学习复变函数工科

§3-3

Cauchy积分公式和高阶导数公式1先观察等式

与的左端与右端的特征，再寻找将它的变形后的等式的左端与右端的联系后，发现，它们均满足于是，我们可提出下面的问题来研究：等式对于

来说，是否是必然规律？积分基本公式对此作了回答．21.问题的提出设

D

为一单连通区域,

z0

为

D

中一点.Cz

-

z0030如果

f

(

z)

在D内解析,

那末

f

(

z)

在

z

不解析.z

-

z所以

f

(

z)

dz

一般不为零,C

为D

内围绕z0

的闭曲线.根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值.积分曲线C

取作以z0

为中心,半径为很小的d的正向圆周

z

-

z0

=

d,由f

(z)的连续性,在C上函数f

(z)的值将随着d

的缩小而逐渐接近于它在圆心z0

处的值,(d

缩小)CCdz

将接近于z

-

z0

z

-

z0f

(z)

f

(

z0

)

dz.Cz

-

zdzf

(z

)001000dz

=

2pif

(z

).=

f

(z

)z

-

zC42.Cauchy积分公式如果函数f

(z)在有界多连域D

内及其边界C上处处解析,

z0

为

D

内任一点,

那末Dz0CCauchy积分公式2πi

C

z

-

z51

f

(

z

)

=f

(z)

dz.00证明：以z0为心作一完全包含于D内的圆盘K数解析，由柯西定理有：的C积rz0

•D0C1C2CrCr0:|

z

-z，|<并r且记其边界为圆Cr

:|

z

-z。0

|=r在D上，挖去圆盘

余下的点K，rr

r集是一个闭区域D=D。\K在f

(x函)r上Dx

-

z0dxC

Crx

-

zdx

=x

-

z0

0

f

(x)

f

(x)在这里沿C的积分是按照

D区域的正向取的，沿分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：060f

(x)

dx

=

2pif

(z

)x

-

zCr我们证明由于和f

(z在)是连续性，所以对于任意的，e可>

以0

找到记

I

=

f

(x)

dxC

x

-

z0r由柯西定理知：I

是个不依赖于r的常数，从而dxCrx-z0f

(x)I

=

limrfi

0+00f

(x)

dx

=

2pif

(z

)x

-

zCrlimrfi

0+(3

-

3

-

2)dxx

-

zCrCr00

f

(x)-

f

(z

)0dx

-2pif

(z

)

=0

f

(x)x

-

z7d

使得当r

<，dx

˛时C，r

有从而当r

<时d，2p0|

f

(x)

-

f

(z

)

|<

e|8000|

x

-

z

||

f

(x)

-

f

(z0

)

|

|dx

|<

ex

-

zf

(x)

dx

-2pif

(z

)

|£CrCr解

sin

z

dz;例1

求下列积分z

=4

z

=4dz.z

-

3

z

+

1+21(2)(1)z

sin

z

dzz

=4(1)z因为f

(z)=sin

z

在复平面内解析,z

=

0

位于

z

<

4内,

由Cauchy积分公式z

=4z=

0;sin

z

dz

=

2pi

sin

z9z=0(2)

z

=4

dz.z

-

3

z

+

1+21=z

=4

z

-

3dz

+

z

=4

z

+

1dz

=

2pi

1

+

2pi

221=

6pi.计算积分例2dz.z

=2

z

-

1ez解f

(z)=ez

在复平面内解析,由Cauchy积分公式z

=1

位于z

<2内,=

2epi.z=110z

=2z

z

-

1dz

=

2pi

eez例3 计算积分-

1z

=2

zz2d

z被积函数在积分路径内部含有两个奇点

z

=

1

与2

21

2c2z

=2

c1dz

z2

-1zdz

+zdz

=

z2

-1

z2

-1zz

=

-1

作

c

:

z

+

1

=

1

,

c

:z

-

1

=

1

，有c1z

+

1dz

=c1计算上式右端两个积分z

z2

-1zz

=-111z

-1zz

-1

dz

=

2π

i[

]=

π

ic2z

-

1dz

=c2

z

2

-

1zz=

π

iz

=1]z

+

1z

+

1

dz

=

2π

i[zdz

=

2π

i12z

2

-

1z

=2z故13关于Cauchy积分公式的说明:

把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.

（这是解析函数的一个重要特征）

公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,

而且给出了解析函数的一个积分表达式.

(这是研究解析函数的有力工具)观察下列等式问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？14亦即抽象后有是必然的吗？下面的定理给予了回上式答．(3

-

3

-

3)153、解析函数的高阶导数定理设D为有界多连域（单连域），其边界正向曲线为复闭路 （简单闭路

）f

(z在)在f

(z)内-

-G

=

C

+

C

+

+

C1

n内D及边界

上G解析，则函数G

=

CD有任意阶导数，对于给定的

z0

˛和D自然数 有n(n

=

1,2,)16dz2πi0(z

-

z

)n+10f

(z

)

=(

n)n!

f

(z)C(n

=

1,2,)dzf

(z)2πin!0(z

-

z

)n+10f

(z

)

=(

n)Cz0C17D高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.证明：f

(z)

在D

内任意一点

z

有导数，现证明当n=1

时，式（3-3-3）成立。设z

+h

˛

D,，h

„由0导数定义我们仅需要证明：当h

fi

02(x

-

z)f

(x)

dx

fi

0-h

2pi时，

f

(z

+

h)

-

f

(z)

1 Gf

(x)

dx

f

(z

+

h)

-

f

(z)

-

1G2x

-

z)h

2pi

(GGpi

x

-

z-

h

2pi

x

-

zdx

-

1f

(x)h

2=

1

1f

(x)

dx2pif

(x)dx

-

1G2(x

-

z)dx18hGf

(x)2pi

(x

-

z

-

h)(x

-

z)2=(3

-3

-

4)现在来估计上式右边的积分。设以z为心，以2d

为半径的圆盘完全包含在D

内，并且在这圆盘内取z

+h

使得0

<|

h

|<d

，那么当|

x

-

z

|>

d

,|

x

-

z

-

h

|>

d时，设|

f

(z)|

在于是我们有上的一个上界是

，并且设的长度为L

，因此，当h

fi

0

，（3-3-4）成立。d

3192phGf

(x

)

dx

£

|

h

|

ML2pi

(x

-

z

-

h

)(x

-

z

)

2现在用数学归纳法来完成定理的证明。假设（3-3-3）当n

=

k时成立。

取

与z

同z

+上h，那么hG-f

(x)2pi

(x

-

z)k

+2

dxf

(k

)

(z

+

h)

-

f

(k

)

(z) (k

+1)!k

+1k

+12pi

G

(x

-

z)dx

-

k!h

2pi

G

(x

-

z

-h)=

1

k!f

(x)f

(x)k

+2

dxf

(x)2pi

G

(x

-

z)

(k

+1)!dx-GG(k

+1)!f

(x)dxk!dx

-(k

+1)(x

-

z)k

h

+

O(h2

)=

f

(x)

k

+1

k

+12pih

(x

-

z

-

h)

(x

-

z)1202pik

+2(x

-

z)k

+1(x

-

z)(x

-

z

-

h)2pi

(x

-

z)k

+21

dx

+

O(h)(k+1)!

-=Gf

(x)(3

-

3

-

5)由此可以证明：当h

fi

0，(3

-3

-5)的右边趋于零。于是（3-3-3）当n

=k

时+1成立时。证毕。推论：

若函数

f

(z)

=

u(x,

y)

+

v(x,

y)i在点

z

0

解析，则存在点

z

0

的一个邻域|

z

-

z0

|<

r，使得在该邻域内f

(z)有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数

u

=

u(x,

y)和

v

=

v(x,

y)

的各阶偏导数不仅存在而且都连续。证明：

由函数在点

z

0

解析知：可作一圆盘

|

z

-

z0

|<

r使得

在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。21例1解：由高阶导数公式计算积分

z

-1

=1(z

-

1)3

dzz4z

=1222π

i(z

-1)3

d

z

=

2!¢z

-1

=1[(z

)

