专题11 立体几何垂直归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

专题11立体几何垂直归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】线线垂直 1【题型二】线面垂直 2【题型三】面面垂直 3【题型四】翻折1：线线垂直 5【题型五】翻折2：线面垂直 5【题型六】翻折3： 6【题型七】垂直探索性型 7【题型八】垂直应用1：线面角 8【题型九】垂直应用2：二面角 9【题型十】垂直应用3：点到面的距离 10培优第一阶——基础过关练 11培优第二阶——能力提升练 13培优第三阶——培优拔尖练 14【题型一】线线垂直【典例分析】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．【提分秘籍】基本规律线线垂直方法1：利用平行关系，把两条要证的直线平移在一个平面内，计算勾股定理证明垂直转化为证明线面垂直。证明一条线垂直于另外一条线所在的某个平面。【变式训练】1.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，D是的中点，与交于点O，且平面(1)证明：；(2)若，求三棱柱的高.2.如图，已知正方体.（1）求与所成角的大小；（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.【题型二】线面垂直【典例分析】如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；【提分秘籍】基本规律线面垂直定义法：证明一条直线垂直于一个平面的两条相交直线。面面垂直性质法：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直【变式训练】1.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点D到平面ABE的距离．2.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：BE⊥平面；(2)求三棱锥B-DEF的体积．【题型三】面面垂直【典例分析】如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．【提分秘籍】基本规律面面垂直证明：定义法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．【变式训练】1.如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．(1)求证：平面平面PAD；(2)若，求几何体PABCEF的体积．2.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：(1)底面；(2)平面平面.【题型四】翻折1：线线垂直【典例分析】在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积最大值.【变式训练】1.在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点．(1)求证：；(2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积．2.如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.【题型五】翻折2：线面垂直【典例分析】在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．证明：直线平面；【变式训练】1.如图（），已知边长为的菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．2.如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC．(1)求四棱锥的体积；(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC．【题型六】翻折3：面面垂直【典例分析】已知为等边三角形，其边长为4，点为边的中点，点在边上，并且⊥，将沿折起到.(1)证明：平面平面；(2)在棱上取一点P，使，求.【变式训练】1.如图1，由正方形与正三角形组成的平面图形，其中，将其沿，折起使得，恰好重合于点，如图2.(1)证明：平面平面；(2)若点是线段上，且，求三棱锥的体积.2.如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.【题型七】垂直探索性型【典例分析】如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.【变式训练】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【题型八】垂直应用1：线面角【典例分析】已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.【提分秘籍】基本规律线面角：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.【变式训练】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．(1)若是线段中点时，证明：平面；(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．【题型九】垂直应用2：二面角【典例分析】.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．(1)证明：平面平面；(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．【提分秘籍】基本规律计算二面角，常用方法向量法：二面角的大小为(),2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角【变式训练】如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.【题型十】垂直应用3：点到面的距离【典例分析】如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【变式训练】如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.(1)证明：；(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：2．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．3．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.5．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．培优第二阶——能力提升练1．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.(1)求证：平面；(2)设，，求三棱锥的体积.2．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．3．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面⊥平面；(3)求直线与平面所成角的大小．4．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.5．边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥.培优第三阶——培优拔尖练1．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，(1)求证：平面；(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.2．如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角