湖南省邵阳市朝仪乡中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

湖南省邵阳市朝仪乡中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.长方体ABCD—A1B1C1D1，，，，则点到平面的距离是（

）

A．

B．

C．

D．2参考答案：C略2.若A，B，当取最小值时，的值为（

）

A．6

B．3

C．2

D．1参考答案：D略3.圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为(

)A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=10参考答案：A【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】要求圆的方程，因为已知圆心坐标，只需求出半径即可，所以利用两点间的距离公式求出|BC|的长度即为圆的半径，然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：因为|BC|==，所以圆的半径r=，又圆心C（6，5），则圆C的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣5）2=10．故选A．【点评】此题考查学生灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．4.的值为（

）A.0 B.1024 C.－1024 D.－10241参考答案：A【分析】利用二项式定理展开再化简即得解.【详解】由题得原式=====0.故选:A【点睛】本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知函数f(x)=,那么函数f(x)(

).A.是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数

B.是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数C.是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数D.是偶函数，且在(0，+∞)上是减函数参考答案：B略6.已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（）

A.a

B.0＜a＜

C.

D.参考答案：C命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，由于|x-1|+|x+1|≥2，故有3a≤2，即命题q：为减函数，可得2a-1∈（0，1），即a∈（，又p且q为真命题，可得a∈故选C

7.若的展开式中所有二项式系数的之和为32，则展开式中的常数项是（

）A.－270 B.－90 C.270 D.90－参考答案：B【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项．【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，得，解得，由的展开式的通项为，令得，即该展开式中的常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．8.在三棱锥中，两两互相垂直，.点分别在侧面，棱上运动。，为线段的中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成两部分的体积之比等于

（）A．1:63

B．1:（16）

C．

D．参考答案：C略9.直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（

）A. B.2 C. D.参考答案：C抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此．

10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则的面积为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】设直线的方程为，与抛物线联立，设，由，所以，结合韦达定理可得，，由可得解.【详解】因为抛物线的焦点为所以，设直线的方程为，将代入，可得，设，则，，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面积，故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由转化为是解题的关键，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为

。参考答案：解析：可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得12.过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积为．参考答案：2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S=|OF|?|y1﹣y2|．直线为x﹣y﹣1=0，即x=1+y代入y2=4x得：y2=4（1+y），由此能求出△OPQ的面积．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S=|OF|?|y1﹣y2|．过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为x﹣y﹣1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：y2=4（1+y），即y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|y1﹣y2|===4，∴S=|OF|?|y1﹣y2|=×4=2．故答案为：213.已知分别是双曲线的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B，则的面积等于_______参考答案：414.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若,则该椭圆的离心率为

参考答案：15.已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为．参考答案：﹣＜m＜1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，解可得：﹣＜m＜1，即m的取值范围是﹣＜m＜1，故答案为：﹣＜m＜1．16.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件、件、件.为了了解它们产品的质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间抽取了件，则=______.参考答案：13

略17.已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=

．参考答案：8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分8分）已知命题“若，则有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．参考答案：解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．19.在直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为()与圆C交于M，N两点，求的面积.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解圆的极坐标方程；（2）由圆的方程，求得圆心的极坐标为，联立方程组，解得交点的极坐标，再利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由圆的方程，可得，又由，代入可得，所以，即圆的极坐标方程为.（2）由圆的方程，可得圆心坐标为，极坐标为，联立方程组，解得交点的极坐标为，所以，所以的面积为.【点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答总熟记直角坐标与极坐标的互化公式，以及合理利用利用曲线的极坐标方程和三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.(本小题12分)已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值参考答案：略21.已知函数的图象过点（-1，-6），且二次函数的图象关于y轴对称。(1)求m、n的值；（2）求函数y=f(x)的单调区间。

参考答案：解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①

…2分由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,…3分则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;…4分由于二次函数g(x)图象关于y轴对称，所以，解得m=-3,

…5分代入①得n=0.于是有m=-3,

n=0.

…6分（2）由于f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).…7分由f′(x)>得x>2或x<0,

…8分故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)<0得0<x<2,

…11分故f(x)的单调递减区间是（0，2）

…12分略22.（14分）