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文档简介
§5.
1
基本概念与计算§5.
2
矩阵的相似对角化§5.
3
n维向量空间的正交化§5.
4
实对称矩阵的相似对角化1§
5.1
基本概念与计算2一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的计算一、特征值与特征向量的定义例
矩阵A
=
3
-
1
3
-
1
1
0-
1
,
a
=
1
,
b
=
1
,g
=
1
.
2
1
-
1
-
41
4
1
Aa
=
2
=
2
=
2a
,
Ab
=
=
4
=
4b
,
„
kg.
3
-
1Ag
=
Aaagby30xAgAb定义设A是n阶方阵，例
3
-
1A
=
,-
1
3
1
1
1a
=
,
b
=
,g
=
.1
-
1
0
2
Aa
=
=
2a
,2
4
Ab
=
=
4b
,-
4
„
kg.
3
-
1Ag
=
2,4是A的特征值,2，4
的特征向量,a
,b
分别是A对应于特征值g
不是A的特征向量.若数l
和n维非零列向量a，使得Aa
=la
成立，则称l
是方阵A的一个特征值，a
是方阵A的对应于特征值l
的一个特征向量.4定义设A是n阶方阵，成立，若数l
和n维非零列向量a，使得Aa
=la则称l
是方阵A的一个特征值，a
是方阵A的对应于特征值l
的一个特征向量.说明1.特征向量a
„0,特征值问题是对方阵而言的.特征值与特征向量是成对出现的5二、性质6k1a
1
+k2a
2
+
+ksa
s是A对应于特征值l的特征向量设Aa
=la
(a
„0),则A
(ka
)=
k(Aa
)=
k(la
)
=
l(ka
).\ka是A对应于特征值l的特征向量设Aa1
=
la1
,
Aa
2
=
la2
则A(a1
+
a
2
)=
Aa1
+
Aa
2
=
la1
+
la2=
l(a1
+
a
2
)\a
1
+a
2是A对应于特征值l的特征向量推广设Aai
=
lai
(i
=
1,2,,
s),
则则由特征值与特征向量的性质可知"
a
,
b
˛
Vl
,
a
+
b
˛
Vl"
a
˛
Vl
,
k
˛
R,
ka
˛
Vl
.故V
是n
维向量空间R
n
的子空间.lVl
称为矩阵A
的特征子空间.7特征子空间
设
Vl
=
{a
|
Aa
=
la
,
a
˛
R
}
{0
}nAa
=la
(数l和n维非零列向量a
)三、特征值与特征向量的计算(A
-lI
)a
=0或(lI
-A)a
=0齐次线性方程(lI
-A)X
=0有非零解a
,特征值l满足：lI
-
A
=
0对应特征值l的特征向量即是方程(lI
-A)X
=0
的非0解8称为矩阵A的特征方程,定义(
)ijn·nn·nA
=
a,
数l是关于l
的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,Al
-
a11-
a12-
a1n-
a21l
-
a22-
a2n-
an1-
an2l
-
annf
(l)
=
lI
-
A
=f
A
(l)
=
lI
-
A
=
09特征方程的根就是特征值,也称为特征根.求特征值、特征向量的步骤：的一个基础解系h
1
,h
2
,
,h
tl的全部特征向量
:(3)
A
的对应特征值Aa
=
la10解特征方程
lI
-
A
=
0
即可求出特征值l
;求齐次线性方程组
(lI
-
A
)
X
=
0(t
=
n
-
R(lI
-
A))k1h
1
+k
2h
2
+
+k
th
t
(k1
,k2
,,kt不全为0)
Vl
=
L(h
1,h
2
,
,h
t
)dim
Vl
=
t
=
n
-
R(lI
-
A)例的特征值和特征向量.-1
3
3
-1求A
=
解A的特征多项式为1
2
-
3
12I
-
A
=
l
-
3
1lI
-
A
=
l
-
311
所以A的特征值为
l1
=
2,
l2
=
4.当l1
=
2时,
解方程(2I
-
A)
X
=
0.由
=
fi
1 2
-
3
1
-
1
0
0
-
1
1
1
-
1(2次多项式)=
(l
-
3)2
-1
=
l2
-
6l
+
8=
(l
-
4)(l
-
2)
=
0
x1
=
x2
,12基础解系
111a
=
fi
0
0
1
-
1
4
-
3
14I
-
A
=
=
11 4
-
3
fi
1
0
01
1
1
1特征值为
l1
=
2,
l2
=
4.对应特征值l1
=
2的全部特征向量k1a1
(k1
„
0)当l2
=
4时,
解方程(4I
-
A)
X
=
0.由11
l
-
3lI
-
A
=
l
-
3(k2
„
0)13k2a
2对应特征值l2
=
4的全部特征向量
fi
0
0
1
1
x1
=
-
x2
,基础解系
1
-
12a
=-
2
2lI
-
Al
-
1
2
-
2=
2
l
+
2
-
4-
2
-
4
l
+
24
-
2l
+
6
-
40
l
-
214l
-
1
2
-
2
l
-
1=
2
l
+
2
-
4
=
20
l
-
2
l
-
2
0
1
-
2
2
设
A
=
-
2
-
244
求A的特征值与特征向量．例解A的特征多项式=
(l
-
2
)
l2
+
5
l
-
6
-
8
)l3
=
-7lI
-
A
=15l
-
1
4
-
22
l
+
6
-
40
0
l
-
2=
(l
-
2)2
(l
+
7)=
0特征值为：l1
=
l2
=
2,(2称为二重根)(7称为单根)(3次多项式)基础解系16211
2
0
a
=0.
