黑龙江省哈尔滨市哈轻中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市哈轻中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（

）A．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和参考答案：C由题意可知，为求首项为1，公差为4的等 差数列的前1009项和.故选C.

2.已知是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点的最大值为

A．

B．

C．1

D．

参考答案：C3.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略4.函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．【点评】本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题．5.设等比数列{}的前n项和为

，若

=3，则

=（

）A、2

B、

C、

D、3

参考答案：B6.已知、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：（

）

①若，则;

②若，则;

③若，则;

④若，则.其中真命题的序号是

A．②③

B．①④

C.①③

D．②④参考答案：C略7.已知两个不同的平面和两条不重合的直线，则下列四个命题正确的是A．若∥则∥

B．若∥，∥，则∥

C．若，则

D．若∥，∥，则∥参考答案：D8.下列各命题中正确的命题是（

）①命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；②命题“”的否定是“”；③“函数的最小正周期为错误！未找到引用源。”是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。A．②③ B．①②③

C．①②④ D．③④参考答案：A9.已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是(A)(B) (C)(D)参考答案：10.（5分）已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0B．f（x1）＞0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0D．f（x1）＜0，f（x2）＞0参考答案：C【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题．【分析】：已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=﹣，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；解：∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），可令h（x）=，g（x）=﹣，如下图：当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，故选C；【点评】：此题主要考查指数函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这是高考的热点问题，是一道基础题；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，四面体中，两两垂直，且

.给出下列命题：①存在点（点除外），使得四面体仅有3个面是直角三角形；②存在点，使得四面体的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点，使得四面体是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点，使得四面体与四面体的体积相等；⑤存在无数个点，使得与垂直且相等.其中正确命题的序号是

▲

．（把你认为正确命题的序号都填上）

参考答案：①②⑤略12.一块边长为的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器，为底面的中心，则侧棱与底面所成角的余弦值为

．参考答案：13.设等差数列的前项和为，且，则_______参考答案：30【知识点】等差数列的性质及前n项和.

D2

解析：因为，所以，所以.【思路点拨】根据等差数列的性质及前n项和公式求解.14.设则

参考答案：【知识点】对数的运算性质；函数的值．B1

B7【答案解析】

解析：g（）=ln，g（g（））=g（ln）==，故答案为：．【思路点拨】利用对数及指数的运算性质可求得答案.15.的内角的对边分别为，若，,则等于

参考答案：16.（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥；③若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；﹣1就是它的均值点．②不正确．反例：f（x）=x在区间上．③正确．由定义：得，又x0∈（﹣1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．故答案为：①③④．【点评】：本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．17.在正三棱锥P—ABC中，PC垂直于面PAB，PC=，则过点P、A、B、C的球的体积为

．参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a．若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/度）计费，未超出部分按平价计费，为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）：（Ⅰ）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（I）根据前四组（用电量在区间[0，80）内）的累积频率为0.7，可得临界值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别求出电量在区间[0，80），[80，100），[100，120）用户的节电量，累加可得答案．（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，则超出部分对应的总电费也不变，由此构造方程可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知中的频率分布直方图，可知：前四组（用电量在区间[0，80）内）的累积频率为：（0.0020+0.0060+0.0120+0.0150）×20=0.7，故若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，临界值a=80；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；故用电量在区间[0，80）内的用户节电量为0度；用电量在区间[80，100）内的25户用户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意每户节约6度，共6×25=150度；用电量在区间[100，120）内的5户用户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意每户节约18度，共18×5=90度；故样本的100户住户共节电150+90=240度，用样本估计总体，估计全市每月节约的电量为240×=480000度；（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，由出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，故超出部分对应的总电费也不变；由（Ⅰ）（Ⅱ）知，抽取的100户用户中，超出部分共计10×25+30×5=400度，节约了240度后，剩余160度，故400×0.5=160b，解得b=1.25【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度中档．19.【选修4－5：不等式选讲】

已知，不等式的解集为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时，证明：.参考答案：略20.设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R.若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数a的取值范围.

参考答案：.

由“或是真命题，且是假命题”，可知，一真一假，当真假时，，有的取值范围是当假真时，，有的取值范围是.综上，的取值范围是.21.(本题满分１４分)如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面,．(1)求证：平；(2))若，求四棱锥的体积．参考答案：证明：（1）由是菱形………………3分由是矩形………………6分（2）连接，由是菱形，由面,，……………10分则为四棱锥的高由是菱形，，则为等边三角形，由；则，………14分22.（16分）如图，设点A，F1，F2分别为椭圆的左顶点和左，右焦点，过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B，连接BF2并延长交椭圆于点C．（1）求点B的坐标（用k表示）；（2）若F1C⊥AB，求k的值．参考答案：【分析】（1）根据题意，设点B（xB，yB），直线AB的方程为y=k（x+2），与椭圆的方程联立解可得xB的值，将xB的值代入直线方程可得yB的值，即可得答案；（2）由椭圆的标准方程可得F2坐标，由直线的点斜式方程可得直线BF