湖南省益阳市立达中学高二数学理期末试卷含解析

湖南省益阳市立达中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D2.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点

A．(2,2)

B．(1,2)

C．(1.5,0)

D．(1.5,5)参考答案：D3.数列的一个通项公式是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0参考答案：D【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．5.已知，且，，当时均有，则实数范围是

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略6.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图周长为（）A．8 B． C． D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意知，求出底面三角形的高，由于棱柱的高已知，由矩形的周长公式求出左视图周长【解答】解：由题意，此三棱柱是一个直三棱柱，底面是一个正三角形，由直观图与主视图、俯视图可以得出，其左视图是一个矩形，其一边长为2，另一边长为底面三角形的高由于底面是一个边长为2的正三角形，故其高为所以左视图的周长为2+2++=故选B【点评】本题考查简单空间图形的三视图，解题的关键是掌握住三视图的作法规则及三视图的定义，由此得出左视图的形状及其度量．根据其形状选择公式求周长．7.若函数，则的导数（

）A.1－cosx

B.1+cosx

C.1－sinx

D.1+sinx参考答案：C8.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法参考答案：B【考点】分层抽样方法；系统抽样方法．【专题】应用题．【分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【解答】解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B．【点评】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．9.设向量，．若，则t=（

）A.8 B.－8 C.2 D.－2参考答案：D【分析】根据向量，得到关于的方程，进而可得出结果.【详解】因为向量，，若，则，解得.故选D【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.10.直线x﹣y=0与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交且直线过圆心 D．相交且直线不过圆心参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】确定出圆的圆心，比较圆到直线的距离与圆的半径的大小，进而确定圆与直线的位置关系．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1．圆心在直线x﹣y=0上，∴直线x﹣y=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且直线过圆心．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|=，则该圆的标准方程是

____

.参考答案：12.已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=．参考答案：8【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据条件可得a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12，由焦距为4，即c=2．即可得到m的值．【解答】解：由椭圆+=1的长轴在y轴上，则a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12．由焦距为4，即2c=4，即有c=2．即有2m﹣12=4，解得m=8．故答案为：813.在类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为__________________________．参考答案：

14.函数的导数

，

参考答案：15.某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i分组

(睡眠时间)组中值(Gi)频数(人数)频率(Fi)

14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．参考答案：6.4216.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为

.参考答案：17.已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是

．参考答案：3【考点】基本不等式．【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=，∴2x+y=2x+==≥2=3．当且仅当即x=1时取等号．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸．呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计男

5

女10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）参考答案：试题分析：（Ⅰ）解：列联表补充如下

患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅱ）解：因为，所以>7.879那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．

（Ⅲ）解：ζ的所有可能取值：0，1，2，3

；；

；；（Ⅲ）分布列如下：0123则

略19.在等差数列中，，公差，记数列的前项和为.（1）求；（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.参考答案：解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，.（2）若成等比数列，则，即，∴∵，∴.20.某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式.根据他们完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的人数填入下面的列联表：

超过m不超过m合计第一种生产方式

第二种生产方式

合计

（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828

参考答案：（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【分析】（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出，然后结合所给数据得到结论．【详解】（1）由茎叶图知，即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80．由题意可得列联表如下：

超过不超过合计第一种生产方式15520第二种生产方式51520合计202040

（2）由列联表中数据可得，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．21.如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，结合AD⊥CD可得CD⊥平面PAD，因为CD是平面PDC内的直线，所以平面PDC⊥平面PAD；（2）取AD中点O，过O作OF⊥AC于F，连接EO、EF，利用线面垂直的判定与性质，可证出∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角．在Rt△EOF中，分别算出OF和EF的长，可得∠EFO的余弦值，即为所求二面角的平面角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；（2）取AD中点O，连接EO，∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴EO⊥AC过O作OF⊥AC于F，连接EF，则∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角由PA=2，得EO=1，在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×=∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==∴cos∠EFO==【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．22.（本小题满分16分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且（为实数）．（1）求二面角的余弦值；（2）当时，求直线EF与平面所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF与直线EA不可能垂直．参考答案：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．则，....................2分设平面的法向量为，则．即．令，则．∴平面的一个法向量．又平面的一个法向量为．．....4分故，即二面角的余弦值为......