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文档简介
第一章第二节数列的极限—、数列极限的定义引例.πnr"e
>0,
$正整数N
,(刘徽割圆术)n
>
NAn
-
S
<
e定义:数列,通项收敛发散.几何解释:a
+a
-)(nfi
¥lim
xn
=
axn
fi
a
(n
fi
¥
)例如,nn
+(-1)n-1xn
=fi
1 (n
fi
¥
)xn
=
(-1)n+1例1.证:"
e
>
0
,N
=[
1
]
,n
>
N-1
<
en
+(-1)nn例2.证:"
e˛
(0,1),N
=[
1
-1]
,n
>xn
-
0
<
e,N
=[
1
]1
-1.e不一定取最小的N
.说明:取N
=[
1
-1例3.证:ln
q
N
=
1+
ln
e
qn-1
-
0
<
eln
qn
>1+
ln
e
.二、收敛数列的性质证:a
<
b.lim
xn
=
a
,nfi
¥xn
<
a+b2lim
xn
=
b
,nfi
¥a+bxn
<
2-
b-a
<
xn
-
b
<
b-a
a+b
xn
<
3b-a2
2
2
<
22xn>
a+b取N
=
max{N1
,
N2
},
则当
n
>
N
时,
xn满足的不等式矛盾,
故假设不真
!
因此收敛数列的极限必唯一.例4.证:a2e
=
1
,a
-
1
<
xn
<
a
+
12
2xn(
a
-
1
,
a
+
1
)2
2证:e
=1
,$N
,
n
>
N<1+
a1+
axn
£
M
(
n
=1
,
2
,
)
.说明:{(-1
)n+1}xn
-
a
<1,(<
0)(<
0)证:推论:(£
0)(用反证法证明)(£
0).x
n
k
-
a
<
e,证:"
e
>
0,k
>
Knk
>‡
Nlim
x
n
k
=
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