）问题转化为，再排除与共线时的值，即得的取值范围．【详解】（1）与共线，，解得.所以当时，与共线.（2）若与的夹角为锐角，则，解得．又由（1）得，当时，与共线且同方向，故当的范围为时，与夹角为锐角．18．(1)频率分布直方图见解析(2)(3)【来源】辽宁省名校联盟2022-2023学年高一下学期6月份联合考试数学试题【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出成绩在的频率，进而补全频率分布直方图即可；（2）根据频率分布直方图先求出第60百分位数一定在内，然后再计算即可求解；（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在内的有3人，分别记为，，；成绩在内的有4人，分别记为，，，，用列举法写出从这7人中随机抽取2人开座谈会的所有基本事件，并得出这2人来自不同分组的基本事件，代入古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）成绩在的频率为．补充完整的频率分布直方图如下图所示：

（2）由频率分布直方图可知成绩小于80分的学生所占比例为，成绩小于90分的学生所占比例为，所以第60百分位数一定在内，因为，所以估计该校所有学生成绩的第60百分位数约为83.75分．（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在内的有3人，分别记为，，；成绩在内的有4人，分别记为，，，．则从这7人中随机抽取2人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种；记这2人来自不同分组为事件A，其基本事件有，，，，，，，，，，，，共12种，故这2人来自不同分组的概率为．19．(1)见解析(2)【来源】湖北省荆州市石首市第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题【分析】（1）作交于点，证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：作交于点，因为，所以，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则有，可取，设直线与平面所成的角为，则，所以点B到平面PCD的距离为.20．（1）答案不唯一，见解析；（2）1＋．【来源】江苏省南通市海安县曲塘中学2020-2021学年高二上学期阶段性测试二数学试题【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，可求得；选②，利用二倍角公式变形后可求得；选③，由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得；（2）由正弦定理结合已知条件求得后可得三角形面积．【详解】（1）选①：在△ABC中，因为b·sinA＋a·sinB＝4c·sinA·sinB，由正弦定理＝＝得，sinB·sinA＋sinA·sinB＝4sinC·sinA·sinB，即2sinA·sinB＝4sinC·sinA·sinB，又sinA、sinB≠0，所以sinC＝，由于0＜C＜π，所以C＝或；当C＝时，A、B＜，则sinA、sinB＜，所以sinA·sinB＜，与sinA·sinB＝矛盾，故舍；因此C＝；选②：在△ABC中，因为cos2C－2sin2＋＝2，所以2cos2C－1－(1－cosC)＋＝2，即2cos2C＋cosC－3＝0，所以cosC＝或－(舍)，又0＜C＜π，所以C＝；选③：在△ABC中，因为(a－b)sinA＋b·sinB＝c·sinC，由正弦定理＝＝得，(a－b)a＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，又由余弦定理得，cosC＝＝，而0＜C＜π，所以C＝；（2）因为C＝，c＝2，由正弦定理＝＝得，a＝＝4sinA，b＝＝4sinB，因为S＝ab·sinC＝4sinA·4sinB·sinC＝4sinA·sinB＝1＋．21．(1)证明见解析(2)(3)【来源】海南省海口市海南华侨中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【分析】（1）