2021年国开电大《微积分基础》形考任务微积分基础下载作业word版

2021年国开电大《微积分基础》形考任务微积分基础下载作业word版

微积分基础下载作业姓名：学号：得分：教师签名：提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：1.将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2.在线提交word文档．3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、计算题（每小题5分，共60分）1.计算极限$\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-2x-3}{x-x-6}$解：原式$=\lim\limits_{x\to3}\dfrac{(x+1)(x-3)}{x+1}=\dfrac{4}{2}=2$2.计算极限$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}$解：原式$=\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$3.计算极限$\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{1}{x^2-4}$解：原式$=\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\dfrac{5}{1}=5$4.设$y=\dfrac{x}{x+\sin4x}$，求$dy$.解：$y=\dfrac{x^2}{x^2+\sin4x}$$y'=\dfrac{2x(x+\sin4x)-x^2\cdot4\cos4x}{(x^2+\sin4x)^2}=\dfrac{x(2x+4\sin4x-4x\cos4x)}{(x^2+\sin4x)^2}$$dy=\dfrac{x(2x+4\sin4x-4x\cos4x)}{(x^2+\sin4x)^2}dx$5.设$y=\ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}$，求$dy$.解：$y'=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$$dy=\dfrac{1}{(x+1)^2}dx$6.设$y=e^x+\dfrac{1}{x}$，求$dy$.解：$y'=e^x-\dfrac{1}{x^2}$$dy=(e^x-\dfrac{1}{x^2})dx$7.计算不定积分$\intxsin2xdx$解：$\intxsin2xdx=-xcos2x+\intcos2xdx=-xcos2x+\dfrac{1}{2}sin2x+C$8.计算不定积分$\int\dfrac{x}{x^2+1}dx$解：原式$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^2+1}dx=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$9.计算不定积分$\inte^{2x}dx$解：原式$=\dfrac{1}{2}\inte^{2x}d(2x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$10.计算定积分$\int_1^2\dfrac{x}{2x}e^xdx$解：$\int_1^2\dfrac{x}{2x}e^xdx=\dfrac{1}{2}\int_1^2e^xdx=\dfrac{1}{2}(e^2-e)$11.计算定积分$\int_e^{e^2}\dfrac{\lnx}{x}dx$解：原式$=[\lnx\ln(\lnx)]_e^{e^2}-\int_e^{e^2}\dfrac{1}{x\lnx}dx=[\lnx\ln(\lnx)]_e^{e^2}-\ln(\lne)+\ln(\lne)=\ln(2\ln2)-1$12.计算定积分$\int_0^\pixcosxdx$解：$\int_0^\pixcosxdx=[xsinx]_0^\pi-\int_0^\pisinxdx=\pi$1.求解一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，如何用最少的材料。设长方体底的边长为x，高为h，用材料为y。由已知xh=108，h=2*108/x，y=x^2+4xh=x^2+4x(2*108/x)=x^2+864/x。令y'=2x-2*864/x^2，y''=2+432/x^3。当y'=0时，解得x=6是唯一的驻点。因为y''>0，所以x=6是函数的极小点，也就是所求的最小值点。所以当x=6，h=3时用料最省。2.求解用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，如何选取长和宽的尺寸，才能使所用建筑材料最省。设土地一边长为x，另一边长为216/x，共用材料为y。则y=3x+2*216/x，y'=3-432/x^2。令y'=0，得唯一的驻点x=12。因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省。3.求解用钢板焊接一个容积为4立方米的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？设水箱的底边长为x，高为h，表面积为s，则有h=4/x，s(x)=x^2+4xh=x^2+16/x。s'(x)=2x-16/x^2，令s'(x)=0，得唯一的驻点x=2。因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当x=2，h=2时水箱的表面积最小。此时的费用为s(2)*10+40=160元。4.求解某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为S。