福建省福州市市第十中学高三数学理联考试题含解析

福建省福州市市第十中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于x=对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数参考答案：C【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的图象和性质，逐个选项验证可得．【解答】解：f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得T==π，选项A正确；由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，故当k=0时，可得函数一条对称轴为x=，选项B正确；g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1的图象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）﹣1的图象，选项C错误；由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，显然f（x）在区间[0，]上是增函数，选项D正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的图象和性质，属中档题．2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像(

)A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位参考答案：A3.某班有60名学生，一次考试后数学成绩～N(110，102)，若P(100≤≤110)=0．35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为

A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：B略4.某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60 B．90 C．150 D．120参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】先分组5个尖子生分为（2，2，1），再分配即可．【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，故选：B．5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A.16π B.12π C. D.参考答案：C【分析】先还原几何体，再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱挖去两个圆锥，圆柱的底面半径为2，高是4，圆锥的底面半径为2，高分别为1和3．则该几何体的体积.故选：C．【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的体积的求解，属于基础题.6.下列函数是偶函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是(

)A.0

B.1

C.

D.9

参考答案：B作出不等式组表示的可行域（如下图），令，可知当直线经过点时，取得最小值0，故此时取得最小值1.8.设、是两个命题，若是真命题，那么（

）A．是真命题且是假命题

B．是真命题且是真命题

C．是假命题且是真命题

D．是假命题且是假命题

参考答案：D9.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（）A．B．

C．D．参考答案：D10.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.参考答案：(e,1)【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

12.若R，i是虚数单位，则=

.参考答案：答案：513.执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数的值是______.参考答案：略14.设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a2+c2=kb2，则实数k的取值范围是．参考答案：（1，2]【考点】余弦定理．【分析】利用角A、B、C成等差数列B=，利用a2+c2=kb2，可得k=sin（2A﹣）+，即可利用正弦函数的性质求得实数k的取值范围．【解答】解：∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差数列，∴B=π﹣（A+C）=π﹣2B，解之得B=，∵a2+c2=kb2，∴sin2A+sin2C=ksin2B=，∴k=[sin2A+sin2（﹣A）]=[sin2A+cos2A+sinAcosA）]=sin（2A﹣）+，∵0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜sin（2A﹣）≤1，∴1＜sin（2A﹣）+≤2，∴实数k的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．15.已知，，，且向量，的夹角是60°，则m=

．参考答案：设，由，可得，，又向量，的夹角是，∴，解得：∴，即故答案为：

16.已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为，表面积为．参考答案：288,336.【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱，利用给出的数据的体积，面积求解．【解答】解：根据三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱．该几何体的体积为8×6×12=288，该几何体的表面积为12×（6+8）+2×+12×=12×14+48+120=336故答案为；288，336【点评】本题考查了空间几何体的三视图运用，关键是确定几何体的直观图，根据几何体的性质判断直线的位置关系，属于中档题．17.已知，则的最小值为__________。参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—1：几何证明选讲如图,已知圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，于，交于，交于，．

（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：。参考答案：19.已知函数.(1)若函数有且只有一个零点，求实数的值；(2)证明：当时，.参考答案：：(1)方法1：，，时，；时，；时，；∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵有且只有一个零点，故，∴.方法2：由题意知方程仅有一实根，由得()，令，，时，；时，；时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，所以要使仅有一个零点，则.方法3：函数有且只有一个零点即为直线与曲线相切，设切点为，由得，∴，∴，所以实数的值为1.(2)由(1)知，即当且仅当时取等号，∵，令得，，，即.20.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且平面．（1）求证：G为SB的中点；（2）若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，，求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明见解析；（2）．（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，∵平面，平面平面，平面，∴，而为的中点，∴为的中点．（2）∵，分别为，的中点，∴，取的中点，连接，∵为等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，而，菱形的面积为，∴，∴．21.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，E为AD的中点，∠BAD=120°，PA=AB=BC=AD，F是线段PB上动点，记（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）设二面角F﹣CD﹣E的平面角为θ，当tanθ=时，求实数λ的值．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得四边形AEBC为平行四边形，AB∥CE，由此能证明CE∥平面PAB．（Ⅱ）法一：过F作FH∥AP交AB于点H，由已知得FH⊥平面ABCD，过H作HG⊥CD交直线CD于点G，连接FG，则∠FGH即为二面角F﹣CD﹣E的平面角，延长AB与DC交于点Q，设FH=a，则HG=2a，由此能求出．（Ⅱ）法二：以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．解答： 解：（Ⅰ）证明：∵E为AD的中点，，∴AE=BC，又AD∥BC，∴四边形AEBC为平行四边形，AB∥CE，又CE?平面PAB，AB?平面PAB，∴CE∥平面PAB．（Ⅱ）解法一：过F作FH∥AP交AB于点H，∵PA⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，过H作HG⊥CD交直线CD于点G，连接FG，则FG⊥CD，∴∠FGH即为二面角F﹣CD﹣E的平面角，，延长AB与DC交于点Q，设FH=a，则HG=2a，又∵，∴∠BQC=30°，∠PBA=45°，在Rt△HGQ中，HQ=4a，Rt△PHB中，BH=FH=a，则BQ=3a，HA=2a，∴．（Ⅱ）解法二：以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设AB=1，则由，得，由已知得F（λ，