]z

44=

12

π

i例2

（1）解（1）函数在圆在闭圆盘理2可得：|z-1|=1(z3

-1)2dz（2）|z

-1|=1z

3

-

1cos

zdz1(z3

-1)2j

(z)

=

的奇1

点z

=

1|z

-1|的=1内部，而其它的两个奇点在左半平面

Re(z，)

<从0而在该圆的外部。于是函数21-2f

(z)

=

(z

+

z

+1)

上解|

z

-析1|，£1由定9234pi(z3

-1)21=

2pif

'

(1)

=

-|z-1|=11f

(z)dz(z

-1)2|z-1|=1dz=（2）同理其中在闭圆盘|

z

-1|上£1解析，因此22j

(

z

)

==f

(

z

)z

3

-

1

z

-

1cos

zz2

+

z

+1cosz2f

(z)

=3242pi

cos1z3

-1cos

zdz

=2=

2pif

(1)

=|z-1|=12f

(z)dzz

-1|z-1|=1例3dz.(2)

z3

+

1求积分

(1)

(z

+

1)4

dz;z

=2

z

=1解

(1)

函数

z

3

+

1

在复平面内解析,z2e-z

cos

zz0

=-1

在z

£

2内,n

=

3,z

=2

(z

+

1)z3

+

14

dz

==

2pi;z

=-13![z3

+1]¢2pi25Cdzf

(z)n!2pi

(z

-

z

)n+100(

n)根据公式

f

(

z

)

=(2)

dze

-z

cos

zz2z

=1函数e-z

cos

z

在复平面内解析,z0

=0

在z

£

1内,n

=

1,z

=1z2e-z

cos

zz=0-zdz

=

1!

(e

cos

z)¢2pi=

2pi[-e-z

cos

z

-

e-z

sin

z]

=

-2pi.z=026274.典型例题例4dz.z(z2

+

1)1z-i

=121计算积分解=1z(z2

+

1)

z(z

+

i)(z

-

i)z

-

i=1z(z

+

i)=

f

(z)z0

=

i,2因为

f

(

z)

在

z

-

i

£

1

内解析,

由Cauchy积分公式z(z2

+

1)2z-i

=1dz

=1z

-

i2z-i

=11z=iz(z

+

i)z(z

+

i)

dz

=

2pi

12i

21=

2pi=

-pi.例

5

设

C

表示正向圆周

x2

+

y2

=

3,解dx,

求f

¢(1

+i).f

(

z)

=

Cx

-

z3x2

+

7x

+

1根据Cauchy积分公式知,

当z

在C

内时,f

(z)

=

2πi

(3x2

+

7x

+

1)

=

2pi(3z2

+

7z

+

1),x=z28故

f

(

z)

=

2pi(6z

+

7),而1

+i

在C

内,所以

f

(1

+

i)

=

2p(-6

+

13i).例61psin

z4计算积分

z2

-

1

dz,

其中C

:

(1)

z

+

1

=

2;C解pz2

-

12z+1

=1sin

z4

dz(1)pdzz

+

1z

-

1=2z+1

=1sin

z4z=-14z

-1sin

p

z=

2pi2292=

pi;14psin

z例

6

计算积分

z2

-

1

dz,

其中C

:

(2)

z

-

1

=

2;Cpz2

-

12z-1

=1sin

z4

dz(2)pdzz

-

1z

+

1=2z-1

=1sin

z4z=14z

+

1sin

p

z=

2pi2302=

pi;解z

=2dz4z2

-

1sin(3)z由复合闭路定理,得例6Cpdz,

其中C

:

(3)

z

=

2.sin2p4z

-

1z计算积分解pz2

-

1

dz

=z

=2sin

z42z+1

=1sin

z4z2

-

1

dz

+p

πz2

-

1

dz2z-1

=1sin

z422

pi

=2=

2

pi

+2pi.31(2)

C(1)

C(z2

+

1)2

dz.(z

-

1)5

dz;cos

pzez例

7

计算下列积分,

其中C

为正向圆周:

z

=

r

>

1.解

(1)

