湖南省长沙市宁乡县第十中学2021年高三数学文期末试题含解析

湖南省长沙市宁乡县第十中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺重量为（

）A．9斤

B．9.5斤

C．6斤

D．12斤参考答案：A由等差数列性质得中间3尺重量为,选A.

2.下列命题中正确命题的个数是①对于命题p：，使得，则：，均有；②p是q的必要不充分条件，则是的充分不必要条件；③命题“若，则”的逆否命题为真命题；④“”是“直线l1：与直线l2：垂直”的充要条件。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B3.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为A．3 B．2

C．1 D．参考答案：A4.若，则（

）（A）1 （B） （C） （D）－1参考答案：D略5.（理）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m，不考虑树的粗细．现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是参考答案：C6.函数的值域是（

）A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[0,]

D.[-,1]参考答案：A略7.若球O的半径为1，点A、B、C在球面上，它们任意两点的球面距离都等于则过点A、B、C的小圆面积与球表面积之比为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.若双曲线C:（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A．2

B.

C.

D.参考答案：A9.设集合，，则等于（A）（B）（C）（D）或参考答案：答案：A10.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

（A）243

（B）252

（C）261

（D）279

参考答案：B有重复数字的三位数个数为。没有重复数字的三位数有,所以有重复数字的三位数的个数为，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=+，其中，则的取值范围是

.参考答案：12.设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的

条件．参考答案：充分不必要13.若函数y=在区间（1，+∞）内是减函数，则实数m的取值范围是．参考答案：m＜1【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【分析】若函数y=在区间（1，+∞）内是减函数，则y′=＜0恒成立，解得答案．【解答】解：若函数y=在区间（1，+∞）内是减函数，y′=＜0恒成立，即m﹣1＜0，解得：m＜1，故答案为：m＜114.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为

．参考答案：315.已知函数，，若存在实数使成立，则实数的值为________.参考答案：【分析】先由题意得到，令，用导数的方法求出函数的最小值，再由配方法求出的最小值，结合题中条件，即可得出结果.【详解】函数，，所以令，则，令解得且当时，，单调递减；且当时，，单调递增，所以，又因为所以，因此只有与同时取最小值时，才能成立；所以，当时，也取最小值，此时，即.【点睛】本题主要考查根据导数的应用，根据函数最值求参数的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.16.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.参考答案：－317.已知P为双曲线C：＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为_____．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差101113128发芽数颗2325302616（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均不小于25的概率（2）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠

（参考公式：，）参考答案：解：（1）的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个…2分

设“均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）

所以，故事件A的概率为………4分（2）由数据得，，，，…6分

由公式，得，

所以关于的线性回归方程为……………8分（3）当时，，|22-23|，当时，|17-16|

所以得到的线性回归方程是可靠的。……………12分略19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求cosC的值；

（2）若，求△ABC的周长.参考答案：20.已知，其中，．（1）求的周期和单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，求边长和的值（）．参考答案：（1），的单调递减区间；（2）试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，求在的单调性．（3）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．试题解析：解：由题意知，的最小正周期为在上单调递减，令，得的单调递减区间，又，即，即，由余弦定理得，即又，．考点：1、三角函数的化简；2、求三角函数的周期和单调区间；3、求三角形的边长．21.设函数。（1）求不等式的解集；（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。参考答案：(Ⅰ)由得，∴∴不等式的解集为(Ⅱ)