高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图教案理含解析新人教A版

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识整合1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征①圆柱可以由eq\o(□,\s\up4(01))矩形绕其任一边旋转得到；②圆锥可以由直角三角形绕其eq\o(□,\s\up4(02))直角边旋转得到；③圆台可以由直角梯形绕eq\o(□,\s\up4(03))直角腰或等腰梯形绕eq\o(□,\s\up4(04))上、下底中点连线旋转得到，也可由eq\o(□,\s\up4(05))平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕eq\o(□,\s\up4(06))直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征①棱柱的侧棱都eq\o(□,\s\up4(07))平行且相等，上下底面是eq\o(□,\s\up4(08))全等的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个eq\o(□,\s\up4(09))公共点的三角形；③棱台可由eq\o(□,\s\up4(10))平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是eq\o(□,\s\up4(11))相似多边形．2．直观图(1)画法：常用eq\o(□,\s\up4(12))斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为eq\o(□,\s\up4(13))45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面eq\o(□,\s\up4(14))垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍eq\o(□,\s\up4(15))平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度eq\o(□,\s\up4(16))不变，平行于y轴的线段长度在直观图中eq\o(□,\s\up4(17))变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的eq\o(□,\s\up4(18))正前方、eq\o(□,\s\up4(19))正左方、eq\o(□,\s\up4(20))正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：eq\o(□,\s\up4(21))长对正，eq\o(□,\s\up4(22))高平齐，eq\o(□,\s\up4(23))宽相等．②画法规则：eq\o(□,\s\up4(24))正侧一样高，eq\o(□,\s\up4(25))正俯一样长，eq\o(□,\s\up4(26))侧俯一样宽；看不到的线画eq\o(□,\s\up4(27))虚线．1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))2．直观图与原图形面积的关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形(或S原图形＝2eq\r(2)S直观图)．1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．(2019·河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()答案A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形答案D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4．(2019·湖南长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()答案A解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，为虚线，故选A.5．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析根据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.6．(2019·四川模拟)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案eq\f(\r(3),3)解析在长方体(长为2eq\r(3)，宽、高均为1)中作出此三棱锥，如图所示，则VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×1＝eq\f(\r(3),3).核心考向突破考向一空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．触类旁通解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．2通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.即时训练1.以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析命题①错误，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错误，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③错误，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题④错误，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选A.考向二平面图形与某直观图的关系例2(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S▱OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故选A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案eq\f(\r(2),2)解析因为OE＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).触类旁通画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”两坐标轴成45°或135°和“二测”平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.即时训练2.(2019·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)cm2，则原平面图形的面积为________．答案8cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面图形的面积为8cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2eq\r(2)cm2，故S原图形＝2eq\r(2)S直观图＝8cm2.考向三空间几何体的三视图角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))由空间几何体的直观图识别三视图例3(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－A1B1A的左视图是()答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(2))由空间几何体的三视图还原直观图例4(1)(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故选B.(2)(2019·贵州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案D解析选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C俯视图不符合要求，故选D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(3))由两个视图补画第三个视图例5(1)(2019·天津模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案B解析由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)(2018·沈阳模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案C解析若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯视图不可能是选项C.故选C.触类旁通三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．2在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.即时训练4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGFE在该正方体的表面上的正投影不可能是()答案B解析四边形AGFE在正方体的上、下两个面上的正投影为选项A，在左、右两个面上的正投影为选项D，在前、后两个面上的正投影为选项C，故不可