高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题

本周我们主要学习了集合的初步知识，包括集合的有关概念、表示方法、关系和运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念。我们可以理解为把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。我们应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。对象即为集合中的元素，集合是由它的元素唯一确定的。2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。常用数集N、N*、N+、Z、Q、R也需要记牢。3、集合的表示方法我们学习了列举法和特征性质描述法的表示方法。列举法适用于元素不太多的有限集、元素较多但呈现一定规律的有限集和呈现一定规律的无限集。特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。4、集合之间的关系我们需要掌握子集、真子集和集合相等的概念，学会正确使用“=”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。注意辨清Φ与{Φ}两种关系。5、集合的运算我们学习了交集、并集和补集的运算。在进行集合运算时，要注意使用Venn图。集合运算是一种创造新集合的过程，其中包括交集、并集和补集三种方式。我们需要严格遵守它们的运算规则，同时掌握它们的运算性质，如A并C等于C并A，A交A等于A等。我们也需要尝试使用Venn图来解决相关问题。例1：已知集合A={a+2,a+1,a+3,a+3}，若1∈A，求a的值。根据集合元素的确定性，我们可以列出三个方程，分别为a+2=1，a+1=1和a+3a+3=1。但是只有a+1=1或a+3a+3=1时，才能满足集合元素的互异性。经过计算，得到a=2或a=-3。例2：已知集合M={x∈R|ax2+2x+1=0}中只含有一个元素，求a的值。根据题意，我们可以列出方程ax2+2x+1=0，然后分别求出a=1和a≠1时的解。当a=1时，方程化为2x+1=0，只有一个解；当a≠1时，方程化为ax2+2x+1=0，只有两个解。因此，a=1或a≠1时，集合M中只含有一个元素。例3：已知集合A={x|x+x-6=0}，B={x|ax+1=0}，且B⊆A，求a的值。根据题意，我们可以求出集合A的解为{-3,2}，然后分别求出集合B的解。当B=∅时，即方程ax+1=0无解，得到a=0；当B={-3}时，即方程ax+1=0的解为x=-3，得到a=3；当B={2}时，即方程ax+1=0的解为x=2，得到a=-1。因此，a的值为0、3或-1。总之，我们需要熟悉集合语言，能够将其转化为恰当的数学语言，同时掌握集合运算的规则和性质，以便解决相关问题。例4：已知方程$x+bx+c=0$有两个不相等的实根$x_1,x_2$。设$C=\{x_1,x_2\}$，$A=\{1,3,5,7,9\}$，$B=\{1,4,7,10\}$，若$A\capC=\emptyset$，$C\capB=C$，试求$b,c$的值。解：由$C\capB=C$，可知集合$C$中必定含有$1,4,7,10$中的$2$个。又因为$A\capC=\emptyset$，则$A$中的$1,3,5,7,9$都不在$C$中，从而只能是$C=\{4,10\}$。因此，$b=-(x_1+x_2)=-14$，$c=x_1x_2=40$。例5：设集合$A=\{x|-2\leqx\leq5\}$，$B=\{x|m+1\leqx\leq2m-1\}$，（1）若$A\capB=\emptyset$，求$m$的范围；（2）若$A\cupB=A$，求$m$的范围。解：（1）若$A\capB=\emptyset$，则$B=\varnothing$，或$m+1>5$，或$2m-1<-2$。当$B=\varnothing$时，$m+1>2m-1$，得$m<2$。当$m+1>5$时，$m+1\leq2m-1$，得$m>4$。当$2m-1<-2$时，$m+1\leq2m-1$，得$m\in\varnothing$。综上所述，可知$m<2$或$m>4$。（2）若$A\cupB=A$，则$B\subseteqA$。若$B=\varnothing$，得$m<2$。若$B\neq\varnothing$，则$m+1\geq-2$，$2m-1\leq5$，$m+1\leq2m-1$，解得$2\leqm\leq3$。综上，得$m\leq3$。例6：已知$A=\{0,1\}$，$B=\{x|x\subseteqA\}$，用列举法表示集合$B$，并指出集合$A$与$B$的关系。解：因为$x\subseteqA$，所以$x=\varnothing$，或$x=\{0\}$，或$x=\{1\}$，或$x=A$，于是集合$B=\{\varnothing,\{0\},\{1\},A\}$，从而$A\inB$。练习题：1.设集合$M=\{x|x\leq17\}$，$a=42$，则（）A.$a\inM$；B.$a\notinM$；C.$a=M$；D.$a>M$。2.有下列命题：①$\{\varnothing\}$是空集；②若$a\in\mathbb{N}$，$b\in\mathbb{N}$，则$a+b\geq2$；③集合$\{x|x-2x+1=\}$有两个元素；④集合$B=\{x|100\in\mathbb{N},x\in\mathbb{Z}\}$为无限集。其中正确命题的个数是（）A.0；B.1；C.2；D.3。3.下列集合中，表示同一集合的是（）A.$M=\{(3,2)\}$，$N=\{(2,3)\}$；B.$M=\{3,2\}$，$N=\{(2,3)\}$；C.$M=\{(x,y)|x+y=1\}$，$N=\{y|x+y=1\}$；D.$M=\{1,2\}$，$N=\{2,1\}$。1.集合的交集和并集交集：两个集合中共同存在的元素组成的集合。并集：两个集合中所有元素组成的集合。记号：交集用符号“∩”表示，如A∩B表示A和B的交集；并集用符号“∪”表示，如A∪B表示A和B的并集。2.包含关系若A的所有元素都属于B，则称B包含A，记作A⊆B，读作“A包含于B”或“B包含A”。若A包含于B，且B包含于A，则称A和B相等，记作A=B。3.集合的补集对于集合A，所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作A'或Ac。例如，如果全集是{1,2,3,4,5}，集合A={2,3}，则A'={1,4,5}。4.集合的范围集合的范围是指集合中元素的取值范围。例如，集合A={x|1<x<2}，则A的范围是1<x<2。5.集合的元素互异性集合中的元素是互不相同的，不会重复出现。6.解集方程或不等式的解所组成的集合称为解集。7.集合的运算规律交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A