2012数学竞赛提优教程教案第06讲函数概念新

6A1（1）f(x)

2xlg(2x

(3（2）f(x)lg(xka)lg(x2a2)(a00x2xx22x1

x122， 2x1

xx故函数定义域为2

2

)2

x（2）x满足x2a2xa或x由于又a0xa或xk1时，函数的定义域为(ka,当1k1时，函数的定义域为(a,k1时，函数的定义域为(ka,a(a,（组）的解，若含有参例 已知函数yf(x)的定义域为[－1，1]，求函数F(x)f(ax)

f(a

（a0） 分析F(xf(ax)f()的定义域的交集，其中ax

[－1，1]aa1ax

1x1解由题意得 因为a0，所以 1

ax,a1a1a1，不等式组的解集为[11, a1F(x的定义域是

,]；a当0a1a1a1，不等式组的解集为[aa]， F(x的定义域是[aa]．说明一般的，若函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式ag(xb例 （1）f(x)＝x12x；（2）f(x)

2x22xx2x

（3）f(x)

x24x；x2x（4）f(x)|x1||x2||x3|；x22x（5）f(x) x22x22x11

1t2 t（ 0，则x 21所以f(x) t

1(t1)2 又t0f(x11(t1)21，21f(x的值域为(1说 函数f(x)

x

f(xg(t11(t1)221th(x) 复合而成，即f(x)g(h(x．为了求函数f1h(xttg(tf(x设设th(xAByg(tB/C/BBtBy（CCyy＝f(x

2x22x，x2x得(y―2)x2―(y―2)x－y－3＝0 当y＝2时，①式不成立，无对应的实数x，y≠2时，△＝(y―2)2―4(y―2)(y＋3)≥0y2y>2 y2或y>2，即函数的值域为(, (2,)f(x

2x22xx2x

x2x令t

x2x1(x1)2

，由t5，故4

f(x)2t

的取值范围是 即函数f(x)的值域为(, (2,)f(x)

x24xx2x2

=x11 （x3x x 所以f(x)1,f(x) ，即函数的值域为(, ( ax2bx说 形如f(x)dx2exf(d0)的函数的值域常常利用判别式加以求解在解题过ax2bxcdx2exfmxpx（注意定义域）ady0若将若将yyf(x便可以看作是关于xxy的（1（2PBx=2时，达到最小值，故值域为AnAnA1A2An

xA

f(x)|xx||x

| |xAnA

n为偶数时，x对应点落在中间两点之间（包括两点）f(xx22xx22x

(x1)21

(x1)21P（x，0）x22x2A（1，1x22x2说明利用几何图形的直观性是求值域的法

，即函数的值域为[22ab

（a>0，b>0)x22xxx22xx22x24(x22x2)(x22x24x4422x=0时取等号，故函数的值域为[22A，BxAxBA，BAB=|xAxB|面上有点AB，坐标分别为A（x1y1、B（x2y2）AB两点间的距离AB=(xx)2(yy)2 f(xBBC．A

11

的定义域为A，y=f[f(x)]的定义域为B，则 BBD．A,f(x的定义域为[11yf(x2x,

2 3（1） 的值域 （省1999年高中数学竞赛（2）函数f(x)9x9x2(3x3x)的最小值是 （2005年数学竞赛B

D．4f(x)9x3

计算和f )

f )

f )…＋f

（1995年第二十七届数学题改编

1f(xf x解由于f(x)＋f x

， 9x 9x， 因 f )f ,2005 从而f )f )f )…＋f

例5f(x3x23x4m29x∈m，1m]254x分析限定在区间[―m；1―m]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单况．二f(x3x23x4m29xR)x1 1 2f(x3x23x4m29x11当 1

m32f(1)4m23．由4m23=25得|m

1 ，不符 的条件．故

[,2当1＞1mm3f(x3x23x4m29x∈m，1m f(1mm29m15254m5m23m23m3x=1m 5=－3 当1＜mm1f(x3x23x4m29x∈m，1m ，是减函数，故f(m)m23m9 m=7或m=13．其中m=7不合m， 的条件，舍去．此时x=m= 2

x2

f(x说明二次函数在给定区间上的值域（或最值）问题，常常需要对称轴与区间的关系，进f(x3x23x4m29x∈m，1m]4例6 设集合M{x|1≤x≤9，x∈N}，P{(a,b,c,d)|a,b,c,dM}．定义P到Z的映射f

