2021-2022学年山东省青岛市即墨龙泉中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年山东省青岛市即墨龙泉中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则（

）A.2

B.

C.

D.参考答案：B2.椭圆的焦距为

A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：C略3.已知集合，，那么（

）A．[－3,3]

B．(－3,3)C．{－3,－2,－1,0,1,2,3}

D．{x|－3＜x＜3,x∈Z}参考答案：D4.设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选B．5.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高为A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知命题，命题q：?x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：由＞，解得：0＜a＜4，故命题p：0＜a＜4；若?x∈R，ax2+ax+1＞0，则，解得：0＜a＜4，或a=0时，1＞0恒成立，故q：0≤a＜4；故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．7.已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x?求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x?，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．8.定义在R上的偶函数满足时，；当且时，有，则函数是的零点个数是 A．2

B．4

C．6 D．8参考答案：9.已知集合则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数z可取（

）A.2 B.-1 C.i D.参考答案：B【分析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值.【详解】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，设抛物线C的参数方程为（t为参数，），其焦点为F，点（）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线l截得的弦长为，若，则

．参考答案：112.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）参考答案：23【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．13.设全集合,集合,,则集合

.参考答案：略14.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠； (2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠； (3)如果超过500元，则500元按第(2)条给予优惠，剩余部分给予 7折优惠． 某人单独购买A，B商品分别付款100元和450元，假设他一次性购买A,B两件商品，则应 付款是

▲

元．

参考答案：520

略15.若函数的定义域是，则函数的定义域为

．参考答案：由题意，得，解得，即函数函数的定义域为．

16.已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________,点的横坐标______.参考答案：略17.已知实数x，y满足则z=的取值范围为．参考答案：[]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点.

(I)

求证：EF∥平面SAD;

(II)

设SD=2CD=2，求二面角A－EF－D的大小.参考答案：解析：解一:(Ⅰ)作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连结AG,，

·····························（2分）又，故,AEFG为平行四边形．··················（4分）EF∥AG，又AGì面SAD,EF?面SAD.所以EF∥面SAD.·············（6分）

(Ⅱ)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,DADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连结DH，则DH^AG.又AB^平面SAD，所以AB^DH,而AB∩AG=A,所以DH^面AEF．·······（7分）取EF中点M，连结MH，则HM^EF.························（8分）连结DM，则DM^EF.故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角,················（9分）tan∠DMH===.·········（11分）所以二面角A-EF-D的大小为·····················（12分）解二：(Ⅰ)如图，建立空间直角坐标系D-xyz．················（1分）设A(a,0,0),S(0,0,b),则(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),F(0,,),=(-a,0,).取SD的中点G(0,0,),则=(-a,0,).·····················（4分）=,所以EF∥AG，又AGì面SAD,EF?面SAD.所以EF∥面SAD··········（6分）

(Ⅱ)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C0,1,0),S(0,0,2),E(1,,0),F(0,,1).EF中点M(,,),·······················（7分）=(-,-,-)，=(-1,0,1),·=0,MD^EF·······（8分）又=(0,-,0),·=0,EA^EF所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角··············（9分）又cos<,>==.·······················（11分）所以二面角A-EF-D的大小为arccos．··························（12分）19.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求出两个班数据的平均值都为7，求出甲班的方差，乙班的方差，推出结果即可．（2）X、Y可能取0，1，2，求出概率，得到分布列，然后分别求解期望．【解答】解：（1）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差，乙班的方差，因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定．（2）X可能取0，1，2，，，，所以X分布列为：X012P

数学期望Y可能取0，1，2，，，，所以Y分布列为：Y012P

数学期望．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法．本题主要考查学生的数据处理能力．20.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的方程可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，，当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为（其中t为参数）．消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y=x+2．又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，有，即，于是当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值）【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．（1）当变化时，证明点的轨迹为抛物线。并求此抛物线方程．（2）如图，在（1）的抛物线中，过点的两直线与抛物线相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，．求证直线恒过某定点．参考答案：（1）由，得点是线段的中点，又由，所以，因为，即为点到直线的距离，则点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，所求点的轨迹的方程。---------------------------------