2022年浙江省杭州市临平第五中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年浙江省杭州市临平第五中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（

）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：A略2.设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2,x∈R}，则M∩N=

（

）

A．

B．N

C．[1,+∞）

D．M参考答案：B略3.已知函数,其中a是实数。设,为该函数图象上的两点,且，若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合,则a的取值范围为（

）A.

B.(－1,+∞)

C.

D.参考答案：A4.(不等式选做题)

若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最值范围为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B5.（5分）（2015?哈尔滨校级二模）在平行四边形ABCD中，，且，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．16πB．8πC．4πD．2π参考答案：C【考点】：球内接多面体．【专题】：计算题．【分析】：平行四边形ABCD中，，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，AC为外接球直径，利用，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．解：由题意可知，折成直二面角后，AC为外接球直径，因为，所以（2R）2=AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4，R2=1，S=4πr2=4π；故选C【点评】：本题是基础题，考查平行四边形折叠为三棱锥的外接球的表面积，求出球的半径是本题的核心问题，仔细分析，灵活解题．6.已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为(

)

A．e2+e

B．

C．e2-e

D．参考答案：D略7.

等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是(

)

(A)π9

(B)π11

(C)π12

(D)π13参考答案：C解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：又，=15363′()66－36>1，=1536′()78－66<1．故选C．8.已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（

）A．8 B．5 C．4 D．2参考答案：C考点：线性规划导数的综合运用试题解析：由图知：f(x)在单调递减，单调递增，又，所以等价于作

的可行域：A(2，0),B(0，4)，所以故答案为：C9.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则＝（

）A、U

B、{2，4，6}

C、{3，5，6}D、{1，3，5}参考答案：C10.设集合那么下列结论正确的是

(A)

(B)包含Q

(C)

(D)真包含于P参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则不同的选派方法有______________种．参考答案：100

略12.观察等式

……由以上等式推测到一个一般的结论：对于_____________.参考答案：13.若幂函数的图象经过点，则它在A点处的切线方程为

参考答案：x-4y+4=0略14.已知，，则的最小值为______．参考答案：4【分析】化简得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】当即时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力.15.在区间[1，9]上随机取一实数，则该实数在区间[4，7]上的概率为

.参考答案：16.为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（

）A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度参考答案：17.

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=eax+b在（0，f（0））处的切线为y=x+1．（1）若对任意x∈R，有f（x）≥kx成立，求实数k的取值范围．（2）证明：对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求出k的具体范围即可；（2）法一：构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2），根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证ex＞2+lnx，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，h′（x）=ex﹣=（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由f′（x）=eax得k=f′（0）=a=1，由切点（0，f（0））在切线y=x+1上，得f（0）=1，所以切点为（0，1），由点（0，1）在f（x）=eax+b上，得b=0，所以f（x）=ex…当k＜0时，对于x∈R，ex≥kx显然不恒成立当k=0时，ex≥kx显然成立…当k＞0时，若要ex﹣kx≥0恒成立，必有（ex﹣kx）min≥0设t（x）=ex﹣kx，则t′（x）=ex﹣k易知t（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，则t（x）min=k（1﹣lnk）若ex﹣kx≥0恒成立，即t（x）min=k（1﹣lnk）≥0，得0＜k≤e综上得0≤k≤e…（2）证法1：由（1）知ex≥ex成立，构造函数h（x）=ex﹣lnx﹣t（x＞0）（t≤2）h′（x）=e﹣=所以（t≤2）有ex≥lnx+t成立（当时取等号）．由（1）知ex≥ex成立（当x=1时取等号），所以有ex＞t+lnx成立，即对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…证法2，因为t≤2，所以要证ex＞t+lnx，只须证ex＞2+lnx令h（x）=ex﹣lnx﹣2，h′（x）=ex﹣=（x＞0），令t（x）=xex﹣1，t′（x）=ex+xex＞0，所以t（x）在（0，+∞）递增，t（x）＞t（0）=﹣1，由于t（0）=﹣1＜0，t（1）=e﹣1＞0所以存在x0∈（0，1），有，则，x0=﹣lnx0即h′（x）＞0得x＞x0，h′（x）＜0得0＜x＜x0所以所以ex﹣2﹣lnx＞0成立，即ex＞t+lnx成立即对任意t∈（﹣∞，2]，f（x）＞t+lnx成立…19.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，，求边c的大小．参考答案：………8分（2）用余弦定理，得

略20.设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知，，.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足求.参考答案：（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，故，，所以，的通项公式为，的通项公式为；（II），记

①则

②②①得，，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.

21.（本小题满分12分）

已知函数的图象与直线y=2的相邻丙个交点之间的距离为

（I）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若的值．参考答案：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以． 8分所以 10分 11分． 12分22.如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，圆E是以（p，0）为圆心p为半径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）若圆E内切于△PQR，其中Q，R在y轴上，且R点在Q点上方，P在抛物线C上且在x轴下方，当△PQR的面积取最小值时，求直线PR和PQ的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，可得=3，解得p，即可得出抛物线C和圆E的方程；（2）设P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，则直线PR的方程为：y=x+y1．由直线与圆相切的性质可得：=1，注意到x0＞2，上式化简为+2y0y1﹣x0=0，同理可得=0．因此y1，y2是方程﹣x0=0的两个根，可得|y1﹣y2|=．因此S△PQR=×x0=+4利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，∴=3，解得p=1．∴抛物线C：y2=2x，圆E：（x﹣1）2+y2=1．（2）设P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，则直线PR的方程为：y=x+y1．由直线与圆相切得：=1，注意到x0＞2，上式化简为+2y0y1﹣x0=0