a,b,cd)abcd．若uvx,yMf

u,v,x,

）（u,y,x,v)（1986分析注意到由（uvx

）39，（uyxv)66可以得到关于uvxy且uvxy全是正整数，故可以考虑整数的质因数分解．解由题意得：uvxy

uyxv

（1）＋（2）得(ux)(vy)105357（2）－（1）得yv)(ux)27

0ux＜9vy≤18，0yv＜9ux≤18，（3ux=7，vy=15，yv=3，ux解得u8,v6x1y9，故uvxy24例 设f(x)x

1x，对于任意的a,(aR2xua

fx

x[1|)],}3minf(xax|x[1,3]}，试求出u(ag(x)f(xaxg(x的单调性，从而求出u(a1 解令g(x)f(x)ax= (1a)x1,(2xg(11ag(212ag(323aa0yg(x是一个不减的函数，故有max{g(x|x[1,323amin{g(x|x[1,31a，此时u(a)12a(a0)．当0a1yg(x先减后增，故min{g(x|x[1,312a。比较1a23a1当0a 时，max{g(x)|x[1,3]}23a，u(a)1a21a1max{g(x|x[1,31au(aa2当a

y

max{g(x|x[1,31amin{g(x)|x[1,3]}23a此时u(a2a1

1

(a11由上述讨论知u(a)

(0a 21

a1显然u(a)min21

2a (a f(x1x2f(1f(2f(21

f(3)f(3 f(2006)

f )

1上的最大值为－3，则a的值可为 3 B． C．

DD．（市1985年高中数学竞赛

n表示订购书的数量，C(n)n本书所付的书款数(单位：元)nnn5160本，则（市2001年高中数学竞赛Cn (n例 定义域为正整数的函数f满足f(n)f(f(n (n

f（1990年第一轮选拔赛题分析f(90)f(f(97))f2(97) ，又因f(1000997f2(1000f(997)f2 f1(n

f(n)，fm1(n)f(fm(n))f(90ff(97f2(907) f131(901307)f131(1000)f(1000997f2(1000)f(997)f2 f3(1000)f(998)f2(1005) f4(1000)f(999)f2(1006) f5(1000)f(1000)f1(1000)fm(10004997，998，999，1000，又131÷4=323，f(90)f131(1000)f3(1000)999．在复合函数中，有一类重要的情形，即函数迭代：设函数y在复合函数中，有一类重要的情形，即函数迭代：设函数yf(x)，记fn(x)f( f )nfn(xyf(xnfn(x)f(fn1(x))7．已知f

是定义在R上的函数，f(11，且对任意的xR

，都有f(x5)f(x) (1)；f(x1)f(x) g(xf(x1xg(2007（2002年联赛题改编xR，对于函数f(x满足条件f(x21)x45x23，那么对所有的xRf(x21) (1a2(1a2)x23(1a)x

的定义域为Ra的取值范围 (市1996年高一数学竞赛 （市1994年高中数学竞赛 （市1996年高一数学竞赛函数y=x+x2－3x+2的值域 （2001 高中 赛若两数19x＋1，92x＋74的最大值非负，则实数x的取值范围 (市1992年高中数学竞赛设P(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，其中a，b，c，d是常数．如果P(1)＝10，P(2)＝20，P(3)＝30，则P(10)＋P(－6)＝ （市1992年高中数学竞赛ax2bxy

x2

26a、bfnf(n)=f[f(n

若n若n(1984年第2届数学邀请赛若关于x的不等式 <0的解集是一些区间的并集，且这些区x+(a+4a－5)x－a4a(市2001高中数学竞赛1．解：A＝{x|x∈R1x＋ 1 x＋1≠B＝{x|x∈Rx≠－1，x≠0}BA≠

1x2x1

5 5

x1 5，5 11 2

,0] 11 （

1(

1于是函 的值域为

（2）f(x)9x9x2(3x3x)3x3x)22(3x3x令t3x3x2yt22t2(t1)23，最小值为2D f(xfx11

1 所以原式等于 2±＋a<－13x=1时，f(x)max=－a2－1=－3，a=±2，a=－2C．6nnnP成本∴公司至少能赚602－300＝302元，至多能赚684－300＝384元比较（1）f(x+5)=f(x)+5．由（2）得f(x21)x4x29a=1f(x)

6R当a=－1时，f(x) 6x6，定义域不为R，不合②若1a20g(x)1a2x23(1a)x6f(xRg(x0对xR∴9(1a)224(1a2)1a∴

即 a1；555综合①、②得a的取值范围 ]

yaOaxx∈[0，1]a≤0M(a)=1－a，a>0时，若2a≥1M(ayaOax若2a<1a≤0

≥2；当 ∴ y=x+x2－3x+2得 两边平方得(2y－3)x=y－2，从而y2且

≥0

≥0，即1≤

x≥2，于是x－3x+2≥0且y=x+x x2－3x+2≥0y=x+因此，所求函数的值域为 3719x＋1≥92x＋74x≤－1．x≤－119x＋1，x>－192x＋74x≤－1时，19x＋1<0x>－1得 －46x∴解：将原函数去分母，并整理得(ay)x2bx(62y)yay26yab24(ay)(62y)

y(a3)y3a 8

所以

a3

a5,b263a

f(999)=f[f(999+5)]=f(1001)=998，f(998)=f[f(998+5)]=f(1000)=997，f(997)=f[f(997+5)]=f(999)=998，f(996)=f[f(996+5)]=f(998)=997，f(