福建省龙岩市连城县北团中学高三数学理期末试题含解析

福建省龙岩市连城县北团中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，且.现给出以下结论：

①；②；③；④.

其中正确结论的序号为A．①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：C2.已知x=2是函数f（x）=x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A．15 B．16 C．17 D．18参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】求出导数，由题意得，f′（2）=0，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3ax+2的导数f′（x）=3x2﹣3a，由题意得，f′（2）=0，即12﹣3a=0，a=4．f（x）=x3﹣12x+2，f′（x）=3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2），f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣2；f′（x）＜0，得﹣2＜x＜2，故x=2取极小值，x=﹣2取极大值，且为﹣8+24+2=18．故选D．【点评】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题．3.已知函数有两个零点，，则下面说法正确的是（

）A. B. C. D.有极小值点，且参考答案：D由题意得,因为，所以,设则由图像法知,,,解得因此,令,则,所以因此,因此A错误；方程有两个不等的根,即与有两个不同的交点.因为所以在上单调递减,且，在上单调递减且，在上单调递增且，且，B错误;令,则所以因此,因此C错误;由,当时当时所以有极小值点由得因此所以所以,D正确.选D.点晴：本题考查的是利用导数解决函数的极值点偏移问题.解决这类问题有三个关键步骤:第一步求导数，根据导函数的正负确定函数的单调增，减区间和极值点，第二步在相对小区间上构造函数和0比较大小，第三步在相对大区间上利用已知函数的单调性得到目标式的大小比较.4.当时，不等式

恒成立，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.过点作斜率为(≠0)的直线与双曲线交于两点，线段的中点为，为坐标原点，的斜率为，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.的值为A. B. C. D.参考答案：A，故选A.7.若方程的根在区间（，）（）上，则的值为（

）

A．－1

B．1

C．－1或2

D．－1或1参考答案：D画出与在同一坐标系中的图象，交点横坐标即为方程的根。故选择D。如图所示。一根，对应的，另一根，对应的，故选择D。本题根从图象上可得。可构造函数，利用零点定理判断。因为，，所以。8.已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4 B．2 C． D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：抛物线方程化为，∴，∴焦点到准线距离为，∴，故选D．9.设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D由题意得，双曲线的方程，可知，又椭圆的离心率为，即，所以，则，所以，故选D.

10.已知，都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①

②

③若则等于A．

B．2

C．

D．2或参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=

.参考答案：由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。12.函数在区间上的最小值是

参考答案：略13.已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．参考答案：（﹣1，）．【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集为（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．14.将甲、乙、丙、丁四名志愿者分到三个不同的社区进行社会服务，每个社区至少分到一名志愿者，则不同分法的种数为_____．参考答案：3615.已知向量,其中,,且,则向量和的夹角是_________；参考答案：由题意知设与的夹角为,则16.设,满足约束条件，若目标函数，的最大值为，则的最小值为_______________参考答案：17.已知，，则__________．参考答案：【分析】根据三角函数的基本关系式求得，进而求得，即可求解，得到答案．【详解】根据三角函数的基本关系式可得，又因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:）

参考答案：（1）；（2）；

略19.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE?BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE?BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA?EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE?BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA?EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE?BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．20.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）当时，与相交于两点，求的最小值.参考答案：（1）∵，∴.∴.∴，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）可知圆心坐标为，半径为2，直线过点，∴，∴时，的最小值为.21.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝；

sinB＝cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．参考答案：(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝si