函数零点与方程解课时

4.5

函数的应用（二）课时12函数的零点与方程的解高中快车道成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期教学目标借助二次函数图象,由特殊到一般,了解方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的关系,了解函数零点的定义.理解和掌握函数零点存在定理,学会用数形结合思想研究某区间上图象连续的函数存在零点和零点个数的判定方法.在函数与方程的联系中,体会转化与化归、函数与方程、数形结合等思想,训练理性思维,提高分析问题、解决问题的能力.学习目标课程目标学科核心素养了解函数零点的定义体会方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的联系，发展数学抽象、数学运算素养理解和掌握函数零点存在定理能从“数”和“形”两方面判断函数零点的个数及其所在区间,培养逻辑推理、直观想象素养能运用函数零点存在定理解决相关问题能根据函数零点的情况求参数的取值范围，发展数学运算、直观想象素养情境导学我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解问题．如约公元1世纪年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法，这比西方要早300多年.11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法．你能求出x3＋x2＋5x－6＝

0的根吗？初探新知【活动1

】探究方程的实数解、函数图象与x轴公共点横坐标的关系【问题1】求下列一元二次方程的实数解，写出相应的二次函数，并画出二次函数简图．(1)

x2－2x－3＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)x2－2x＋3＝0.思考这些方程的实数解与相应二次函数的图象有什么关系．【问题2】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数解与二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a≠0)的图象有什么关系？【问题3】一般地，对于方程f(x)＝0与函数y＝f(x)是否也有类似的结论呢？【问题4】对于一般函数y＝f（x），我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数

y＝f(x)的零点，那么方程的实数解、函数的零点、图象与x轴的公共点的横坐标之间有什么关系？【活动2

】引入函数零点的概念【问题5】在这个概念中，零点是点吗？【活动3

】探索函数零点的存在性【问题6】用连续不断的曲线连接图中的A，B两点，那么所画曲线与直线l一定相交吗？如果相交，交点在哪里？【问题8】你能根据函数零点的意义,结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并总结概括形成结论吗？【问题9】若某函数不满足函数零点存在定理的条件，那么该函数y＝f(x)在区间(a,b)内一定不存在零点吗？【活动4

】深化理解函数零点存在定理【问题10】函数零点存在定理能判定零点的存在性，能判定零点有多少个吗？典例精析−𝟐൅

𝐥𝐧𝐱,

𝐱

൐【例1】(1)

[2021·江苏省南通市高考四模改编题]函数f(x)=ቊ𝐱𝟐

൅

𝟐𝐱−𝟑,𝐱≤𝟎的零点个数为

(

)A.3 B.

2 C.

1 D.

0(2)

[教材改编题]函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数是

.思路点拨：判断零点个数，方法很灵活，解题时可以从代数、图象(数形结合)等角度去思考，也可以考虑利用函数零点存在定理．【解】

(1)

当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.所以函数的零点个数为2.故选B.(2)

方法1：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象公共点的个数．在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有1个公共点．从而ln

x＋x2－3＝0有1个实数解，即函数f(x)＝lnx＋x2－3有1个零点．方法2：因为f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1＞0，所以f(1)f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以零点只有1个．【方法规律】判断零点个数的三个方法：解方程法：直接求方程f(x)＝0的实数解．函数零点存在定理法：利用函数零点存在定理找到零点区间，再结合函数单调性判断零点个数．数形结合法：转化为两个函数图象的交点，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．【变式训练1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(D

)A.{1，3}

B.{－3，－1，1，3}C.{2－

𝟕，1，3} D.{－2－

𝟕，1，3}解:方法1：令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3，令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋

𝟕＞0(舍去)或x＝－2－

𝟕.所以函数g(x)有3个零点，其集合为{－2－

𝟕

，1，3}．方法2：令g(x)＝0，即f(x)－x＋3＝0，所以f(x)＝x－3，作y＝f(x)与y＝x－3的图象，有3个交点．y轴右侧有2个交点，其零点为1或3；y轴左侧零点x＜－3.故D项符合题意.故选D.【例2】

[2022·四川省资阳市高一期末改编题]设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

)A.

(0，1)

B.

(1，2)

C.

(2，3)

D.

(3，4)(2)

根据表格中的数据,可以判定方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.

(2,3) D.

(3,4)思路点拨：判断函数的零点所在的大致区间，方法有很多，主要考虑解方程法、函数零点存在定理法、数形结合法．x01234ex12.727.3920.0954.602x+55791113【解】(1)方法1：因为f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，所以f(1)·f(2)＜0.因为函数

f(x)＝lnx＋x－2的图象在[1，2]上是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2).故选B.方法2：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx与h(x)＝－x＋2的图象公共点的横坐标所在的区间，作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B.(2)设f(x)=ex-2x-5,此函数的图象是连续不断的,由表可知f(0)=1-5=-4<0,f(1)=2.72-7=-4.28<0,f(2)=7.39-9=-1.61<0,f(3)=20.09-11=9.09>0,f(4)=54.60-13=41.60>0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的一个零点(即方程ex-2x-5=0的一个根)所在的区间为(2,3).故选C.【方法规律】判断函数零点所在大致区间的方法：解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后看求得的根是否落在给定区间上．函数零点存在定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．数形结合法：把方程转化为两个函数，看它们公共点的横坐标所在区间.【变式训练2】[2021·四川省攀枝花市高一期末改编题]已知函数f(x)＝lgx＋x－10的零点在区间(k，k＋1)上，k∈Z，则k＝

9

.【解】函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，且f(9)＝lg9＋9－10＝lg

9－1<0，f(10)＝lg10＋10－10＝1>0，即f(9)·f(10)<0，所以函数f(x)在(9，10)内存在唯一的零点．又函数f(x)＝lgx＋x－10的零点在区间(k，k＋1)上，k∈Z，所以k＝9.𝐱【例3】(1)[2021·海南省海口市第一中学高一期中改编题]函数f(x)=2x-𝟐

-a

的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(

)A.(1，3)

B.(1，2)

C.(0，3)

D.(0，2)(2)

若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(

)A.a>1

B.a<1

C.a<－1或a>1

D.－1<a<1思路点拨：可直接利用函数零点存在定理解题．【解】【方法规律】根据函数的零点情况求参数的取值范围的方法：直接法：直接根据题设条件构建含有参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域的问题加以解决．数形结合法：转化成两函数的公共点，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式训练3】已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a.若函数y＝f(x)有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞.)【解】函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a有且仅有两个公共点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图.由图易知,当a>1时,两函数的图象有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).思路点拨利用函数零点存在定理结合函数的基本性质解题.（备选例题）已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,则a的取值范围为【解】由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数图象关于x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有𝐚

>

𝟏三个不同的根,则满足ቐ

𝐥𝐨𝐠𝐚𝟔

<

𝟐

,如图,解得

𝟔<a<

𝟏𝟎.故a的取值范𝐥𝐨𝐠𝐚𝟏𝟎

>

𝟐围是(

𝟔,

𝟏𝟎).【方法规律】根据函数的零点情况求参数的取值范围,还会涉及和函数基本性质有关的问题,要能够充分运用函数图象辅助解决.课堂反思通过本节课的学习，你学到了什么？你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练DB1.

已知函数f(x)=ቊ𝟐𝐱

−

𝟏,

𝐱

≤

𝟏,𝟏