四边形证明题的经典问题(优秀学生在几何证明方面应知必会的习题)

四边形证明题的经典问题(优秀学生在几何证明方面应知必会的习题)

(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，E为DA的中点，且BC=DC+AB。证明BE⊥EC。解：连接AC，BD，画出高线BE和EC。由于AB∥CD，因此∠ABC=∠ADC。又因为E为DA的中点，所以AE=EC，DE=EB。又BC=DC+AB，因此AC=BD。所以△ABC≌△ADC，∠CAB=∠DCA。又因为AE=EC，所以△AEB≌△CEB，∠AEB=∠CEB。所以∠AEB+∠CEB=180°，即BE⊥EC。(2)在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2。(1)若CE=1，求BC的长；(2)求证AM=DF+ME。解：(1)连接AE，CF，画出高线ME和DF。由于F为BC的中点，因此BF=FC，又因为菱形ABCD，所以AC=BD。所以△ABF≌△CBE，BF=CE。又因为F为BC的中点，所以FM=MC。所以△MFE为45-45-90三角形，ME=MF。所以DF=BC-CE=BC-1。又因为△ADM与△ACM相似，所以AM=AC×DM/CM。因为ABCD为菱形，所以AC=BD=BC。又因为△DFE与△CDE相似，所以DE/CE=FE/DE，即DE^2=CE×FE=CE^2+1。所以DM=DE-1=CE+√2-1。所以AM=BC×(CE+√2-1)/CM=BC×(CE+√2-1)/(CE+√2+1)。因为CE=1，所以BC=2√2。(2)连接AD，BE，CF，画出高线ME和DF。由于F为BC的中点，因此BF=FC，又因为菱形ABCD，所以AC=BD。所以△ABF≌△CBE，BF=CE。又因为F为BC的中点，所以FM=MC。所以△MFE为45-45-90三角形，ME=MF。所以DF=BC-CE。又因为CF=AD+BF，所以AD=CF-BF=CE+1。所以AM=AC×DM/CM=BC×DM/CM=BC×(CE+√2-1)/(CE+√2+1)。因为CE=1，所以AM=BC×(1+√2-1)/(1+√2+1)=BC×(√2/2)=BC/√2。又因为△ABE与△CDE相似，所以AE/CE=BE/DE，即AE^2=CE×BE=CE^2+1。所以EM=AE-AM=CE+√2-1-BC/√2。又因为△DFE与△CDE相似，所以EF/DE=DF/CE，即EF=(CE-DF)×DE/CE=DE^2/CE-CE=CE+1-2/CE。所以PQ=EF-PC=CQ-PC-CE=5-BC/√2-1-CE=4-BC/√2。(3)在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE。(1)若正方形ABCD的边长为4，BE=3，求EF的长？(2)求证：AE=EC+CD．解：(1)连接AF，BE，CF，画出高线EF和AD。因为AF平分∠DAE，所以∠EAF=∠EAB+∠DAE/2=45°。又因为F为CD的中点，所以CF=FD=2。所以△EAF为45-45-90三角形，EF=AE=4-3=1。(2)连接AF，BE，CF，画出高线EF和AD。因为AF平分∠DAE，所以∠EAF=∠EAB+∠DAE/2=45°。又因为F为CD的中点，所以CF=FD=AB/2=2。又因为BE=3，所以AE=AB-BE=1。所以AE=EC+CD。(4)在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC。(1)若AD=3，CG=2，求CD；(2)若CF=AD+BF，求证：EF=CD。解：(1)连接AC，BD，画出高线DG和BH。因为DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，所以BG=GC=2，CD=DH+GC=4。又因为AD∥BC，所以△ABC∽△ADB，AC/AB=AB/AD，所以AB=√2×AD。所以BC=√2×AD+CD=√2×3+4=4+3√2。(2)连接AD，BE，CF，画出高线EF和DC。因为CF=AD+BF，所以BF=CF-AD=2+3=5。又因为EF∥DC，所以△EFB∽△DCB，EF/DC=BF/BC，所以EF=CD×BF/BC=CD×5/(4+3√2)。又因为AD∥BC，所以△ADB∽△CDB，AD/CD=BD/DB，所以CD=AD×DB/BD=3×(BC-AD)/AB=3×(4+3√2-3√2)/(√2×3)=3(2+√2)。所以EF=CD×5/(4+3√2)=3(2+√2)×5/(4+3√2)=3√2。(5)在等边三角形ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边三角形CDE，连接BE。(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长。解：(1)连接AD，BE，CF，画出高线DE和BF。因为AO是∠BAC的角平分线，所以BD/DC=AB/AC=1。又因为CD为等边三角形，所以AC=AD=AB。所以△ACD≌△BCE。(2)连接AD，BE，CF，画出高线DE和BF。因为BC=8，所以AC=AB=BC/√3=8/√3，AD=AC/√3=8/3。又因为AO是∠BAC的角平分线，所以BD/DC=AB/AC=1，所以BD=DC=8/√3。所以BE=BD+DE=8/√3+8/√3=16/√3。又因为CP=CQ=5，所以PQ=PC×sin∠PCQ=5×sin∠ACB=5×√3/2=5√3/2。1.对文章进行排版和格式修正，删除明显有问题的段落。∠EBC．在线段AD上取一点F，在线段BE上取一点G，使得BF=BG，连接CG．（1）若AB=AF，EG=2，求线段CG的长；（2）求证：∠EBC+∠ECG=30°．正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=2，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．(1)请你通过观察、测量、猜想，写出∠AEF的度数；(2)若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连结CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如图3中，若∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．数学课上，张老师出示了问题：如图11，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=9°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图12，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；2.对每段话进行小幅度改写。∠EBC．在线段AD上取一点F，在线段BE上取一点G，使得BF=BG，连接CG．（1）若AB=AF，EG=2，求线段CG的长；（2）证明：∠EBC+∠ECG=30°．