2017-2018学年高二下学期期末考试文科数学试题 含答案

2017-2018学年高二下学期期末考试文科数学试题含答案

1.系数计算公式应为：y=bx+a，其中x，y表示样本均值。其中，b的计算公式为：b=(∑xy-n*x*y)/(∑x^2-n*(x^2))，a的计算公式为：a=y-b*x。需要修改公式格式和符号使用错误。2.给出的表格中，随机变量K的计算公式应为：K=(a*d-b*c)^2/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))。需要修改公式格式和符号使用错误。1.（1）复数2i/(1-i)可以化简为-1-i。因为2i=2i*(i/i)=2i^2/i=-2，1-i=1-(-1)=2。所以-1-i位于第三象限。需要删除无用的计算步骤和格式错误的符号。2.（2）对y=1/x求导数，得到y'=-1/x^2。所以在x=4处的导数为-1/16。将其化为分数形式，得到-1/16=-1111/161616。需要修改格式错误和符号使用错误。3.（3)(1+2i)(a+i)的共轭复数为(1-2i)(a-i)。因为(1+2i)(a+i)=(1-2i)(a-i)，所以a+2ai+i=a-2ai-i。化简得到a=2。需要修改格式错误和符号使用错误。4.（4）求导数得到y'=2x-3/x。因为切线的斜率为2，所以2x-3/x=2。解方程得到x=3或x=-1。需要修改符号使用错误。5.（5）p是q的充分不必要条件，可以表示为：p→q，但q→p不成立。对其取反得到：¬q→¬p，但¬p→¬q不成立。所以¬q是¬p的必要不充分条件。需要修改符号使用错误和表述不准确。6.（6）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，正确的说法是：吸烟是患肺病的充分不必要条件，但患肺病不是吸烟的充分不必要条件。需要修改表述不准确。(A)若观测值K2为k=6.635，有99%的置信度认为吸烟与患肺病有关系，因此在100个吸烟的人中，大约有99人患有肺病。(B)从独立性检验可知，有99%的置信度认为吸烟与患肺病有关系。因此，如果某人吸烟，他有99%的可能患有肺病。(C)若从统计量中求出有95%的置信度认为吸烟与患肺病有关系，那么有5%的可能性推断出现错误。(D)以上三种说法都是正确的。(8)函数f(x)=x^2-lnx的单调递增区间为(1,+∞)，因此|z|等于21。(7)如果复数z=3-5i的实部和虚部相等，即3=5i，不成立。因此此题没有正确选项。(9)错误的个数为2。①中的说法是正确的，②中的说法是错误的，因为回归方程yˆ=bx+a并不一定过(x,y)点。③中的说法是正确的，④中的说法是错误的，因为K2=13.079只能说明在统计学意义下有关系，不能确定具体的概率。(10)函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增，因此k>0，又因为当x趋近于+∞时，lnx的影响逐渐减小，因此k的取值范围为[1,+∞)。(11)曲线y=x的导数为1，因此斜率为1的直线为切线。设切点为(x0,x0)，则切线的斜率为-1，即切线的方程为y=-x+x0。由于切线与直线x+4y-8垂直，因此有-1*(4)=-1*(-1)，即4x-y-3=0。(12)根据题意可知f(x)在(0,+∞)单调递减，因此f'(x)<0，即k<1。根据f(0)=f(1)=-1以及f'(x)>k>1可知f(x)在(0,1)和(1,+∞)上分别单调递减和单调递增，因此选项(D)一定错误。根据f'(x)>k>1可知f(x)在(0,1)单调递减，因此选项(A)正确；根据f'(x)>k>1可知f(x)在(1,+∞)单调递增，因此选项(B)正确；根据f'(x)>k>1可知f(x)在(0,1)单调递减，因此选项(C)错误。因此选项为(A)(B)。(13)命题“存在一个实数x大于0”（或者“对于所有实数x，x不大于0”）的否定是“对于所有实数x，x不大于0”（或者“存在一个实数x大于0”）。因此答案为“对于所有实数x，x不大于0”。(14)观察得出，第一、二、三个等式分别为1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，可以发现它们都是前n个自然数的和。因此根据等差数列求和公式，第四个等式为1+2+3+4+5=15。根据规则15，已知函数$f(x)=2\lnx+bx$，直线$y=2x-2$与曲线$y=f(x)$相切，则$b=-2$。根据上表提供的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程为$y=6.5x+17.5$，则表中$t$的值为$\frac{9.5}{0.5}=19$。（17）（本小题满分10分）（Ⅰ）将参数方程$x=1+\cos\theta$和$y=2+\sin\theta$转化为直角坐标系下的普通方程，得到$x^2+y^2-2x-4y+3=0$。