河北省保定市凌云册中学2022年高三数学文期末试题含解析

河北省保定市凌云册中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是偶函数，而是奇函数，对任意，且时,有,则的大小关系是（）A．B．

C．

D．

参考答案：A2.已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为

(

)X4a9Pm0.20.5A.5

B.6

C.7

D.8参考答案：B略3.若复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a的值为

（

）A.6

B.

C．3

D.参考答案：C4.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（

）（A）29

（B）30

（C）31

（D）32参考答案：B5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．48 B．32 C．16 D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可．解答：解：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，上底为3，下底长为5，高为2，棱柱的高为4．所以几何体的体积为：=32．故选：B．点评：本题考查三视图求几何体的体积，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．6.直线与抛物线所围成的图形面积是()

A.9

B.38/3

C．16/3

D．32/3参考答案：D7.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数a的取值范围是A．(1,2]

B．(0,2]

C．[2,+∞)

D．参考答案：A【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A

8.若复数z满足iz=1+2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（2，﹣1）参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=，∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．9.参考答案：D略10.设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|?|xP|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照右图排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为___________.参考答案：略12..若实数x，y满足则z=-x+5y的最小值为______．参考答案：12【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线由图像知当直线经过点时，直线截距最小此时最小，由得，得，则z的最小值为-3+5×3=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13.在△ABC中，若，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积＝＿＿＿＿参考答案：14.已知函数，则=______．参考答案：【分析】先求内层函数值，再求外层函数值.【详解】根据题意，函数，则，则；故答案为：．

15.设已知是虚数单位，计算________.参考答案：16.下列结论：①若命题命题则命题是假命题；②已知直线则的充要条件是；③命题“若则”的逆否命题为：“若则”其中正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：①③17.已知f（x）=ax3+x2在x=1处的切线方程与直线y=x﹣2平行，则y=f（x）的解析式为．参考答案：f（x）=﹣x3+x2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，进而得到f（x）的解析式．【解答】解：f（x）=ax3+x2的导数为f′（x）=3ax2+2x，在x=1处的切线斜率为3a+2，由切线与直线y=x﹣2平行，可得3a+2=1，解得a=﹣，则f（x）=﹣x3+x2．故答案为：f（x）=﹣x3+x2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线的离心率(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如图，已知过点的直线：与过点的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的面积。参考答案：（1）设C的标准方程为在由题意，因此，则曲线C的标准方程为，曲线C的渐近线方程为。（2）解法一：由题意点在直线，因此有故点M,N均在直线上，因此直线MN的方程为，设G,H分别是直线MN与渐近线，由方程组解得，设MN与轴的交点为,则在直线中令，得（易得），注意到，得解法二：设，由方程组得，因为，则直线MN的斜率，故直线MN的方程为注意到因此直线MN的方程为下同解法一，19.已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求的值；（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．参考答案：（1）；（2）.

考点：1、极坐标方程化为直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及三角函数求最值.20.（本小题满分16分）已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．参考答案：解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

…2分因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①

……………6分所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③

………………8分所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，

………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝

…12分要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列．

………………16分21.如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出r，b，可得圆Q的方程；（2）设出直线方程y=kx+1且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|?|AB|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2+（y﹣b）2=r2，∵P1Q⊥P2Q，∴△P1QP2是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有．由题可知在P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线x2=4y求导得，所以抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，所以，代入，解得b=3．所以圆Q的方程为x