函数

cos

pz

在C

内z

=

1

处不解析,(z

-1)5但cos

pz

在C

内处处解析,Cdzf

(z)n!2pi

(z

-

z

)n+100(

n)根据公式

f

(

z

)

=Ccospz(4)(z

-1)5

dz

=

(5

-1)!(cospz)2pip5i32=

-

;z=1

12ez(2)

函数

在C

内的

z

=

–i

处不解析,(

z2

+

1)21CC2xyoiC-

i在C

内以i

为中心作一个正向圆周C1

,以-i

为中心作一个正向圆周C2

,围成的区域内解析,1

2则函数

在由C

,

C

,Cez(

z2

+

1)2根据复合闭路原理C(z

+

1)ez223312

dz

=

C22

dz(z

+

1)22

dz

+

C(z

+

1)ezezC1dz22(z

+

1)ez=C12

dz(z

-

i)(z

+

i)2ez=z=iez2pi2

(z

+

i)(2

-1)!=p,2(1

-

i)ei1CC2xyoiC-

i2同理可得C2(

z

+

1)2

dz

=ezp,2-(1

+

i)e-iCez(

z2

+

1)2

dz=

2p+(1

-

i)eip-

(1

+

i)e-i2于是=

p(1

-

i)(ei

-

ie-i

)

=

p(1

-

i)2

(cos1

-

sin1)2

2=

ip

(sin1

-

cos1).34例8解(n

为整数)求积分ezn

dz.z(1)

n

£

0,在z

£

1

上解析,znz

=1ezz

=1ez由Cauchy

积分定理得

zn

dz

=

0;z

=1(2)n

=1,

由Cauchy积分公式得eznzz=035zdz

=

2pi

(e

)=

2pi;(3)

n

>

1,(

z

)

=C(

n)dzf

(z)n!2pi

(z

-

z

)n+1根据公式f00z

=1dznezzz=0z

(

n-1)(e

)(n

-

1)!2pi=.36(n

-1)!2pi=例9

求积分解

函数dz.1

(z

-

2)2

z3C其中C

:

(1)

z

-

3

=

2;

(2)

z

-

1

=

3.有两个奇点z

=2

和z

=0,(z

-

2)2

z31(1)

z

-

3

=

2,z3仅包含奇点z

=2,

取f

(z)=1

,Cdz

=1

(z

-

2)2

z3C(z

-

2)1z32z=231!

zdz

=

2pi

1

=

-

3pi

;837(2)

z

-1

=

3两个奇点z

=2

和z

=0

都含在C

内,作简单闭曲线C1

和C2

分别包含0

和2,C1

和C2

互不包含且互不相交,根据复合闭路原理和高阶导数公式,Cdz

=1

(z

-

2)2

z3dz381

1C1

C2dz

+

(z

-

2)2

z3

(z

-

2)2

z3=

C1dz

+dz112C2(z

-

2)z3z3(z

-

2)2z=2+

1!

z3

z=0=

2!

(z

-

2)2

2pi

1

2pi

1†=

3pi

-

3pi

=

0.8

839三D、解析函数的实部和虚部与调和函数由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数。下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系。定义1

若

j

=

j

(

x在,

y平)

面区域D内有二阶连续偏导数，并且满足

Laplace

方程:则称j

=

j

(

x为,

y区)

