第十一次第二章一元函数微分学11课程加持续

dy=f(d(c)=

d(xμ)=μxμ-1dxd(secx)=secxtan d(cscx)=-cscxcotd(ax)=axlnadx d(ex)=exdxd(logax)

dxxlna

d(lnx)=1dxx1-x21-x2d(arcsinx) dx d(arccosx1-x21-x2d(arctanx) dx d(arccotx)=- dx1+x2 1+x2d(u–v)=du–dv d(Cu)=Cdud(uv)=vdu+udv

d(uv

=vdu-udvv设函数yf(u)有导数f(u),若u是自变量时,dyf(u)du;若u是中间变量时, 即另一变量x的可微函数u=φ(x), 则dy=f(u)φ(x)dxdu=φ(x)dx \dy=f(u)du.dy=f(udy=f(u)duyf(u)的微分形式总是补例4ylnxex

求dy. dy=

x+ex12

d(x+ex2(dx+dexx+ex1=x+ex=1=2x+ex

2[dx+exd(x22(dx+2xexdx)21+2xe x+e

dx46、yx2exx3的微分1】利用dyfx)dx

cos

1】利用dyfx)dx

，求 121】利用dyfx)dx =1x2xyln2yxy)12】2xyln2ydxxdy)dx50(2005-2)y(1sinx)x，则

lnyxln(1sinx)x1y¢=ln(1+sinx)+xcosx 1+sin于是y¢(1sinx)x[ln(1sinx

cos

]，故

=p)dx=-【另解】y(1sinx)xexln(1+sinx) ]

=p)dx=-例51(1997-3)设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy 会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(a,b)内，设函数具 (x)>0时，f(x)的图形是凹的；当f 设函数f(x)点x0的某邻域U(x0)=(x0+d, x0-d)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的x˛U(x0),有f(x)£f(x0)(或f(x)‡f(x0)),么f¢(x0)=0.如果函数fx满足条件：在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导在区间端点函数值相等即f(a)f(b),yCy=f(xyCy=f(xoax1bxf)=0.在曲线弧AB上至少有一点C在该点处的切线是水平的.yCy=f(xoax1bx证yCy=f(xoax1bxM和最小值m.M则fx)M由此得f(x)= "x˛(a, (x)若M„m 因f(a)=f(b),因此最值不可能同时在端点取得.不妨设 „f(a),则在(a,b)内至少存在一点x使f(x)=M. 有f)=若定理的三个条件y=x,x˛[-1,1在[-1,1]上除f(0)不存在外满足定理的一切条件但在区间(-11)内找不到一点能使fx)0.y=1- x˛(0,1], x=y=x,x˛[0,1].x˛(abf)0补例1设fx在闭区间[0,a]上连续在开区间(0,a上可导且fa)0,证明必有一点x˛(0,a使得(xξx,则欲证结论变为fxxfx)

明令F(x)=xf( 则F(x)在[0,a]上连续在(0a)内可导且F(0)Fa)0， 定理知：存在x˛(a,b),使得F(x)=[f(x)+xf(x)]|x=x=0,即f(ξξf(ξ0. 如果函数fx)满足条件：在闭区间[a,b]上连续在开区间(ab)内可导则至少存在一点x˛(ab使得f(x)=f(b)-f(a)b- f(b)-f(a)=fb-注意 日中值定理也可等价表示为:存在q(0<q<1),使f(b)-f(a)=f¢[a+q(b-a)](b-a)在曲线弧AB上至少有一点C在该点处的切线

My=f(x) 平行于两端点连线

x

x 条件中 定理相差f(a)=f

y=f(a)+f(b)-f(a)(x-b-曲线fx)减去线段所得曲线ab两端点的函数值相 作辅助函数F(x)=f(x)-[f(a)+f(b)-f(a)(x-则Fx)fx

f(b)-f(a)b-a

b-知F(x)在[ab]上连续在(ab)内可导F(a)=0=F(b).

在(ab)内至少存在一点x使得F(x因此f(x)f(b)f(a)b-()(b 点C在该点处的切线平行于AB.

y=f(x) A g(x)=f(x)-f(b)-f(a)则知g(x)在[ab]上连续在(ab)内可导1g(a) [bf(a)-af(b)]=g(b)b-故在开区间(ab)内至少存在一点x使得g(x)=f(x)-f(b)-f(a)=0.b-

f(b)-f(a)=(b-a)f(x). 将f(bf(a)f(x)(ba)变形f(bf(af(x)(ba0,即Fx)其中：Fx)f(bf(a)]xfx)(b推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数恒为零, 则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.证对任意x1x2且x1x2˛(ab),f(x)在[x1,x2]上满 因此存在ξ˛(x1x2),使得f(x2)=f(x1)+fξ)(x2-x1)=f(x1即fx在区间(ab)内任意两点的函数值都相同fx在区间(ab)内是一个常数

