高考数学总复习含绝对值的不等式大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.5含绝对值的不等式大纲-A3演示文稿设计与制作§6.5

含绝对值的不等式

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考6.5含绝对值的不等式双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理f2(x)≤g2(x)(3)同解变形法，其同解定理有：①|x|≤a⇔－a≤x≤a(a≥0)；②|x|≥a⇔________________

(a≥0)；③|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)(g(x)≥0)；④|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x)或f(x)≤－g(x)(g(x)≥0)．x≥a或x≤－a2．绝对值不等式的性质基本性质|a|－|b|____|a＋b|_____|a|＋|b|，推论(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|，推论(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.≤≤思考感悟1．在|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|±|x－b|的几何意义是什么？提示：

|x－a|＋|x－b|几何意义表示：数轴上的点x到点a的距离与点x到点b的距离之和；|x－a|－|x－b|表示：点x到点a的距离减去点x到点b的距离所得的差．思考感悟课前热身答案：C1．(教材习题改编)不等式|x2－5x＋5|>1的解集为(

)A．(1,2)∪(3,4)B．(－∞，1)∪(4，＋∞)C．(－∞，1)∪(2,3)∪(4，＋∞)D．(－∞，2)∪(3，＋∞)答案：D答案：C4．若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值等于________．答案：－45．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集为________．答案：(0,1)考点探究·挑战高考考点突破考点一绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方．例1

解下列关于x的不等式．(1)|x－x2－2|>x2－3x－4.(2)|x＋1|>|x－3|.【思路分析】对于(1)可由|f(x)|>g(x)的形式去绝对值，也可以讨论x－x2－2的正负．对于(2)可平方，也可分段讨论．【名师点评】去掉绝对值号，要根据题目特点，灵活采用方法．如(1)的法二，(2)的法一就比较好．考点二绝对值不等式的证明主要利用性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添项、拆项进行放缩．

已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求证：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.【思路分析】

(1)计算f(0)和f(1)．(2)代入f(x2)，f(x1)→作差化简f(x2)－f(x1)→放大到|x1－x2|.例2利用绝对值的概念、性质对与绝对值有关的函数、方程等转化为不含绝对值不等式进行研究．

已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)求函数的值域；(3)若f(x)>2，求x的范围．(4)若f(x)＝k(x－6)有三个不同解，求k的取值范围．考点三绝对值不等式的综合应用例3【思路分析】先找零点：x－8＝0，x－4＝0，x1＝8，x2＝4.分区域：(－∞，4]，[4,8]，[8，＋∞)转化为分段函数．作图象：利用图象求值域．求不等式的解集，讨论解的情况．函数y＝f(x)的图象如下图所示：(2)由图象看出值域为[－4,4]．(3)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2，令f(x)＝2，即－2x＋12＝2，得x＝5.结合函数f(x)的图象可知，原不等式的解集是(－∞，5)．(4)设y＝k(x－6)，表示过(6,0)斜率为k的直线，f(x)＝k·(x－6)有三个不同解，就是y＝f(x)与y＝k(x－6)的图象有三个不同交点．【思维总结】一般对多个绝对值，采取零点分段法去绝对值．在用零点分段法解不等式时忽视分段区间的范围，如解－2x＋12>2时忽视4≤x≤8这一前提条件；本题求值域可结合绝对值几何意义或性质求解：即|f(x)|≤|(x－8)－(x－4)|＝4⇒－4≤f(x)≤4.另外利用图象解题是(3)(4)的技巧．方法技巧1．零点分段法的具体过程(1)求出每个绝对值的零点，所有的零点将实数集分为若干个区间；(2)在各个区间上，去掉绝对值后，求出不等式在该区间上的解集；(3)每个区间上的解集的并集，就是原不等式的解集．如例1的(2)和例3.方法感悟2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元二次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|>m或|x－a|＋|x－b|<m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便，如例1、3的(2)．3．证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两种：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，在运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|时，要注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法，如例2.失误防范1．使用平方法去绝对值时要特别小心，非常容易出现增解，必须检查变形的同解性．事实上，平方法去绝对值一般只适用于两边非负的不等式，如例1(2)．2．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定注意等号成立的条件．考向瞭望·把脉高考考情分析这部分知识并不是每年都要考查的，是间断性考查，有的是以选择题、填空题的形式出现，常与分式不等式、一元二次不等式以及集合问题联系，一般注重考查基础，难度不大，有很少试题是以解答题形式出现，若出现也只是以绝对值为背景考查函数或数列的性质，可能难度较大．2010年的高考中，只有广东和上海市的考题是主观题，难度较大．课标全国卷和福建卷虽然是解答题，但难度中档，其它省市的试题主要是选择、填空题，难度较低，如陕西卷、江西卷等．预测2012年的高考仍以绝对值不等式解法为主或者用绝对值不等式的性质求参数问题．规范解答例 (本题满分10分)(2010年高考课标全国卷)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．【名师点评】本题主要考查绝对值的意义、图象性质及数形结合法，难度中档，在(1)中绝大多数考生可得分，在(2)中有的考生不敢或不会使用图象，导致运算繁琐而错．有的考生虽然用了图象，但题意理解错或者丢解．此题是对绝对值不等式应用的一个很好的考查．名师预测1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选A.先求函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值ymax，由绝对值的几何意义知坐标轴上一动点P(x,0)到定点A(－3,0)，B(1,0)距离的最大值为4，所以ymax＝4，只需a2－3a≥4即可，得a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，故选A.2．已知不等式|a－2x|>x－1，对任意x∈[0,2]恒成立，则a的取值范围为(

)A．(－∞，1)∪(5，＋∞)B．(－∞，2)∪(5，＋∞)C．(1,5)D．(2,5)解析：选B.当0≤x≤1时，不等式|a－2x|>x－1，a∈R；当1≤x≤2时，不等式|a－2x|>x－1，即a－2x<1－x或a－2x>x－1，x>a－1或3x<1＋a，由题意得1>a－1或6<1＋a，a<2或a>5；综上所述，则a的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)，故选B.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件