域D内的调和函数。工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.=

040¶2j

¶2j¶x

2

+

¶y

2(3.1)定理

任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是

D

内的调和函数.证明设w

=f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)为区域D内的一个解析函数，则¶u

=

¶v

,

¶u

=

-

¶v

.¶x

¶y

¶y

¶x根据解析函数的导函数仍是解析函数,因此u(x,y)与v(x,y)具有任意阶的连续偏导数,41=¶y¶x

¶x¶y¶2v

¶2v¶2u

¶2u得

+ =

0,¶x2

¶y2¶2v

¶2v¶x2

+¶y2

=0,

因此v(x,y)是调和函数.同理因此u(x,y)是调和函数.分别关于x,y求导¶2u

¶2v¶y2

=

-

¶x¶y

.42¶u

=

-

¶v¶y

¶x¶u

=

¶v

,¶x

¶y¶2u

¶2v¶x2

=

¶y¶x

,再由二阶导函数的连续性43人们常常要问：任给区域D内的两个调和函数u(x,y)、v(x,y),u(x,y)+iv(x,y)在D内是否为解析函数？例如：f

(z)=x

2

-y2

-2

xyi设u(x,y)为区域D内给定的调和函数,我们把使u

+iv

在D内构成解析函数的调和函数

v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.即：区域D内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.44现在会提出如下问题：已知u(x,y)是区域D上的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)，使得函数f

(z)=u＋iv是D上的解析函数?或者已知调和函数v(x,y)时，是否存在调和函数u(x,y)，使得f

(z)=u＋iv

是D上的解析函数?回答是肯定的.下面讨论这个问题，即已知j

=j

(是x,区y)域

D内的调和函数，利用函数在

内D解析的充分必要条件，求出解析函数

f

(z)

=

u(

x,

y)

+

v(

x,

y)i使得其实部或者虚部在

D内为j

=j。(x,y)由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域，因此我们只讨论

D为单连通区域情形。45先讨论在单连通区域

内D，已知解析函数的实部

u

=

j

(

，x,

求y)其虚部调和函数

v。=

v(

x,

y)这时由C-R条件，由于u

=j

(x在,单y)连通区域内调D和，可得dv

=v'x

dx+v'y

dy=

-j'y

dx+j'x

dy¶y46¶x¶j

'

y=

-¶j

'x47因此由本章命题2（积分与路径无关）可求出v(x,为y)v(

x,

y)

=内D

与积分路可在

内D

取定点

(和x0

,平y0

)行于坐标轴的路径来计算。如取从点

(x,

y到0

)

点(x0

,y的0

)折线段可得再(x,到y)点(

x

,

y

)

-j'y

dx+j'x

dy+c(

x0

,

y0

)其中c为任意实常数，该积分在径无关。(3.1)yx0

y0xv(x,

y)

=

-j'y

(x,

y0

)dx+

j'x

(x,

y)dy+c(3.1)'48同理在单连通区域

D内如果已知解析函数的虚部

v

=

j

(，x,可y)求其实部调和函数(

x

,

y

)

j'y

dx-j'x

dy+c(

x0

,

y0

)u(

x,

y)

=(3.2)例1

已知u=x/(x在2

+右y2半)平面是调和函数，求在该半平面解析的函数f

(z)=u使+得viRe

z

>

0u=x/(x2

+y2)

且解：求偏导数得2f

(1

+

i)

=

1

-

iu'x

=

(

y2

+

x2

)2y2

-

x2u'y

=

(

y2

+

x2

)249-2xy解法1

由C—R条件得：由v'x

积分得(

y2

+

x2

)22xyxv'

=v'y

=

(

y2

+

x2

)2y2

-

x2+

g(

y)502xy

(x2

+

y2

)2x2

+

y2-

ydx

=v

=两边对

y求导，并且与上面所得的v比'y较有于是得g'(y)即=0,g从(y而)=c,y2

-

x2

y2

-

x2v'y

=

(

y2

+

x2

)2

+

g'(

y)

=

(

y2

+

x2

)251v

=

-

y

+cx2

+

y2于是进一步由条件f

(z)

=

x-

yi

+ci=1+cix2

+

y2

z2f

(1

+i)=可1得-ic

=

0.最后结果有f

(z)

=

1z5253解法2

在该右半平面内取点由式（3.1）得(

x0

,

y0

)

=

(1,0)yxv(x,

y)