a
=
1
,4
1
2
-
22I
-
A
=
2
4
-
2
-
4-20
0-
4
fi
0
1
2
-
20
0
0-
4
2l
+
2
l
-
1
2
-
2
l
+
2
-
2
-
43
x1
=
-2
x2
+
2
x(k1
,k2不全为0)k1a1
+
k2a
2对应特征值2的全部特征向量特征值为：l1
=
l2
=
2,
l3
=
-7当l1
=
l2
=
2时,
解方程(2I
-
A)
X
=
0
-
8
2
-
2-
5
-
2
-
4
-
5170
01
21
1当l3
=
-7时,
解方程(-7I
-
A)
X
=
0-7I
-
A
=
2-
4
2l
+
2
l
-
1
2
-
2
l
+
2
-
2
-
4
2
-
5
-
4-
4fi
-
4
1
-
1
-
2
-
4
-
5-90
0
01
-9
fi
02
-5
-4
2
-5
-4fi
0
-9
1-9
00
fi
0
10
fi
2
0
10
1
10
0
00
01
21
0fi
0
10
1
-2
1
基础解系a3
=
2
18
312
x2
=
-x3
x
=
-
1
x(k3不为0)k3a
3对应特征值-7的全部特征向量设解01
1
0
1
1
-
10
-
1
1
,
-
1
0-
1
1
1A
=
1l
-
1
-
1
1lI
-
A
=
-
1
l
1
-
1-
1
1
l
-
11
-
1
-
1
l1
-
1
-
1
11
l
1
-
11
l
-
11
-
1
-
1
l=
(l
-
1)
1求A的特征值与特征向量．191-1-111l1-111l-11-1-1l=
(l
-1)1-1-110l
+12-
202l
+1-
2000l
-1=
(l
-1)l
+1
2
-
22
l
+1
-
20
0
l
-1=
(l
-1)l
+1
22
l
+120=
(l
-1)2=
(l
-
1)2
(l2
+
2l
-
3)于是A的特征值为l1
=
l2
=
l3
=
1,
l4
=
-3.(1是三重根)(4次多项式)=
(l
-
1)3
(l
+
3)21(I
-
A)=
-
1当l1
=
l2
=
l3
=
1时,
解方程(
I
-
A)
X
=
0,4l
=
-3,特征值l1
=
l2
=
l3
=
1,00
00
1
-
1
-
1
1
1
1
-
1
0
-
1
1
1
-
1
fi
1
-
1
-
1
1
1
-
1
-
1
10
0
0
00
0
0
l
-
1
-
1
1
l
1
-
1
-
1
1
l
-
1
1
-
1
-
1
llI
-
A
=
-
1
x1
=
x2
+
x3
-
x42200
00
1
-
1
-
1
1fi
0
0
0
0
00
0
01
0
0
1得基础解系a2
0
1
1=
1,
a3
1
0
-
1=
0
,=
0,
a(k1
,k2
,k3不全为0)k1a1
+
k2a
2
+
k3a
3对应特征值1的全部特征向量23
-
3
-
1
-
1
1-
1
-
3
1
-
1-
1
1
-
3
-
11-
1-
1-
3(-
3I
-
A)=
当l4
=
-3时,
解方程(-3I
-
A)
X
=
0,4l
=
-3,特征值l1
=
l2
=
l3
=
1,
l
-
1
-
1
1
l
1
-
1
-
1
1
l
-
1
1
-
1
-
1
llI
-
A
=
-
1
fi
1
0
0
-10
1
0 1
0
0
1 1
0
0
0 0
24fi
1
01
0
0
-1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
3
4x
=-xx2
=-x4
x1
=
x44
1
1
-
1=
-
1,得基础解系a(k4不为0)对应特征值-3的全部特征向量k4a
4
2
0例求矩阵
0
1
1
0
1
0
