湖南省邵阳市松坡中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省邵阳市松坡中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2016郑州一测）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：D设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．2.在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．3.下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与。A.①②

B.①③

C.③④

D.①④参考答案：C4.已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（

）参考答案：A5.在中，条件甲：，条件乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：C略6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是（

）A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④参考答案：B【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设，则，∵，∴，∴.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴，由，解得（负根舍去）.∵，∴.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.7.已知集合M={x|y=lg（2﹣x）}，N={y|y=+}，则（）A．M?N B．N?M C．M=N D．N∈M参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意先化简集合M，N；再确定其关系．【解答】解：∵集合M={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），N={y|y=+}={0}，故选B．8.在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.9.（5分）已知x，y如下表所示，若x和y线性相关，x1

2

3

4

5y2.93.74.55.36.1且线性回归直线方程是，则b=（）A．0.7B．0.8C．0.9D．1参考答案：A【考点】：线性回归方程．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据所给的数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．解：根据所给的数据，得到=3，=4.5，∴这组数据的样本中心点是（3，4.5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴4.5=3b+2.4，∴b=0.7，故选：A．【点评】：本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题10.函数在区间()上存在零点，则的值为A．0 B．2 C．0或1 D．0或2参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是

▲

.参考答案：12.设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为

．参考答案：﹣2【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．13.已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（2，3]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0时，即方程f（x）=1有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．14.在极坐标系中，圆的极坐标方程是。现以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则圆的半径是，圆心的直角坐标是。参考答案：答案：，．15.已知（x﹣1）n的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若（x﹣1）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a1等于．参考答案：448【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】由条件求得n=7，可得[﹣2+（x+1）]7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，再利用通项公式求得a1的值．【解答】解：由题意可得2n=2×64，∴n=7，故（x﹣1）7=[﹣2+（x+1）]7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，故a1=?（﹣2）67×64=448，故答案为：448．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16.一个盒子中装有张卡片，上面分别写着四个函数：，，，，现从盒子中任取张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是_________。参考答案：17.设函数，记，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是

.参考答案：【测量目标】分析问题和解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、基本数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【试题分析】函数有仅仅有两个亮点，则函数和直线的图像只有两个交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象：①当，即时，，如图所示，要使得两函数有两个交点，则只需解得.②当，即时，如图所示，

第13题图(2)

PT3要使得两函数在()上有两个交点,则只需解得.综上，的取值范围为，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数f(x)＝lnx＋－1，（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y＝g(x)的切线。参考答案：【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）函数的定义域为，

当变化时，，的变化情况如下表：

函数在上的极小值为，

所以的最小值为

（Ⅱ）解：函数的定义域为，

由（Ⅰ）得，，所以

所以的单调增区间是，无单调减区间．

（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线．

设切点为，则，即

又，则．

所以，得，与

矛盾

所以假设不成立，直线不是曲线的切线19.已知函数是定义在上的增函数，对于任意的，都有，且满足.（1）求的值;

（2）求满足的的取值范围．参考答案：（1）取，得，

则，取，得，

则（2）由题意得，，故解得，

略20.设函数 （1）求函数的极值点;（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围;（3）证明：参考答案：（1）∵，∴的定义域为，当时，，在上无极值点.当，令、随的变化情况如下表：x+0

-递增极大值递减

从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点.(2)由（1）可知，当p>0时，f(x)在处却极大值，此极大值也是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范围为。(3)令p=1,由（2）可知，lnx-x+10，即lnxx-1.()

==.略21.（本小题满分12分）已知是函数的导数，集合，，；（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围。参考答案：22.已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）由f（x）=ax﹣1﹣lnx可求得f′（x）=，对a分a≤0与a＞0讨论f′（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+∞）单调性与极值，可得答案；（Ⅱ）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）=a﹣=，当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f'（x）≤0得0＜x≤，