如果函数fx)与gx)在区间(ab)内任意一点的导数都相等, 则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数.证明：(1)a,b>0,存在c˛(0,1f(c= f(x) f(h)补例2设fx)在闭区间[ab]上连续在开区间(a上可导，证明必有一点x˛(ab)使得bf(b)-af(a)=f(x)+xf(x).b-ξx,则欲证结论变为f(x)+xf(x)=bf(b)-af(a)b-证明令F(x)=xf(x), 则F(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导 存在ξ˛(ab),使得F(ξbf(baf(a)即f(ξξf(ξbf(baf(a)b-注ξx则欲证结论变为f(x)+xf(x)-bf(b)-af(a)=0,b-作辅助函数Fx)xfx)bf(baf(a)b-F(x在ab],在(ab)内可导，且F(a)=af(a)-[bf(a)-af(b)] a=ab[f(a)-f(b)]b- b-F(b)=bf(b)-[bf(a)-af(b)]b=ab[f(a)-f(b)]=F(a),b- b- 中值定理存在ξ˛(a,b),使得F(ξ)=0,bf(b)af(a)f(xxf(x).b- 如果函数fx)与g(x满足条件：在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导对x˛(ab),g(x)则至少存在一点x˛(ab),使得f(b)-f(a)=f(x)g(b)-g(a) g(x

=g(x =f(x在曲线弧AB上至少有一点Cg(x),f(x在该点处的切线平行于

g(a g(x1)g(x

g(x2)g(b j(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)[g(x)-j(x)满 定理的条件则在(ab)内至少存在一点x使得j()即f(x)-f(b)-f(a) g(x)=0,f(b)-f(a)=f(x)g(b)-g(a)

g(b)-g(a)

g(x)x=g(ty=f(t

f(bdy=f(t)dx g(t

f(aO

g(a

f(x

g(b 中值定理若函数fx)及gx)满足在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且gx0,则在开区间(ab)fb)

f(a

f,x

g(b)-g(a)

g(x) 在曲线弧AB上至少有一点C(F(ξ),f(ξ在该点处的切线平行于弦

=F(x =f(x F(a F(x1)F(x F(x2)F(b 证2作辅助函数jx)fxf(bf(a)Fx).F(b)-F(a)则知φ(x)在[ab]上连续在(ab)内可导,j(a)=f(a)F(b)-f(b)F j(b)F(b)-F则在(ab)内至少存在一点x使得j(x)即f(x)-f(b)-f(a F(x)=0,F(b)-F(a所 f(b)-f(a)=f(x)F(b)-F(a (x 将f(bf(a)f(x)变形为F(b)-F(a) F(x)[f(b)-f(a)]Fx)-[F(b)-F(a)]fx)=即：jxf(bf(a)]Fx[F(bF(afx)补例3设函数fx在[0,1]上连续在(0,1)内可导,:至少存在一点x˛(0,1),使f(x)=2x[f(1)-f(0)].

ξx则欲证结论变为f(1)-f(0)=f(x) f(1)-f(0)=f(x)证gx)x2

12-02 2fx),gx)在[0,1]上连续在(0,1)内可导 中值定理,在(0,1)内至少存在一点x,f(1)-f(0)=f(x)12-02 f(x)2xf(1)f(0)]. 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任一x˛(a, f(x

( x f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+

(x-x0

+ (x-x0) +Rn(x)其中

(x)

f(n+1)(n+

(x-

)n+1 这里是x0与x之间的某个值. 也称为 日型余项的n阶泰勒 如果函数f(x)在x0处具有直到 f(x

( x f(x)=f(x0)+

(x0)(x-x0)+

(x-x0

+ (x-x0) +Rn(x)其中Rx)oxx)n

也称为带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)式 1.1.2.3.．公 ．公ex=1+x+1x2+1x3+o(x3) ln(1+x)=x-1x2+1x3+o(x3) sinx=x-1x3+1x5+o(x5) cosx=1-1x2+1x4+o(x4) 11-

=1+x+x2+x3+o(x3)(1+x)a=1+ax+a(a-1)x2+a(a-1)(a-2)x3+o(x3 .

2+x-04、fxex0.

5、

-1+3cos3cosxfi (2x-1)tanf(a)=f(b)=f(c)(a<c<b),证明存在x˛(abf)0【分析】多次 定在开区间(a,b)f(a)=f(b),证明至少存在一点x˛(ab，使得fx)0在开区间(a,b)f(a)=f(b),证明至少存在一点x˛(ab，使得fx)023(2013-3)fx在[0,+¥f(00limfx2

(I存在a0f(a)1(II)对（1）中的a，存在x˛(0,af(x)1a【证明】(I)Fx)fx)1，显然其在[0,+¥)F(0)=f(0)-1=-1<F(+¥)=limF(x)=limf(x)-1=1>0xfi xfi由连续函数的广义零点定理知，存在a0，使得F(a)0f(a)13(2013-3)fx在[0,+¥f(00limfx)2

(I)存在a>0，使得f(a)=1