的特征值.0解矩阵A的特征多项式为=
(l
-
1)2
(l
-
2)
=
0得A的特征值l1
=
1(二重)，l2
=
2.l
-
1
-
1
00
l
-
1
00
0
l
-
225lI
-
A
=对角矩阵以及上(下)三角形矩阵的特征值为其主对角元特殊矩阵l
I
-
A
=
026Aa
=
la1.零矩阵O,
Oa
=
0
a
,
(a
„
0)所以0是（且仅是）O的特征值，任意非0向量是对应的特征向量。数量矩阵kI,
(kI
)a
=
k
a
,
(a
„
0)所以k是（且仅是）kI的特征值，任意非0向量是对应的特征向量。单位矩阵I,
1是（且仅是）I的特征值，任意非0向量是对应的特征向量。l
I
-
A
=
0Aa
=
la
A
=
00
I
-
A
=
04.不可逆矩阵A,所以0是不可逆矩阵的特征值。5.可逆矩阵A,
A
„
0
0
I
-
A
„
0而0不是可逆矩阵的特征值。n阶方阵A可逆
A
„
0
R(
A)
=
n
lA
„
027例设矩阵A
可逆,且Aa
=la
(a
„0),=
(A-1
A)a
l
„
01l-1\
A
a
=,AA*又
A-1
=解
A*
=
A
A-1
,l1a
,A-1
的特征值:l\
A*a
=
A
A-1a
=
A
a
,l28A*
的特征值:|
A
|求A-1
与A*
的特征值与特征向量.A-1
(Aa
)=
A-1
(la
)
=
l(A-1a
)=
a(
)nn
1
0f
x
=
a
x
+
+
a
x
+
af
(A)=
a An
+
+
a
A
+
a
I(a
„
0n
1
0Aa
=
laf
(A)a
=
(an
A
+
+
a
A
+
a
I
)an1
0例设a
是矩阵A
对应特征值l的特征向量,f
(x
)是x
的多项式，证明：f
(l)是f
(A)的特征值.分析=
a An
a
+
+
a
Aa
+
a
I
an
1
0A2a
=
A(Aa
)=
A(la
)=
l(Aa
)=
l2aAna
=
lnan29=
anl
a
+
+
a1la
+
a0an=
anl
+a1l
+
a0
a=
f
(l)aln为An的特征值设l为A的特征值(Aa
=la
),30结论f
(A)a
=
f
(l)an n-1f
(
A)
=
an
A
+
an-1
A
+
+
a1
A
+
a0
I的特征值:n
n-1f
(l)
=
anl
+
an-1l
+
+
a1l
+
a0a为对应的特征向量设l为A的特征值(Aa
=la
),n n-1f
(
A)
=
an
A
+
an-1
A
+
+
a1
A
+
a0
In
n-1的特征值
:
f
(l
)
=
anl
+
an-1l
+
+
a1l
+
a0设l0
=
2是矩阵A的一个特征值，
确定例31解A3
-3
A2
+2I
-4
A-1
的一个特征值.f
(
A)
=
A3
-
3
A2
+
2I
-
4
A-1f
(2)=
23
-
3
·
22
+
2
-
4
·
2-1
=
-4\A3
-3
A2
+2I
-4
A-1
的一个特征值为-4
2
-
1
-
1
2
2
设A
=
2
-
1-
2-2
,求A-1
与I
+A-1
的特征值.l2
=1
(二重).l1
=
-5
,解
lI
-
A
=
=
(l
+
5)(l
-
1)2
,1521-1,
m
=1
(二重)A
的特征值为：m
=-5
532I
+
A-1
的特征值是
：1
-
1
=
41
+1
=2
(二重)．例
设A是n阶矩阵，且
AT
A
=
I
,
A
=
-1
,证明:l
=-1
是A
的特征值.-
I
-
A=
-
AT
-
IA
=
-
(-
A
-
I
)T证分析l
I
-
A
=
0Aa
=
la=
-
-
A
-
I\
-
I
-
A
=
0
.=
-
AT
A
-
A
=
(-
AT
-
I
)
A33设
A2
=