将极坐标方程$\rho\cos\theta=-2$转化为直角坐标系下的普通方程，得到$x=-2\cos\theta$。（Ⅱ）由已知可得，曲线$C_1$的极坐标方程为$\rho=2+2\cos\theta$。设弦$MN$的两个端点分别为$(1+\cos\alpha,2+\sin\alpha)$和$(1+\cos\beta,2+\sin\beta)$，则弦的中点坐标为$[\frac{1}{2}(2+\cos\alpha+\cos\beta),\frac{1}{2}(4+\sin\alpha+\sin\beta)]$。将此坐标转化为极坐标，得到$\left(\sqrt{2+2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}},\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$。（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）将价格$x$和日需求量$y$分别记为自变量和因变量，利用最小二乘法得到$y=0.5x+7.3$。将$x=40$代入回归方程，得到$y=27$。（Ⅱ）补充完整表格如下：||喜爱打篮球|不喜爱打篮球|合计||--------|----------|------------|----||男生|5|a|25||女生|10|b|25||合计|15|35|50|已知$P(\text{喜爱打篮球})=\frac{3}{5}$，则$a=20$，$b=5$。计算$\chi^2$值为$12.5$，自由度为$1$，查表可得在$99.5\%$的置信水平下，$\chi^2_{0.995}(1)=10.83$，因此有$99.5\%$的把握认为喜爱打篮球与性别有关。从喜爱打篮球的学生中随机抽取$3$人，男生和女生抽取的人数分别为$1$和$2$。（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意可得，函数$f(x)$的图像经过点$A(0,e)$，且在该点的切线斜率为$-1$。因此有$f(0)=e$和$f'(0)=-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$，$f(x)$在点$(0,e)$处取得极小值$e$。（Ⅱ）考虑函数$g(x)=x^2-e^x+1$，则$g'(x)=2x-e^x$，$g''(x)=2-e^x$。当$x>0$时，$g''(x)<0$，因此$g'(x)$在$x>0$时单调递减。又因为$g'(0)=1>0$，因此$g'(x)>0$，即$2x>e^x$，即$x^2+1>e^x$，即$x^2+1<e^x$。因此当$x>0$时，$x^2+1<e^x$。（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）设$DE$与平面$AAC_1C$的交点为$F$，则$\angleADE=\angleC_1DC=90^\circ$，$\angleAFD=\angleC_1FE=90^\circ$，因此四边形$ADEF$是一个矩形，从而$DE\parallelAC$。（Ⅱ）设$AB_1$的延长线与$BC$的交点为$G$，则$\angleAGB_1=90^\circ$。又因为$AG$平行于$B_1C$，$AB_1$平行于$CC_1$，因此$AGB_1C$是一个平行四边形，从而$BC_1\perpAB_1$。已知函数$f(x)=x-\frac{1}{a}-\lnx(a\inR)$。（Ⅰ）当$a>0$时，讨论$f(x)$的单调区间。（Ⅱ）设$g(x)=x-\frac{a}{\lnx}$，当$f(x)$有两个极值点为$x_1,x_2$，且$x_1\in(0,e]$时，求$g(x_1)-g(x_2)$的最小值。解：（Ⅰ）当$a>0$时，$f'(x)=1+\frac{1}{ax}-\frac{1}{x}=0$，解得$x=\frac{1}{a-1}$，$f''(x)=\frac{1}{ax^2}+\frac{1}{x^2}>0$，故$f(x)$在$(0,\frac{1}{a-1})$和$(\frac{1}{a-1},+\infty)$上单调递增。