指数函数4 2 1概念了解实际背景理解

R.y＝kax(k>0，a>0a≠1)a>1时为指数增长型函数模型.(2)y＝kax(k>0，a>0a≠1)0<a<1时为指数衰减型函数模型.提 指数函数的底数是大于0且不等于1的常数，故(1)错

是指数衰减型函数模型 当0<a<1时，f(x)＝ax也是指数函数，故(3)错. 答

解 由指数函数的定义可知只有

是指数函数若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围 答案解析a－1>0a－1≠1a>1么2025年GDP现价总量约为 答案1.69a解析2025GDP题型 指数函数的概【例1 (1)给出下列函数( (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( 答 解析(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常2(2)2a－1>02a－1≠1a>12思维升华1.(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)axaa的限制条件【训练1 1A.y＝(

(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值 答 解

由①a＝12，结合②题型 求指数函数的解析式或函数 5【例2 答 解

f（2）

＝

2，n∈Ny＝f(x)的一个解析式2 当x增加1时函数值都以1的衰减率衰减2思维升华(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的【训练2 3333答 x

2

解 由题意设f(x)＝a(a>0且a≠1)，则f(2)＝a＝81，故a＝9，f(x)＝9＝

因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数所以2a2－3a＋2＝1a>0且x x

1 2题型 指数增长型函数与指数衰减型函数的实际应【例3 (1)某市2018年底人口为20万，人均住房面积为8m2，计划2022底人均住房达到10m2，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实 万m2(精确到整数注：(2)一种专门占据内存的计算机开始时占据内存2KB，然后每3min自身复制一次，后所占内存是原来2倍，那么开机后 存32MB(1MB＝1×210KB).答案(1)12解析(1)设这个城市平均每年要新增住房x万m2.根据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10，解得x＝50×1.014－40≈12.(2)由题意知计算机占据内存情况如下：1个3min后为2×2＝22(KB)；2个2×2×2＝23(KB)323×2＝24(KB)…后为2x＋1KB.又因为32×210＝215(KB).令215＝2x＋1，解得x＝14，所以14×3＝思维升华3～4指数函数模型表示，y＝N(1＋p)x(N为基础数，p为增长率，x为时间)的形【训练3】春天来了，某中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满水面，当荷叶刚好覆 答案解析1yx判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且ax1x解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解 ) 答

A中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是 B.1 答 解 由题意得

a＝3如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模 x0123y11414一次函数模 答 解 观察数据可得

若ff＝4，则实数

8 844答

252解 由题意得

2122 或2

b＝2. 这种放射性元素质量w的表达式为( 答 解 w＝500×0.92，…，由此推出，t年后，w＝500×0.9t. 答 (解 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝2，所以＝＝(若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围 答 解 由题意可得

a<433 答 42解 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝1，所以2

y(单位：小时)x(单位：℃)满足函数关系：y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).0℃的保鲜时间是192224833℃的保鲜时间. 由已知条件，得192＝eb.又因为48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，所以e11k＝1则该24小时 a2－3a＋3＝1a>0解得a＝2.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x.(2)F(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数.F(x)＝2x－2－x，x∈R，所以F(－x)＝－F(x).所以F(x)是奇函数.计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055＝1.2763，0.9515＝0.7779)()赚723 B.赚145C.亏145 D.亏723答 解 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.99277＝9.9100000－99277＝723723元某校甲、乙两某年1月份的营业额相等，甲的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两的营业额又相等，则该年5月份()甲的营业额较乙的营业额较甲、乙两的营业额相不能确定甲、乙哪个的营业额较答 12 设甲乙两1月份的营业额均为甲的营业额每月增加a(a>0)，乙的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲的营业额y1＝m＋4a，乙的营业额y2＝m(1＋x)4＝ 因为y2－y2＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲的123xy(万).(1)yxy＝f(x)，并写出定义域；(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？(3)135万？( (1)2018年年底的人口数为130万1年，2019130＋130×3‰＝130(1＋3‰)万；经过2年，2020年年底的人口数为3年，2021所以经过的年数与(1＋3‰)x(2)2029130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为2030130(1＋3‰)12≈134.8(万2031130(1＋3‰)13≈135.2(万2031135万(1)xyy＝f(x)的表达式，并(2)300万立方米(参考数据：1.052＝1.1025；1.053＝1.157 (1)现有木材蓄积量为200万立方米经过1年后木材蓄积量为＝200(15%经过