A
,
证明：A
的特征值为
0
或
1
.设
Aa
=
la
(a
„
0)则\
l2a
=
la
,\
l
=
0证1A2a
=
A(Aa
)
=
A(la
)=
l(Aa
)=
l2a
(l2
-
l
)a
=
0或
l
=
1
.l
I
-
A
=
0Aa
=
la证2
A2
=
A
A(
I
-
A)
=
0
A
|
I
-
A
|=
0
A
=0
或|
I
-A
|=0,34A
的特征值为0
或1.应的量个数的关系:设l0
是A
的k
重特征值，则l0
所对性无关特征向量的个数不超过k
.无法显示该图片。线即
齐次方程组(l0
I
-
A)X
=
0
的基础解系所含解向量个数不超过k
.0(1
£
dim
Vl
£
k
)下面结论不证,知道结论即可1.特征值的重数与其对应的线性无关特征向352.设n阶方阵A
=(aij
)的n个特征值为l1
,l2
,,lnn则
1)
l1＋l2＋＋ln
=
a11
+
a22
+
+
ann=
aii
=
tr(
A)i
=1称为矩阵A的迹.（主对角元素之和）2)ni
=1注A可逆的条件:n阶方阵A可逆
A
„
0R(
A)
=
n
lA
„
0traceli
=
l1l2
ln＝
A36(A
-3I
)-1的特征值，以及行列式A
-3I
，A-1
-3I
.例设A为3阶方阵,A的特征值分别为-1、4、2,
求解(A
-3I
)的特征值分别为即为-4、1、-1.2)ni
=1li
=
l1l2
ln＝
AA
-
3
I
=
(-4)
1
(-1)
=
4.即-4、-11、4
25
55-5
.
11-
3I
=
(-4)(-
)(-
)
=
-4
2
2A-1-1
-3、4
-3、2
-3、4则(A
-3I
)-1的特征值分别为-
1
、1、-1.4
21
1、
.A-1的特征值分别为-1、4
2371
-
3.(A-1
-3I
)的特征值分别为-1
-3、1
-3、-3是A的一个特征值,从而-1
是A-1的一个特征值.3AAT
=2I
=16,
即A*有一个特征值为又由
AAT
=
2I得A
2
=
16,于是
A
=
–4,
但
A
<
0,因此
A
=
-4,设4阶方阵
A满足条件
:
3
I
+
A
=
0,
AAT
=
2
I
,A
<0,分别求A,A-1
,A*的一个特征值.解
因为
A
<
0,故A可逆.
由
A
+
3I
=
0知l
I
-
A
=
0(-3)I
-
A
=
0,:
.38|
A
|
4l
3小结391.
特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的性质特征值与A的关系作业
P177
1(2)(4)(6),
8,
11401.
是否任一数l0
都是某个矩阵A
的特征值
？0
l0
是.比如,
A
=
0
.思考题是否任一列向量a
都是某个矩阵A
的特征向量？若a
„0
，则是.比如，Ia
=1a
.怎样判断数l0
是否矩阵A的特征值？是否存在非零向量a
使Aa
=l0a
.l0
I
-
A
=
0
?41例设An·n
a
a
a
=
a
a
a
a
a
a
求A的特征值与特征向量.lI
-
A
=42l
-
a-
a
-
a-
al
-
a
-
a-
a-
a
l
-
a解a
„
01
1l
-
a
-
a
-
a
-
a
l
-
a1=
(l
-
na)
-
a=l
-
nal
-
na
l
-
na-
al
-
a
-
a-
a-
a
l
-
a1
1
10
l
0=
(l
-
na)
0
0
l43=
ln
-1
(l
-
na)l2
=
na
.l1
=0
(n
-1重),l2
=
na
.44l1
=0
(n
-1重),
1l
I
-
A
=
-
a
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