高考数学总复习数列的综合应用理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第5章§5.5数列的综合应用理-A3演示文稿设计与制作§5.5数列的综合应用

§5.5数列的综合应用考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果____________的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的___是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．增加(或减少)比思考感悟银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．课前热身1．(2009年高考四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(

)A．90

B．100C．145 D．190答案：B2．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d>0，公比q>1，则集合{n|an＝bn}(n∈N＋)的元素的个数最多为(

)A．1 B．2C．3 D．4答案：B3．(教材改编题)电子计算机中使用的二进制与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678…二进制110111001011101111000…观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是(

)A．31 B．63C．111111 D．999999答案：B4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴公共点的个数为________．答案：05．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，2008年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%，以后四年年生产量的增长率逐年递增2%(2009年的增长率为36%)，则预算2012年全球太阳电池的年生产量为________．答案：2499.8兆瓦考点探究•挑战高考考点突破考点一等差、等比数列的综合问题等差数列与等比数列结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．例1(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【思路点拨】

由已知条件列方程可求得等差数列的公差d，由等比数列的前n项和公式可求Sn.【名师点评】解决等差数列与等比数列的综合问题的关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解题，也就是涉及哪个数列问题就灵活地运用相关知识解决．等差数列与等比数列之间是可以相互转化的．即{an}为等差数列⇒{}(a>0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．变式训练1

(2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.考点二等差、等比数列的实际应用与数列有关的应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题．当然，还包括几类问题的综合应用．其中第一类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，很容易计算．对第二类问题，建立等比数列的模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．注意答案要符合题设中实际需要．对于第三类问题，要掌握将线性递推数列化成等比数列求解的方法．例2(2010年高考湖北卷)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)【思路点拨】可逐年写出第一年末至第五年末的住房面积，然后列方程解出b.【规律小结】用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．变式训练2

职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始还款，那么每年应还多少元？(精确到1元)解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年所还款及利息的情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清；第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)元；第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)2元；……考点三数列与解析几何、不等式、函数的交汇问题数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图像研究数列问题，如恒成立，最值问题等；二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．例3【思路点拨】

(1)充分利用切线、半径、原点与圆心的连线所构成的直角三角形可证{rn}为等比数列．(2)利用错位相减法求和．【名师点评】数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者密切综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点．数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题，体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选．考点四数列中的探索性问题探索性问题往往需要由给定的条件去探究相应的结论或由问题的结论去寻找相应的条件，在解题时应透过问题的表象去寻求、发现规律性的东西．例4【名师点评】本题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想、分类整合思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．方法感悟方法技巧1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．(如例4)2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．(如例1)3．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．(如例3)4．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．(如例2)失误防范1．等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习．2．数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解．3．在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法．考情分析考向瞭望•把脉高考数列的综合应用是每年高考必考的内容，特别是等差数列与等比数列交汇，数列与解析几何、不等式、函数交汇是高考的热点，题型以解答题为主，难度偏高，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．预测2012年高考，等差数列与等比数列交汇、数列与不等式交汇是高考的主要考点，重点考查运算能力和逻辑推理能力．例规范解答(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．(1)若an＝3n＋1，是否存在m、k∈N＋，有am＋am＋1＝ak？请说明理由；(2)若bn＝aqn(a、q为常数，且aq≠0)，对任意m存在k，有bm·bm＋1＝bk，试求a、q满足的充要条件；(3)若an＝2n＋1，bn＝3n，试确定所有的p，使数列{bn}中存在某个连续p项的和是数列{an}中的一项，请证明．【思路点拨】处理第(1)问时，将等差数列{an}的通项公式代入等式am＋am＋1＝ak，然后从整除的角度判断等式是否有整数解；处理第(2)问时，将等比数列{bn}的通项公式代入bm·bm＋1＝bk，研究等式成立的充要条件；处理第(3)问时，注意到an＝2n＋1是奇数，bn＝3n也是奇数，当p是偶数时，偶数个奇数的和不可能是奇数，等式不能成立，所以只需对p为奇数进行讨论．【名师点评】

(1)本题易错点有：一是解题过程中忽视了正整数的限制，导致推理不严密或是解题错误；二是不会进行正整数的奇偶性分析，对处理不定方程缺少必要的方法，导致解答错误．数列试题往往涉及整数，根据题目的具体情况，要会合理使用整数的有关性质解决问题．(2)对任意的正整数m，等式bm·bm＋1＝bk都成立，不妨取m＝1，求出a、q满足的条件为a＝qk－3，再从一般情形去验证这个条件在一般情况下是否成立，这是求解探索性问题的一种常见的思考方法．(3)本题从最常见的两个数列——等差数列和等比数列入手命制考题，在第(1)和第(2)问中，设计判断满足条件的等式是否成立和等式成立的充要条件是什么？解题时的入手很低，仅需要将数列的通项公式代入等式展开判断和讨论即可．但是，解题的过程却需要有较强的数学知识的思辨能力和数学推理能力，这恰好是考生应该具备的数学素质和数学能力．从基本的数学知识入手，站在“能力立意”的高度命题，既注重对数学知识的考查，更注重对考生数学能力的考查，是近年来高考命题的指导思想．名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