陕西省西安市和平中学2022年高二数学文模拟试卷含解析

陕西省西安市和平中学2022年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆E：，圆O：x2+y2=a2与y轴正半轴交于点B，过点B的直线与椭圆E相切，且与圆O交于另一点A，若∠AOB=60°，则椭圆E的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质；KI：圆锥曲线的综合．【分析】由等边三角形可得|AB|=a，设直线AB的方程为y=kx+a（k＞0），求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得k=，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由∠AOB=60°，可得△ABO为等边三角形，即|AB|=a，设直线AB的方程为y=kx+a（k＞0），圆心到直线的距离为d=，弦长|AB|=a=2，解得k=，可得直线y=x+a，代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，可得（b2+a2）x2+a3x+a4﹣a2b2=0，由直线和椭圆相切，可得：△=a6﹣4（b2+a2）（a4﹣a2b2）=0，化简可得b2=a2，由b2=a2﹣c2，可得c2=a2，即有e=．故选：D．2.在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，且，则下列命题正确的是（

）A.若，则

B.若异面，则异面

C.若，则

D.若相交，则相交

参考答案：D3.函数的零点一定位于区间 A． B．C． D．参考答案：B略4.若点P（a，b）是直线上的点，则（a+1）2+b2的最小值是（）A．3 B． C． D．0参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】求出M（﹣1，0）到直线的距离d，即可得出（a+1）2+b2的最小值=d2．【解答】解：求出M（﹣1，0）到直线的距离d==，∴（a+1）2+b2的最小值=d2=3．故选：A．5.设a,b为实数，若复数，则A. B.C. D.参考答案：A【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选：A．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．6.圆与圆的位置关系是（

）A.相交 B.内切 C.外切 D.相离参考答案：C【分析】据题意可知两个圆的圆心分别为，；半径分别为1和4；圆心距离为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系.【详解】设两个圆的半径分别为和，因为圆的方程为与圆所以圆心坐标，圆心距离为5，由，可知两圆外切，故选C.7.互不相等的三个正数a、b、c成等差数列，又x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，那么x2、b2、y2三个数（）A．成等差数列，非等比数列B．成等比数列，非等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不成等差数列，又不成等比数列参考答案：A【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】解法1：对于含字母的选择题，可考虑取特殊值法处理．比如a=1，b=2，c=3即可得结论．解法2：因为就研究三项，所以可用等差中项和等比中项的定义来推导即可．【解答】解法1：取特殊值法令a=1，b=2，c=3?x2=2，b2=4，y2=6．解法2：b2﹣x2=b2﹣ab=b（a﹣b），y2﹣b2=bc﹣b2=b（c﹣b）a﹣b=c﹣b?b2﹣x2=y2﹣b2，故x2、b2、y2三个数成等差数列．若x2、b2、y2三个数成等比数列，则与题意矛盾．故选

A．【点评】本题主要考查等差中项：x，A，y成等差数列?2A=x+y，等比中项：x、G、y成等比数列?G2=xy，或G=±．8.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（

）

A.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB.若m∥n，m⊥α，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥α，m?β，则α⊥β[参考答案：A略9.已知函数，若，则A．

B．

或

C．

D．

参考答案：C略10.已知P:|2x－3|<1,Q:x(x－3)<0,

则P是Q的（

）

A.充分不必要条件；

B.必要不充分条件；

C.充要条件；

D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是计算1＋＋＋…＋的流程图，判断框中？处应填的内容是________，处理框应填的内容是________．参考答案：99,12.函数y=的最小值为_______________参考答案：13.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，P为x轴上一动点，经过P的直线y＝2x＋m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为________．参考答案：即双曲线的渐近线与直线y＝2x＋m平行，即＝2，所求的离心率e＝＝＝.14.点，点，动点满足，则点的轨迹方程是

参考答案：15.用“秦九韶算法”计算多项式，当x=2时的值的过程中，要经过

次乘法运算和

次加法运算。参考答案：5,516.曲线在点(1,0)处的切线方程为__________．参考答案：y=2x–2分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.17.已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量a与b的夹角为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设向量，，x∈R，记函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=sinxcosx+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…3分∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：，k∈Z…5分（2）∵，∴sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣=，∴A=，…7分∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣bc≥（2﹣）bc，（当且仅当b=c时等号成立）∴bc≤=2+，又∵sinA=sin=，…10分∴S△ABC=bcsinA=bc≤（2+）=，（当且仅当b=c时等号成立）∴△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．19.已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.参考答案：解：(1)由椭圆方程得焦点

由条件可知，双曲线过点(3，-2)，根据双曲线定义，

即得，所以

双曲线方程为：，……8分（待定系数法也可）(2)由(1)得双曲线的右准线方程为：

∴

从而可得抛物线的标准方程为：。………14分

20.已知递增的等比数列{an}满足，且是，的等差中项.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求使成立的n的最小值.参考答案：（1）（2）5【分析】（1）由已知且是的等差中项，联立方程组，求得，代入求得，即可求解等比数列的通项公式；（2）由，求得，利用乘公比错位相减法，求得，列出不等式，即可求解．【详解】（1）由已知且是的等差中项得，解得，代入，可得，解得或，因为递增等比数列，所以，因为，所以，所以，所以．（2）由，所以，，，两式相减得：，所以，使，整理得，所以使成立的正整数的最小值为5．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.21.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则?=（﹣1，0，1）?（0，，0）=0，?=（﹣1，0，1）?（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD?平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．22.（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1（3）求A1B1与平面A1CD所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则DE∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）推导出CD⊥AA1，CD⊥AB，从而CD⊥面ABB1A1，由此能证明平面A1CD⊥平面ABB1A1．（3）作B1E⊥A1D于E，则∠B1A1E为所A1B1与平面A1CD所成角，由此能求出A1B1与平面A1CD所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1A1A是平行四边形，∴E为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，∵BC1?平面A1CD，DE?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．…（2）∵A1A⊥平面ABC，