测量误差基本知识全面实例

测量误差基本知识全面实例第1页，课件共28页，创作于2023年2月内容提要第六章内容提要：第五章测量误差基本知识

学习要点

◆建立测量误差的基本概念

◆观测值的中误差

◆观测值函数的中误差

——误差传播定律

◆权的概念

第2页，课件共28页，创作于2023年2月#测量误差的基本概念5.1测量误差的分类一.产生测量误差的原因二.测量误差的分类和处理原则三.偶然误差的特性讨论测量误差的目的：

用误差理论分析、处理测量误差，评定测量成果的精度，指导测量工作的进行。第3页，课件共28页，创作于2023年2月一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响气象因素(温度变化,风,大气折光,

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件，等精度观测。上述三大因素总称为观测条件，在上述条件基本一致的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。第4页，课件共28页，创作于2023年2月二.测量误差的分类和处理原则二.测量误差的分类和处理原则

处理方法：

1.对测量结果加改正数消除

2.外业操作时抵消1.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。结论：系统误差可以消除。两类测量误差：系统误差、偶然误差例：

误差

处理方法钢尺尺长误差Dk计算改正钢尺温度误差Dt计算改正水准仪视准轴误差i操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)

……

……第5页，课件共28页，创作于2023年2月2.偶然误差2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。特点：具有抵偿性。处理原则：采用多余观测，减弱其影响，提高观测结果的精度。偶然误差是由人力所不能控制的因素所引起的误差。第6页，课件共28页，创作于2023年2月三.偶然误差的特性三.偶然误差的特性1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：(5-1-1)当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性：偶然误差具有正态分布的特性。

(P121表5-1图5-1)2.偶然误差的特性第7页，课件共28页，创作于2023年2月频率直方图偶然误差具有正态分布的特性

-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24x=

y正态分布曲线四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性：(5-1-2)表5-2的频率直方图第8页，课件共28页，创作于2023年2月5.2衡量精度的标准精度：是指在对某一量的多次观测中，各个观测值之间的离散程度。若观测值非常集中，则精度高；反之，则精度低。主要取决于偶然误差。衡量精度的标准主要有：中误差、相对误差和中误差。一、中误差：又称标准误差，以m表示，用来衡量观测值精度的高低。在相同的观测条件下，对某未知量进行n次观测，其观测值为

l1、l2

、…

、ln，若该未知量的真值为x，由可得相应的真误差△1、△2、…、△n(注：△i=li-x)。则中误差可由各真误差平方的平均值进行计算：式中:由上式可见，中误差与与真误差的关系，它不等于真误差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，误差分布得越密集，相应的观测成果的精度就越高，中误差越大，误差分布得越离散，相应的观测成果的精度越低。第9页，课件共28页，创作于2023年2月例：设有A、B两个小组，对一三角形进行了十次观测，分别求出真误差为：A：-6″、+5″、+2″、+4″、-2″、+8″、-8″、-7″、+9″、-4″B：-11″、+6″、+15″、+23″、-7″、-2″、+13″、-21″、0″、-18″试求A、B两组观测值的中误差。解：

可见A组观测精度比B组高。在观测次数n有限的情况下，中误差的计算公式首先直接反映出观测成果中是否存在着大误差，如上例B组就受到几个较大误差的影响。第10页，课件共28页，创作于2023年2月二、容许误差：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，用来衡量观测值是否被采用的标准。又称限差。通常取2-3倍中误差作为偶然误差的容许值，即：第11页，课件共28页，创作于2023年2月三、相对误差：1、绝对误差：真误差、中误差和容许误差，仅仅表示误差本身的大小，称为绝对误差。在某种情况下，用绝对误差来评定值的精度，不能反映出观测的质量。例：丈量两段距离，D1=100m，m1=±1cm，D2=30m，m2=±1cm，虽然两者的中误差相等，但不能它们的丈量精度相同，显然前者精度较高。这时中误差已不能反映出观测的质量，必须用相对误差来评定。2、相对误差：绝对误差的绝对值与相应量之比，它是一个无名数，以分子为1的分数形式来表示。上例中，可直观发看出，后者的精度高于前者。第12页，课件共28页，创作于2023年2月#观测值的中误差观测值的中误差测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。一.用真误差计算中误差的公式由偶然误差：标准差公式：(5-1-5)观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形。(5-2-1)中误差公式为：第13页，课件共28页，创作于2023年2月中误差算例表5-2中误差算例1第14页，课件共28页，创作于2023年2月两组观测值中误差图形的比较m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.6第15页，课件共28页，创作于2023年2月用改正数计算中误差的公式一.用改正数计算中误差的公式观测值的真值未知时，用似真误差V计算中误差。(5-3-4)设某未知量的观测值为：(5-3-1)则该量的算术平均值为：得似真误差(改正数)：(5-4-1)观测值的中误差：第16页，课件共28页，创作于2023年2月例用改正数计算中误差解：用算术平均值改正数V计算中误差：(5-4-1)

按观测值的改正数计算中误差表5-3次序观测值改正数计算1854249-4162854240+5253854242+394854246-115854248-39平均854245[0][60]例2.对某水平角等精度观测了5次，求其算术平均值及观测值的中误差。算术平均值:854245观测值的中误差：第17页，课件共28页，创作于2023年2月#观测值函数的中误差观测值函数的中误差

——误差传播定律一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……第18页，课件共28页，创作于2023年2月二.误差传播定律转换成中误差关系式即误差传播定律：(5-5-10)二.一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数为独立观测值(a)对(a)全微分(b)用偶然误差、代替微量元素、得：(c)第19页，课件共28页，创作于2023年2月例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。三.几种常用函数的中误差三.几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1).列出函数式；(2).对函数式求全微分；(3).套用误差传播定律，写出中误差式。面积公式求全微分面积中误差解：由题意第20页，课件共28页，创作于2023年2月1.倍数函数的中误差

1.倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)

全微分得中误差式(5-5-15)解：例4量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,

计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式求全微分中误差式第21页，课件共28页，创作于2023年2月2.线性函数的中误差2.线性函数的中误差

设有函数式

(5-5-11)

全微分

中误差式

(5-5-12)解：对上式全微分：由中误差式得：例5：设有某线性函数其中

、

、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。第22页，课件共28页，创作于2023年2月由于等精度观测时，，代入上式：得(5-5-13)

由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。3.算术平均值的中误差式

函数式(5-5-1)

全微分中误差式3.算术平均值的中误差式第23页，课件共28页，创作于2023年2月例6距离误差例6：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第24页，课件共28页，创作于2023年2月4.和或差函数的中误差4.和或差函数的中误差

函数式：全微分：中误差式：

(5-5-17)

当等精度观测时：上式可写成：(5-5-18)例7测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：由(5-5-18)式：第25页，课件共28页，创作于2023年2月观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数