在正方形ABCD中，E为AB边上的一个点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F。连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H。（1）若BF=BD=2，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，证明：FH=HE+HD．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE。(1)观察、测量、猜想，写出∠AEF的度数；(2)若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连结CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如图3中，若∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．数学课上，张老师出示了问题：如图11，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=9°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图12，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；40.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1。根据题意，我们可以得出△BEF与△BFD相似，所以我们可以得出EF/FD=BE/BD，即EF=BE×BD/FD。将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2。根据题意，我们可以得出△BEG与△BDF相似，所以我们可以得出EG/BD=BE/FD，即EG=BE×BD/FD。因此，我们可以得出EF=EG，即线段EG和CG相等且重合。将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3。根据题意，我们可以得出△BEG与△BDF相似，所以我们可以得出EG/BD=BE/FD，即EG=BE×BD/FD。因此，我们可以得出EF=2×BE，即线段EG是线段CG的两倍且方向相反。将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图4。根据题意，我们可以得出△BEG与△BDF相似，所以我们可以得出EG/BD=BE/FD，即EG=BE×BD/FD。因此，我们可以得出EF=k×BE，其中k为旋转角度的正弦值，即线段EG是线段CG的k倍且方向相反。41.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE。（1）根据等腰梯形的性质，我们可以得出BE=CD和CE=AB，因此BE=CE。（2）根据题意，我们可以得出△BFE与△CFE全等，因为它们有共边FE，且∠BEF=∠CEF，∠BFE=∠CFE。因此，我们可以得出BF=CF，即△ABF为等腰三角形。42.已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG。（1）根据题意，我们可以得出△ADE与△ACG相似，因为它们有共边AC，且∠DAE=∠GAC，∠ADE=∠ACG。因此，我们可以得出AE/AC=AD/AG，即AG=AD×AC/AE。又因为AE=AC，所以AG=AD。根据题意，我们可以得出△BDE与△BCG相似，因为它们有共边BD，且∠BDE=∠BCG，∠DEB=∠GCB。因此，我们可以得出BE/BC=BD/BG，即BE=BD×BC/BG。因此，我们可以得出FC=BC-BF=BC-BE=BC-BD×BC/BG=BC×(BG-BD)/BG=BE=FC。（2）根据勾股定理，我们可以得出AC=√(AD²+DC²)=√(2²+1²)=√5。因为AE=AC，所以AE=√5。根据题意，我们可以得出AG=AD=2。因此，根据勾股定理，我们可以得出BG=√(AG²+AB²)=√(2²+5²)=√29。因此，根据题意，我们可以得出BE=BD×BC/BG=1×2/√29=2/√29。根据勾股定理，我们可以得出EF=√(BE²+BF²)=√(4/29+1)=√(33/29)。43.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF。（1）根据题意，我们可以得出△ABE与△CED全等，因为它们有共边CE，且∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CED。因此，我们可以得出AD=BE。根据题意，我们可以得出△ABF与△CED相似，因为它们有共边EF，且∠ABF=∠CED，∠BFA=∠CDE。因此，我们可以得出AB/CE=BF/ED，即BF=AB×ED/CE=AB×2/2AD=AB/AD。因此，我们可以得出△ABF为等腰三角形。（2）根据题意，我们可以得出△ABF与△CED相似，因为它们有共边EF，且∠ABF=∠CED，∠BFA=∠CDE。因此，我们可以得出AB/CE=BF/ED，即BF=AB×ED/CE=AB×2/2AD=AB/AD。因此，我们可以得出△ABF为等腰三角形，且∠BAC=∠FDC=90°。因此，我们可以得出△DGC与△BAC相似，因为它们有共边DC，且∠DGC=∠BAC，∠GDC=∠ACB。因此，我们可以得出DG/AB=DC/AC，即DG=AB×DC/AC=AB×AB/2AC=AB²/2AD。因此，我们可以得出BG=DG+BD=AB²/2AD+AD/2=AB²+AD²/2AD=AB²/AD。根据勾股定理，我们可以得出AC=√(AD²+DC²)=√(2AD²/4+AD²/4)=AD/√2。因此，我们可以得出∠ACF=45°，因为△ACF为等腰直角三角形。44.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上。（1）根据题意，我们可以得出△BFE与△CFD相似，因为它们有共边BF，且∠BFE=∠CFD，∠BEF=∠CDF。因此，我们可以得出BF/CF=BE/CD，即BF=BE×CF/CD。因为△ABF与△ACD相似，所以我们可以得出AB/AC=BF/CD，即BF=AB×CD/AC。因此，我们可以得出BF=AB×CF/AC=AB×CF/2AB=CF/2。因此，我们可以得出BF=EF-ED，即BF=EF-DE。（2）根据题意，我们可以得出△BFE与△CFD相似，因为它们有共边BF，且∠BFE=∠CFD，∠BEF=∠CDF。因此，我们可以得出BF/CF=BE/CD，即BF=BE×CF/CD。因为△ABF与△ACD相似，所以我们可以得出AB/AC=BF/CD，即BF=AB×CD/AC。因此，我们可以得出BF=AB×CF/AC=AB×CF/2AB=CF/2。因此，我们可以得出BF=EF-ED，即BF=EF-DE。根据题意，我们可以得出∠B=80°，∠DEC=70°。因此，我们可以得出∠C=180°-∠B-∠DEC=30°。根据正弦定理，我们可以得出AC/AB=sin∠C/sin∠B=s