7.2 离散型随机变量及其分布列

第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列例1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.解：根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列为，.对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么X的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X01Pp例2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.表7.2-4等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及.解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表7.2-5所示.表7.2-5X12345P.例3一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，根据古典概型的知识，可得X的分布列为，，.用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示.表7.2-6X012P练习1.举出两个离散型随机变量的例子．【答案】例子见解析；【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义可得结论.【详解】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数；（2）某公共汽车站1分钟内等车的人数；2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．（1）抛掷2枚骰子，所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】【分析】(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和，能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.【详解】(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55；11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65；12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66.(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，50表示5次点球中射进0球；1表示5次点球中射进1球；2表示5次点球中射进2球；3表示5次点球中射进3球；4表示5次点球中射进4球；5表示5次点球中射进5球.(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：先确定随机变量可能取法，再分别求对应概率，最后列表可得分布列，也可根据二点分布直接得分布列试题解析：解设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为ξ01P0.30.7(注：ξ服从二点分布)点睛：(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．【答案】答案见解析【解析】【分析】由题意计算出正面向上的次数的概率，即可得到分布列.【详解】由已知，抛掷一次一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为记正面向上的次数为，则可取0，1，2，，，，所以正面向上的次数的分布列为：012习题7.2复习巩固5.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．（1）写出随机试验的样本空间；（2）设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．【答案】（1）样本空间见解析；（2）的可能取值为、、、、；【解析】【分析】（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用数对表示在4个路口所出现的情况，列出样本空间即可；（2）由样本空间可得的可能取值，以及所对应的随机事件；【详解】解：（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0，用表示他经过四个路口所遇到红绿灯情况，其中表示第个路口的情况，则随机试验的样本空间，，，，，（2）设他可能遇到红灯的次数为X，则的可能取值为、、、、；表示表示表示表示，，，，表示6.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确．【答案】该同学的计算结果不正确;【解析】【分析】根据分布列的性质进行解题即可.【详解】根据分布列的性质可知：分布列中所有概率之和等于1，而题目中，所以该同学的计算结果不正确.7.在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？【答案】答案见解析.【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义进行问题的分析.【详解】若随机变量只取有限多个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量，在某项体能检测中，跑时间不超过为优秀，某同学跑所花的时间是连续的，所以某同学跑所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量；如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下：，此时是离散型随机变量，它仅有两个取值，其中表示优秀，表示不优秀.8.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？【答案】0.55【解析】【分析】根据分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解．【详解】解：若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9、10环，其概率为P＝P（X＝9）+P（X＝10）＝0.35+0.20＝0.55，故他射击一次为优秀的概率是0.55．综合运用9.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：X

0

1

2

3

P

即X

0

1

2

3

P

(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.10.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；（2）李明在一年内领到资格证书