广东省东莞市大汾中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省东莞市大汾中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则A．｛〔1，1〕｝

B.｛〔-1，1〕｝

C.｛〔1，0〕｝

D.｛〔0，1〕｝参考答案：A解析：因为代入选项可得故选A.2.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+18 B．64+16 C．96 D．92﹣2参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何是一个以俯视图中大菱形为底面的四棱柱，切去一个以俯视图中小菱形为底面的四棱柱，得到的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何是一个以俯视图中大菱形为底面的四棱柱，切去一个以俯视图中小菱形为底面的四棱柱，得到的组合体，其表面积相当于大棱柱的表面积，故S=2××4×4+4×4×4=64+16，故选：B．3.过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（

）（A）

（B）

（C）或

（D）或参考答案：D若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。若直线不经过原点，在设直线方程为，即。把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.4.等差数列中，，则（

）A．10

B．20

C．40

D．2+log25参考答案：B略5.复数A.－1 B.1 C.－i D.i参考答案：D6.已知、是非零向量且满足，，则△ABC的形状是(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由、是非零向量且满足，，利用向量垂直与数量积的关系可得，进而得到，即可得出．【解答】解：∵、是非零向量且满足，，∴，∴，∴，∠BAC=60°．∴△ABC是等边三角形，故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、等边三角形的判定方法，属于基础题．7.已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则（）A.

B.

4 C.

D.2参考答案：答案：D解析：由a＋2b与a－2b互相垂直T（a＋2b）·（a－2b）＝0Ta2－4b2＝0即|a|2＝4|b|2T|a|＝2|b|，故选D8.已知函数满足条件，则的值为

（

） A． B． C． D．参考答案：A略9.若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且?=0，则A?ω=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A?ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则?=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A?ω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．10.函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为(

)（A）[-2,2]

（B）[-,]

（C）[-1,1]

（D）[-,]参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则 .

参考答案：12.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=

；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n= ．参考答案：3;6（3n﹣1）.【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．13.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为

.参考答案：(]略14.已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：①线段A、B的中点的广义坐标为；②A、B两点间的距离为；③向量平行于向量的充要条件是；④向量垂直于向量的充要条件是.其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）参考答案：①③【分析】根据点、的广义坐标分别为、，，，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点、的广义坐标分别为、，，，对于①，线段、的中点设为M，根据=（）=中点的广义坐标为,故①正确.对于②，∵（x2﹣x1），A、两点间的距离为，故②不一定正确.对于③，向量平行于向量，则，即（）=t,，故③正确.对于④，向量垂直于向量，则=0，，故④不一定正确.故答案为①③.【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知实数x，y满足，则函数的最大值为▲．参考答案：略16.下列说法中正确的是________．①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”②“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件③若命题p：?x0∈R，使得x－x0＋1≤0，则?p：对?x∈R，都有x2－x＋1>0④若p∨q为真命题，则p，q均为真命题参考答案：①②③17.若不等式的解集为区间,且,则.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．参考答案：【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用定义法进行判断得a（ex+e﹣x+a）=0恒成立，求出a的值；（2）利用导数，结合单调性可知g'（x）≤0恒成立，λ≤﹣1；要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．可构造函数，看成关于λ的一次函数进行求解，进而得出λ的范围；（3）利用构造函数法，令，通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（ex+a）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即ln（e﹣x+a）=﹣ln（ex+a）恒成立，∴（e﹣x+a）（ex+a）=1，∴1+ae﹣x+aex+a2=1．即a（ex+e﹣x+a）=0恒成立，故a=0…（2）由（l）知g（x）=λf（x）+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，x∈[﹣1，1]，∴要使g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，则有g'（x）≤0恒成立，∴λ≤﹣1．又∵g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，∴要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤﹣1）恒成立即可．令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1），则即而t2﹣t+sin1≥0恒成立，∴t≤﹣1…（3）由（1）知方程，即，令∵当x∈（0，e]时，f'1（x）≥0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；当x∈[e，+∞）时，f'1（x）≤0，∴f1（x）在[e，+∞）上为减函数；当x=e时，．而当x∈（0，e]时f2（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f2（x）是增函数，∴当x=e时，．故当，即时，方程无实根；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根．…19.（本题满分13分）在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；参考答案：（1）略（2）【】20.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1，，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF=1.（1）求证：平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.参考答案：21.已知函数，其中为大于零的常数。

⑴若是函数的一个极值点，求的值；

⑵判断函数在区间上的单调性；

⑶若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。参考答案：解：

…………………2分

（1）由已知，得且，…3分

（2）当时，

，

当时，

∴在

上为增函数.………5分

当时，

令

令

上是减少的。………7分

（3）因为时，上的最大值为

所以，问题等价于：对任意，不等式

恒成立

……9分令，

………………10分当m=0时，。上单调递减，由于，当

时不可能使恒成立，故必有m>0

……12分所以，若可知在区间上递减，在此区间上，有与恒成立矛盾，所以

，

单调递增恒有

，满足题设要求，

，∴m的取值范围是

。……14分22.已知数列{an}是公差大于零的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）设