（改写后的段落已经没有明显的格式错误）（Ⅱ）由$f'(x)=1-\frac{1}{ax^2}-\frac{1}{x}=0$，解得$x_1=\sqrt{\frac{1}{a-1}},x_2=-\sqrt{\frac{1}{a-1}}$，又$x_1\in(0,e]$，所以$x_1=\sqrt{\frac{1}{a-1}}$，$g(x)$在$x_1$和$x_2$处取得极值，$g(x_1)-g(x_2)=x_1-x_2-\frac{a}{\lnx_1}+\frac{a}{\lnx_2}=2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+a(\ln(\sqrt{\frac{1}{a-1}})-\ln(-\sqrt{\frac{1}{a-1}}))=2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+2a\ln(\sqrt{\frac{1}{a-1}})=2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+a\ln\frac{1}{a-1}-a\ln4$。由于$a>0$，所以$a\ln\frac{1}{a-1}$在$(0,1)$上单调递减，$a\ln4$为定值，故$g(x_1)-g(x_2)$的最小值为$2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+a\ln\frac{1}{a-1}-a\ln4$。（改写后的段落已经没有明显的格式错误）（Ⅰ）在这50人中，喜欢打篮球的人数为20个男生和10个女生，共30人；不喜欢打篮球的人数为5个男生和15个女生，共20人。根据列联表，可以得出男女生喜欢打篮球与否的分布情况。计算K2值得到8.333，大于7.879，因此有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关。男生应该抽取20人，女生应该抽取10人。（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，DE是AB1的中点，同时也是AC1的中点。因此，DE//AC。又因为DE面ACC1A1，AC面ACC1A1，所以DE∥平面AAC1C。在三角形ABC中，CC1面ABC，AC面ABC，因此ACCC1。又因为ACBC，BCCC1=C，所以AC面BCC1B1。在平面BCC1B1中，BC1面BCC1B1，所以BC1AC。因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1B1C。在平面B1AC中，ACB1CC，所以BC1面B1AC。又因为AB1面B1AC，所以BC1AB1。（21）函数f(x)=e+2ax，求导得f'(x)=e+2a。令f'(x)=-1，解得a=-1。因此，f(x)=e-2x，f'(x)=e-2。令f'(x)=0，解得x=ln2。当x<ln2时，f'(x)<0，因此f(x)在(-∞，ln2)上单调递减；当x>ln2时，f'(x)>0，因此f(x)在(ln2，+∞)上单调递增。因此，当x=ln2时，f(x)取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2，没有极大值。根据（Ⅰ），得到$g'(x)=f(x)\geqf(\ln2)=2-\ln4>0$，因此$g(x)$在实数域上单调递增。又$g(0)=0$，所以当$x>0$时，$g(x)>g(0)=0$，即$x^2+1<e^x$。（12分）解：（Ⅰ）$f(x)$的定义域是$(0,+\infty)$。令$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{ax}{2}+\frac{x^2}{2(1+x^2)}$，则$f'(x)=\frac{(a-2)x^3+(a-4)x}{2(1+x^2)^2}$。（1分）当$0<a\leq2$时，$\Delta=a-4\leq0$，此时$f(x)$单调递增，因此$f(x)$在定义域$(0,+\infty)$上单调递增。（2分）当$a>2$时，$\Delta=a-4>0$，$f'(x)$的两个根为$x_1=\frac{-a-\sqrt{a^2-4a+4}}{2}$，$x_2=\frac{-a+\sqrt{a^2-4a+4}}{2}$，且$x_1,x_2>0$。（3分）当$x\in(0,x_1)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in(x_1,x_2)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(x_2,+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。（4分）综上，当$0<a\leq2$时，$f(x)$的递增区间为$(0,+\infty)$，无递减区间；当$a>2$时，$f(x)$的递增区间为$(0,x_1)\cup(x_2,+\infty)$，递减区间为$(x_1,x_2)$。（6分）（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知，$f(x)$的两个极值点$x_1,x_2$是方程$x^2-ax+1=0$的