=-u'y

(x,0)dx+u'x

(x,

y)dy+c1

0=

-

y

+cx2

+

y23.计算实例解例1函数，并求以其实部的 解析函数.证明u(x,y)=y3

-3x

2

y

为全平面上的调和¶u因为

=

-6

xy,¶x¶x2

=

-6

y,¶2u=

3

y2

-

3

x2

,¶y¶u=

6

y,¶y2¶2u¶2u

¶2u于是

+ =

0,¶x2

¶y254故u(x,y)为调和函数.因为

¶v

=

¶u=

-6

xy,¶y

¶xv

=

-6

xydy=

-3

xy2

+

g(

x),¶x¶v

=

-3

y2

+

g¢(

x),又

¶v

=

-

¶u=

-3

y2

+

3

x2

,¶x

¶y-

3

y2

+

g

(

x)

=

-3

y2

+

3

x2

,g(

x)

=

3

x2dx

=

x3

+

c,(c

为任意常数)v(

x,

y)

=

x3

-

3

xy2

+

c,得解析函数w

=

y3

-

3

x2

y

+i(

x3

-

3

xy2

+

c).这个函数可以化为w

=

f

(z)

=

i(z3

+

c).55=

-6

xy,因为¶u¶x¶u=

3

y2

-

3

x2

,¶yf

¢(z)

=

¶u

-

i

¶u¶x

¶y=

-6

xy

+

3(

y2

-

x2

)i上式中，令y

=0f

(

x)

=

3ix2将上式中x

换为z，则w

=

f

(z)

=

i(z3

+

c).注：此处用到解析函数的唯一性定理。f

(

x)

=

i(

x3

+

c)另一方法56例

2

已知v(

x,

y)

=

ex

(

y

cos

y

+

x

siny)

+

x

+

y

为调和函数,

求一解析函数

f

(

z)

=

u

+

iv,

使

f

(0)

=

1.解¶x¶v

=

ex

(

y

cos

y

+

x

sin

y

+

siny)

+

1,¶y¶v

=

ex

(cos

y

-

y

sin

y

+

x

cos

y)

+

1,由

¶u=

¶v

=

ex

(cos

y

-

y

sin

y

+

x

cos

y)

+

1,¶x

¶y得u

=[ex

(cos

y

-y

sin

y

+x

cos

y)+1]dx57u

=

ex

(

x

cos

y

-

y

sin

y)

+

x

+

g(

y),由¶v

=-¶u

,得¶x

¶yex

(

y

cos

y

+

x

sin

y

+

sin

y)

+

1=

ex

(

x

sin

y

+

y

cos

y

+

sin

y)

-

g

(

y),g

(

y)

=

-1,故g(y)=-y

+c,于是u

=ex

(x

cos

y

-y

sin

y)+x

-y

+c,5859=

xe

xeiy

+

iyexeiy

+

x(1

+

i)

+

iy(1

+

i)

+

c=

zez

+

(1

+

i)z

+

c,由

f

(0)

=

1,

得

c

=

1,所求解析函数为f

(z)

=

zez

+

(1

+

i)z

+

1.f

(z)

=

u

+

iv解¶x¶v

=

ex

(

y

cos

y

+

x

sin

y

+

siny)

+

1,¶v

=

ex

(cos

y

-

y

sin

y

+

x

cos

y)

+

1,60¶yf

(z)

=

vy

+

ivx=

ex

(cos

y

-

y

sin

y

+

x

cos

y)

+

1+

i[e

x

(

y

cos

y

+

x

sin

y

+

sin

y)

+

1]上式中，令y

=0f

(

x)

=

ex

(1

+

x)

+

1

+

if

(

x)

=

xe

x

+

(1

+

i)

x

+

c.f

(z)

=

zez

+

(1

+

i)z

+

c.由

f

(0)

=

1,

得

c

=

1,所求解析函数为f

(z)

=

zez

+

(1

+

i)z

+

1.另一方法部的解析函数f

(z)=u

+iv

.x例

3

求以调和函数v

=

arctan

y

(

x

>

0)为虚解因为f

¢(z)=¶v

+i

¶v

=¶y

¶x上式中，令y

=0x2

+

y2x2

+

y2-

y+

ixf

¢(

x)

=

161xf

(

x)

=

ln

x

+

cf

(z)

=

ln

z

+

c62试确定解析函数

f

(

z)

=

u

+

iv.解

两边同时求导数u

+

v

=

(

x2

+

4

xy

+

y2