江苏省南京市东方中英文学校2022年高三数学理联考试卷含解析

江苏省南京市东方中英文学校2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知θ∈（，π），sinθ=，则sin（θ+）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ∈（，π），sinθ=，∴cosθ=﹣=﹣，则sin（θ+）=cosθ=﹣，故选：D．2.已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（

）A. B.1 C. D.2参考答案：D【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.3.在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.已知集合，集合，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：A5.已知集合M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}，N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N=（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，2]参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出两解集的公共部分即可确定出两集合的交集【解答】解：由（x﹣3）（x+1）≥0，解得：﹣1≤x≤3，∴M={x|﹣1≤x≤3}，∵N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]故选A6.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

参考答案：【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4

【答案解析】C

解析：∵y=sin（2x+）的y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），故选C．【思路点拨】本题考查三角函数图象的平移，关键在于掌握平移方向与平移单位.7.四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（） A．12π B．24π C．36π D．48π参考答案：A【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图． 【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积． 【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处， 且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a 设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG 根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2， ∴得AG==a，所以正方体棱长a=2 ∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=， 即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π． 故选A． 【点评】本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题． 8.已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．3参考答案：C【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【解答】解：根据题意，∵|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，∴﹣2z1z2+=3，∴2z1z2=2﹣3=﹣1；∴|z1+z2|===1．故选：C．9.函数是A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：A考点：三角函数的图像与性质

所以且是奇函数。

故答案为：A10.已知函数，若函数为奇函数，则实数为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是

．（结果用最简分数表示）参考答案：

12.命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是_________

参考答案：答案：若不都是偶数，则不是偶数13.要得到的图象，则需将的图像

至少向左平移

个单位即可得到。参考答案：略14.定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算__

_．参考答案：115.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为__________.参考答案：16.语句：S=0i=1DoS=S+ii=i+2LoopwhileS≤200n=i－2Outputn

则正整数n=

.参考答案：略17.已知一个扇形的圆心角的弧度数是1弧度，半径为1cm，则此扇形的周长为_____________cm.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线

BF∥平面ACD，并证明这一事实；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值． 参考答案：如图，（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点， 连接FH，则，∴， ……………2分 ∴四边形ABFH是平行四边形，∴，

由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；……………4分 （2）取AD中点G，连接CG..

……………5分

AB平面ACD,∴CGAB

又CGAD

∴CG平面ABED,

即CG为四棱锥的高，

CG=

……………7分

∴=2=.

……………8分(3)连接EG，由（2）有CG平面ABED， ∴即为直线CE与平面ABED所成的角，………10分 设为，则在中， 有．

……………13分略19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答： 解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x??（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=AC?BC?sinC=×2×2×=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.如图所示，在已知三棱柱ABF-DCE中，，，，平面ABCD⊥平面ADEF，点M在线段BE上，点G是线段AD的中点．（1）试确定点M的位置，使得AF∥平面GMC；（2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．参考答案：（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点．连接，∵是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，所以直线平面，∵，，∴，∴，故点为线段上靠近点的三等分点．（2）不妨设，由（1）知，又平面平面，平面平面，平面，∴平面．故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴为正三角形，，∴，，，，∴，，设平面的一个法向量，则由，可得令，则，∵，且，故，故，故直线与平面所成角的正弦值为．21.已知函数（I）求在上的最小值；（II）当时，恒成立，求正整数的最大值.（为自然对数的底数，）参考答案：（I）的定义域为得:当时，当时，在内单调递减，在上单调递增.当时，在上的最小值为当时，在上单调递增，的最小值为（II）当时，恒成立可转化为恒成立令令在上单调递增）存在唯一的实数使，即当时，当时，在内单调递减，在上单调递增，正整数的最大值为2.略22.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：所用时间（分钟）10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P（A1），P（A2）比较两者的大小，及P（B1），P（B2）的从而进行判断甲与乙路径的选择；（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可【解答】解：（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．用频率估计相应的概率可得∵P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择Li，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．

（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，